M2 向量應用
各位同學！歡迎來到《向量應用》的學習筆記。你已經學會了什麼是向量，以及如何進行加法和乘法等基本運算。現在，讓我們發掘它們真正的威力！在本章中，我們將會看到向量不僅是抽象的箭頭，更是解決二維和三維空間中實際幾何問題的強大工具。我們將學習如何找出角度、投影、計算面積與體積、檢測共面性等等。
如果這聽起來很複雜，請不要擔心。我們將所有內容分解成簡單、一步步的教學。想像一下，這就像為你的數學工具箱增添新工具一樣。事不宜遲，現在就開始吧！
1. 分割線段
想像一下，你有一條由 \(A\) 點到 \(B\) 點的線段。如果你想找出線上某一點 \(P\) 的確切坐標呢？這就是分點公式派上用場的地方了，它非常有用！
內分點
這是最常見的情況。我們想找出一個位於 \(A\) 和 \(B\) 之間的 \(P\) 點，它以 \(m : n\) 的比例內分線段 \(AB\)。
設 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 分別為 \(A\) 點和 \(B\) 點的位置向量。點 \(P\)（它以 \(m : n\) 的比例內分 \(AB\)）的位置向量由以下公式給出：
分點公式（內分點）：
\( \vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n} \)
記憶法：『交叉相乘』技巧
要記住這個公式，你可以這樣想：比例中的 \(n\) 會乘以向量 \(\vec{a}\)（離它較遠的那個），而比例中的 \(m\) 會乘以向量 \(\vec{b}\)（另一個離它較遠的那個）。然後，你再除以比例之和 (\(m+n\))。
例子：設 \(A = (1, 2, 3)\) 和 \(B = (5, 6, 7)\)。求將 \(AB\) 以 \(1 : 3\) 內分的點 \(P\)。步驟1：找出你的向量和比例。
\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}\)
\(m = 1\), \(n = 3\)
步驟2：套用公式。
\( \vec{p} = \frac{3\vec{a} + 1\vec{b}}{1+3} = \frac{3\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}}{4} \)
步驟3：計算結果。
\( \vec{p} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}}{4} = \frac{\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \\ 16 \end{pmatrix}}{4} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \)
所以，\(P\) 點的坐標是 \((2, 3, 4)\)。
一個特殊情況：中點
中點只不過是將線段以 \(1 : 1\) 比例分割的點。如果我們將 \(m=1\) 和 \(n=1\) 代入公式：
\( \vec{p} = \frac{1\vec{a} + 1\vec{b}}{1+1} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \)
這就只是兩個位置向量的平均值！
外分點
當點 \(P\) 位於穿過 \(A\) 和 \(B\) 的直線上，但位於線段 \(AB\) 的外部，且滿足 \(AP : PB = m : n\) 時，它外分 \(AB\)。公式為：
分點公式（外分點）：
\( \vec{p} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n} \quad (m \neq n) \)
重點歸納
要找出將線段 \(AB\) 以 \(m:n\) 比例內分的點 \(P\)，請使用公式 \( \vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n} \)。對於外分點，只需將 \(n\) 替換為 \(-n\)。
2. 平行與正交（垂直）
向量讓檢查直線或方向之間的關係變得非常容易。它們是平行的嗎？它們是垂直的嗎？讓我們來探討。
平行向量
兩個向量是平行的，如果它們指向同一方向或完全相反的方向。想像地圖上的兩條平行街道。
規則：兩個非零向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 平行，若其中一個是另一個的純量倍數。
\( \vec{a} = k \vec{b} \)
這裡，\(k\) 只是一個非零實數（一個純量）。
・如果 \(k > 0\)，它們方向相同。
・如果 \(k < 0\)，它們方向相反。
例子：向量 \(\vec{a} = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 6\mathbf{k}\) 和 \(\vec{b} = -3\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 9\mathbf{k}\) 平行嗎？讓我們看看是否能找到一個 \(k\)，使得 \(\vec{a} = k\vec{b}\)。
比較 \(\mathbf{i}\) 分量：\(2 = k(-3) \implies k = -2/3\)
比較 \(\mathbf{j}\) 分量：\(4 = k(-6) \implies k = -2/3\)
比較 \(\mathbf{k}\) 分量：\(-6 = k(9) \implies k = -2/3\)
由於所有分量的 \(k\) 值都相同，所以這兩個向量是平行的！因為 \(k\) 是負數，所以它們指向相反方向。
正交（垂直）向量
如果兩個向量之間的夾角是 \(90^\circ\)，則它們是正交的（即垂直）。
規則：兩個非零向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 正交當且僅當它們的點積為零。
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)
為什麼會這樣呢？
還記得點積公式嗎？\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)。如果夾角 \(\theta\) 是 \(90^\circ\)，那麼 \(\cos(90^\circ) = 0\)。這使得整個點積為零！
例子：證明向量 \(\vec{u} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}\) 和 \(\vec{v} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 2\mathbf{k}\) 是正交的。我們只需要計算它們的點積。
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = (3)(4) + (-2)(5) + (1)(-2) = 12 - 10 - 2 = 0 \)
由於點積是 \(0\)，所以這些向量是正交的。
重點歸納
平行檢測：是 \(\vec{a} = k\vec{b}\) 嗎？（分量是否成比例？）
垂直檢測：是 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) 嗎？（點積是否為零？）
3. 求兩向量之間的夾角
我們剛才使用點積來檢查 \(90^\circ\) 夾角，但我們可以用它來找出兩個向量之間的『任何』角度。這是點積最強大的一個應用。
通過重新排列點積公式，我們得到：
\( \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \)
求夾角的分步指南
步驟1：計算點積 (\(\vec{a} \cdot \vec{b}\))。
步驟2：計算每個向量的大小（模） (\(|\vec{a}|\) 和 \(|\vec{b}|\))。
步驟3：將這三個值代入公式 以求出 \(\cos\theta\)。
步驟4：使用計算機上的反餘弦函數 (\(\theta = \arccos(\dots)\)) 來找出夾角 \(\theta\)。
步驟1：點積
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2) = 12 - 6 - 2 = 4 \)
步驟2：大小（模）
\( |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3 \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7 \)
步驟3：公式
\( \cos\theta = \frac{4}{(3)(7)} = \frac{4}{21} \)
步驟4：找出夾角
\( \theta = \arccos\left(\frac{4}{21}\right) \approx 79.0^\circ \)
兩個向量之間的夾角約為 \(79.0^\circ\)。
快速回顧
夾角公式： \( \theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right) \)
4. 向量投影
什麼是投影呢？想像一下太陽在正上方。你在地面上的影子就是你『投射』到地面上的影像。在向量中，我們做的事情也類似。將向量 \(\vec{a}\) 投影到向量 \(\vec{b}\) 上，就像找出 \(\vec{a}\) 沿著 \(\vec{b}\) 的方向所形成的『影子』。
投影分為兩種：純量投影和向量投影。
純量投影（影子的長度）
這會告訴你沿著 \(\vec{b}\) 方向的影子的帶符號大小或長度。它是一個純量數值。
向量 \(\vec{a}\) 投影到 \(\vec{b}\) 上的純量投影公式是：
\( \text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \)
向量投影（作為向量的影子）
這會給你實際的投影向量。它既有大小也有方向。
要獲得這個向量，我們取其長度（純量投影）並乘以沿著 \(\vec{b}\) 方向的單位向量（即 \(\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\)）。
向量 \(\vec{a}\) 投影到 \(\vec{b}\) 上的向量投影公式是：
\( \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\right) \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b} \)
常見錯誤警示！
當將 \(\vec{a}\) 投影到 \(\vec{b}\) 上時，分母中的向量永遠是 \(\vec{b}\)。你所投影『到』的向量決定了方向，並會出現在分母中。
例子：求 \(\vec{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}\) 投影到 \(\vec{b} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}\) 上的純量投影和向量投影。步驟1：找出點積以及 \(\vec{b}\) 的大小。
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32 \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77} \)
步驟2：計算純量投影。
\( \text{純量投影} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{32}{\sqrt{77}} \)
步驟3：計算向量投影。
我們還需要 \(|\vec{b}|^2 = 77\)。
\( \text{向量投影} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b} = \frac{32}{77}(4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}) = \frac{128}{77}\mathbf{i} + \frac{160}{77}\mathbf{j} + \frac{192}{77}\mathbf{k} \)
重點歸納
投影就像找出向量的影子。
・純量投影： \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)
・向量投影： \(\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b}\)
5. 平行四邊形與三角形的面積
我們可以使用向量積（又稱叉積）直接計算三維空間中的面積。
平行四邊形的面積
由兩個不平行的向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 所張成的平行四邊形，其面積由向量積的大小（模）給出：
\( \text{平行四邊形面積} = |\vec{a} \times \vec{b}| \)
三角形的面積
由於鄰邊為 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的三角形只是由這些向量形成的平行四邊形的一半，因此其面積為：
\( \text{三角形面積} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| \)
例子：求頂點為 \(P(1, 1, 1)\)、\(Q(2, 3, 4)\) 和 \(R(4, 3, 2)\) 的三角形面積。步驟1：找出具有共同頂點（例如 \(P\)）的兩個向量。
\( \vec{PQ} = (2-1)\mathbf{i} + (3-1)\mathbf{j} + (4-1)\mathbf{k} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \)
\( \vec{PR} = (4-1)\mathbf{i} + (3-1)\mathbf{j} + (2-1)\mathbf{k} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} \)
步驟2：計算向量積 \(\vec{PQ} \times \vec{PR}\)。
\( \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} \)
\( = \mathbf{i}(2\cdot 1 - 3\cdot 2) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 3\cdot 3) + \mathbf{k}(1\cdot 2 - 2\cdot 3) = -4\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - 4\mathbf{k} \)
步驟3：找出大小（模）。
\( |-4\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - 4\mathbf{k}| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 64 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \)
步驟4：除以 2。
\( \text{面積} = \frac{1}{2}(4\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} \)
6. 純量三重積與體積
純量三重積結合了三個向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 的點積與叉積：
\( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \)
平行六面體的體積
如果平行六面體的三條共頂點棱由向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 表示，其體積 \(V\) 由它們的純量三重積的絕對值給出：
\( V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \)
四面體的體積
具有共頂點棱 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 的四面體，其體積等於相應平行六面體體積的 \(\frac{1}{6}\)：
\( V = \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \)
共面向量
三個非零向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 位於同一平面上（即共面），當且僅當它們構成的立體體積為零：
\( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0 \)
例子：檢驗向量 \(\vec{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}\)、\(\vec{b} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k}\) 及 \(\vec{c} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 5\mathbf{k}\) 是否共面。計算純量三重積：
\( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} \)
\( = 1(15 - 16) - 2(10 - 12) + 3(8 - 9) = 1(-1) - 2(-2) + 3(-1) = -1 + 4 - 3 = 0 \)
由於純量三重積為 \(0\)，因此向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 是共面的。
重點總結表
・三角形面積： \( \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| \)
・平行六面體體積： \( |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \)
・四面體體積： \( \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \)
・共面條件： \( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0 \)
