微分 | Edexcel IALMathematics (YMA01)笔记

欢迎来到微分的世界！

你好，未来的数学家！本章的微分（Differentiation），可以说是纯数学中最强大的工具之一。如果公式看起来很复杂，请不要担心；我们将把它们拆解开来逐一攻克。在本单元结束时，你将能够计算几乎任何复杂函数在瞬时的变化率。

我们将学到什么？ 我们将超越 P1/P2 中基础的多项式微分，引入新的函数（如 $e^x$ 和 $\ln x$）以及处理复杂现实问题所需的进阶技巧（如乘积法则和商法则）。

1. P3 微分基础：指数、对数与三角函数

在 P1 和 P2 中，我们主要对 $x^n$ 进行微分。现在，我们将引入定义 P3 数学的核心函数。

1.1. 指数与对数函数

数字 e（约为 2.718）非常特殊，因为函数 $y = e^x$ 的斜率（梯度）始终等于函数本身的值！

法则：

如果 $ y = e^x $，则 $ \frac{dy}{dx} = e^x $。
如果 $ y = e^{kx} $，则 $ \frac{dy}{dx} = ke^{kx} $。 （我们将指数中的常数乘到前面。）
如果 $ y = \ln x $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} $。 （此法则仅适用于 $ x > 0 $。）

例 1.1：基础 P3 微分

对 $ y = 5e^{3x} - 2\ln x $ 求导：

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 5(3e^{3x}) - 2\left(\frac{1}{x}\right) \\ &= 15e^{3x} - \frac{2}{x} \end{align*}

1.2. 三角函数微分（P3 范畴）

你应该还记得早期模块中正弦和余弦的微分法则，但在 P3 中，你需要掌握正切（tangent）以及三个倒数函数：正割（secant）、余割（cosecant）和余切（cotangent）的求导法则。

六大核心法则：

如果 $ y = \sin x $，则 $ \frac{dy}{dx} = \cos x $。
如果 $ y = \cos x $，则 $ \frac{dy}{dx} = -\sin x $。（注意负号！）
如果 $ y = \tan x $，则 $ \frac{dy}{dx} = \sec^2 x $。
如果 $ y = \sec x $，则 $ \frac{dy}{dx} = \sec x \tan x $。
如果 $ y = \csc x $，则 $ \frac{dy}{dx} = -\csc x \cot x $。
如果 $ y = \cot x $，则 $ \frac{dy}{dx} = -\csc^2 x $。

记忆小窍门（负号）： 请注意，任何以字母 "c" 开头的三角函数（即 $\cos x, \csc x, \cot x$），其导数结果都带有负号。

快速回顾：P3 基础

请背诵上面提到的六个三角函数微分法则！你需要达到能够脱口而出的熟练程度。

2. 链式法则（复合函数）

如果你需要对 $ y = \sin(x^2) $ 或 $ y = (3x+1)^5 $ 这样的函数求导，该怎么办呢？这些是复合函数（一个函数嵌套在另一个函数内部）。这时我们需要使用链式法则（Chain Rule）。

类比：俄罗斯套娃
想象一个俄罗斯套娃。要打开整个套娃，你必须先打开外层的套娃，然后再打开内层的套娃。链式法则的工作方式相同：先对外部函数求导，然后乘以内部函数的导数。

2.1. 链式法则公式

如果 $ y $ 是 $ u $ 的函数，且 $ u $ 是 $ x $ 的函数，那么：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \]

2.2. 分步应用

目标： 对 $ y = e^{\sin x} $ 求导

识别内部函数 ($ u $)： 这是主函数内部的部分。
$ u = \sin x $
求 $\frac{du}{dx}$：
$ \frac{du}{dx} = \cos x $
识别外部函数（用 $ u $ 表示的 $ y $)： 用 $ u $ 替换内部部分。
$ y = e^u $
求 $\frac{dy}{du}$：
$ \frac{dy}{du} = e^u $
应用链式法则： 将导数相乘，并在最后用 $ \sin x $ 替换 $ u $。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = (e^u) \times (\cos x) = e^{\sin x} \cos x \]

快速操作技巧： 始终先对外部结构求导，保持内部不变。然后再乘以内部的导数。

例如：如果 $ y = \ln(4x^2+1) $，外部是 $\ln(\dots)$，内部是 $4x^2+1$。

外部导数： $ \frac{1}{\text{内部}} $，即 $ \frac{1}{4x^2+1} $。
内部导数： $ 8x $。
结果： $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x^2+1} \times 8x = \frac{8x}{4x^2+1} $。

链式法则要点： 只要遇到一个函数嵌套在另一个函数内部的情况，就要使用它。“对外层求导，再乘以内层的导数。”

3. 乘积法则

当你需要对两个不同的 $ x $ 函数的乘积进行求导时，需要使用乘积法则。例如 $ y = x^2 \cos x $ 或 $ y = e^x \ln x $。你不能直接对每一部分分别求导！

3.1. 乘积法则公式

如果 $ y = uv $，其中 $ u $ 和 $ v $ 都是 $ x $ 的函数，那么：

\[ \frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \]

助记： 可以记作：U D-V 加 V D-U（即：前项乘以后项导数 + 后项乘以前项导数）。

3.2. 分步应用

目标： 对 $ y = x^3 e^{5x} $ 求导

识别 $ u $ 和 $ v $：
$ u = x^3 $

$ v = e^{5x} $
求导数（$\frac{du}{dx}$ 和 $\frac{dv}{dx}$）：
$ \frac{du}{dx} = 3x^2 $

$ \frac{dv}{dx} = 5e^{5x} $ （此处应用了链式法则！）
代入公式 ($ u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} $)：
\[ \frac{dy}{dx} = (x^3)(5e^{5x}) + (e^{5x})(3x^2) \]
简化（尽可能分解因式！）：
\[ \frac{dy}{dx} = 5x^3 e^{5x} + 3x^2 e^{5x} = x^2 e^{5x} (5x + 3) \]

常见错误提醒！

一个常见的错误是认为 $ uv $ 的导数仅仅是 $ u'v' $。这是错的！你必须使用完整的乘积法则公式。

乘积法则要点： 当你将两个不同的函数相乘时使用它。两项的顺序（$u\frac{dv}{dx}$ 和 $v\frac{du}{dx}$）并不重要，因为它们是相加关系。

4. 商法则

当你需要对两个不同的 $ x $ 函数的商（除法）进行求导时，需要使用商法则。例如 $ y = \frac{\sin x}{x^2+1} $。

4.1. 商法则公式

如果 $ y = \frac{u}{v} $，其中 $ u $（分子）和 $ v $（分母）是 $ x $ 的函数，那么：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \]

助记（对于商法则至关重要）：
“分母乘以分子导数，减去分子乘以分母导数，除以分母的平方”。
（Low = 分母 $ v $，High = 分子 $ u $，D-High = 分子导数 $\frac{du}{dx}$ 等。）

减法的顺序（分母导分子减去分子导分母）至关重要！

4.2. 分步应用

目标： 对 $ y = \frac{3x}{\ln x} $ 求导

识别 $ u $ (分子) 和 $ v $ (分母)：
$ u = 3x $

$ v = \ln x $
求导数：
$ \frac{du}{dx} = 3 $

$ \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} $
代入公式 ($ \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} $)：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(\ln x)(3) - (3x)(\frac{1}{x})}{(\ln x)^2} \]
简化： (注意 $ 3x \times \frac{1}{x} = 3 $)
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3\ln x - 3}{(\ln x)^2} = \frac{3(\ln x - 1)}{(\ln x)^2} \]

小贴士： 如果你将除法重写为负指数形式，也可以使用乘积法则代替商法则。例如， $ \frac{x}{e^x} = x e^{-x} $。然而，对于复杂的分母，商法则通常更安全、更快捷。

商法则要点： 使用“分母导分子减去分子导分母，除以分母平方”的口诀来正确记忆公式，特别是减法的顺序。

5. 隐函数微分

到目前为止，所有函数都是显函数，即 $ y $ 被明确表达为 $ x $ 的形式（例如 $ y = x^2 + 5 $）。

隐函数是那些 $ x $ 和 $ y $ 混合在一起且不容易分离的函数，例如 $ x^2 + y^2 = 25 $（圆）或 $ \sin(y) + xy = e^x $。

当我们对隐函数关于 $ x $ 进行微分时，每一项包含 $ y $ 的部分都必须使用链式法则进行求导。

5.1. 关键规则：对 Y 项求导

在对涉及 $ y $ 的项关于 $ x $ 求导时，先像对待 $ x $ 一样正常求导，然后立即乘以 $ \frac{dy}{dx} $。

示例： 对 $ y^2 $ 关于 $ x $ 求导。
$ \frac{d}{dx} (y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx} $
示例： 对 $ \sin(y) $ 关于 $ x $ 求导。
$ \frac{d}{dx} (\sin y) = \cos y \cdot \frac{dy}{dx} $

5.2. 隐函数微分分步应用

目标： 找到曲线 $ x^2 + 4y^3 = 5xy $ 的 $ \frac{dy}{dx} $

逐项求导：
- 左边第一项 ($ x^2 $)： 正常求导。
  $ \frac{d}{dx} (x^2) = 2x $
- 左边第二项 ($ 4y^3 $)： 正常求导，并乘以 $ \frac{dy}{dx} $。
  $ \frac{d}{dx} (4y^3) = 12y^2 \frac{dy}{dx} $
- 右边第三项 ($ 5xy $)： 这是一个乘积法则！令 $ u=5x $，$ v=y $。
  $ \frac{du}{dx} = 5 $
  
  $ \frac{dv}{dx} = 1 \cdot \frac{dy}{dx} $
  
  乘积法则结果： $ v\frac{du}{dx} + u\frac{dv}{dx} = y(5) + 5x(\frac{dy}{dx}) = 5y + 5x \frac{dy}{dx} $
列出导数等式：
\[ 2x + 12y^2 \frac{dy}{dx} = 5y + 5x \frac{dy}{dx} \]
移项并分解因式： 将所有包含 $ \frac{dy}{dx} $ 的项移到一侧，其余的移到另一侧。
\[ 12y^2 \frac{dy}{dx} - 5x \frac{dy}{dx} = 5y - 2x \]

提取 $ \frac{dy}{dx} $：

\[ \frac{dy}{dx} (12y^2 - 5x) = 5y - 2x \]
解出 $\frac{dy}{dx}$：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{5y - 2x}{12y^2 - 5x} \]

重要提示： 在求隐函数曲线某一点 $(x_1, y_1)$ 的斜率时，你需要将 $x$ 和 $y$ 坐标都代入最终得到的导数表达式中。

隐函数微分要点： 始终记住链式法则的贡献：每当你对一个 $y$ 项求导时，必须包含因子 $ \frac{dy}{dx} $。

6. 应用：切线、法线与变化率

寻找导数 $ \frac{dy}{dx} $ 的主要目的，是在特定点找到曲线的斜率。这对于定义切线和法线至关重要。

6.1. 切线与法线

如果曲线在点 $ P(x_1, y_1) $ 处的斜率为 $ m_T $（切线斜率）：

切线方程为： $ y - y_1 = m_T (x - x_1) $。
法线斜率 $ m_N $ 与切线垂直： $ m_N = -\frac{1}{m_T} $。
法线方程为： $ y - y_1 = m_N (x - x_1) $。

6.2. 相关变化率

通常，数量会随时间 $ t $ 变化。P3 问题经常使用链式法则将两个或多个变量的变化率联系起来。

假设你知道气球面积 ($A$) 随半径 ($r$) 的变化率 $\frac{dA}{dr}$，以及半径随时间 ($t$) 的变化率 $\frac{dr}{dt}$。要找出面积随时间的变化率 $\frac{dA}{dt}$，我们可以使用：

\[ \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt} \]

这只是链式法则应用于变化率！你需要建立适当的链条，将你已知的变化率与你想要找的变化率连接起来。

例 6.2：相关变化率设置

如果圆柱形水箱进水，体积 $V$ 的变化率为 $ 0.5 \text{ m}^3/\text{min} $ ($ \frac{dV}{dt} = 0.5 $)，我们要找高度 $h$ 的变化率 ($ \frac{dh}{dt} $)，我们需要一个联系 $V$ 和 $h$ 的公式 ($ V = \pi r^2 h $)，然后使用链式法则：

\[ \frac{dh}{dt} = \frac{dh}{dV} \times \frac{dV}{dt} \]

（注意 $\frac{dh}{dV}$ 是 $\frac{dV}{dh}$ 的倒数。）

最终鼓励！

微分技巧需要不断的练习、练习、再练习！如果你能熟练掌握何时使用链式法则、乘积法则或商法则，并能够处理隐函数微分机制，那么你已经征服了 P3 中最困难的部分！

* thinka提供的内容由AI生成，可能并非总是准确或最新。请将其用作辅助资源，并与官方材料进行核实。

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