M2 章節：行列式 - 您的終極溫習指南！
大家好！歡迎來到行列式的溫習筆記。您可能好奇：「究竟什麼是行列式呢？」不用擔心，它並沒有聽起來那麼恐怖！
您可以將行列式想像成一個特別的純量值，我們可以從任何方陣（例如 \(2 \times 2\) 或 \(3 \times 3\) 的數字方格）計算出來。這個單一的數字非常強大。它可以告訴我們一個矩陣是否有逆矩陣、線性方程組是否有唯一解，以及更多用途。在這一章，我們將會解開如何計算行列式以及應用其性質的秘密！
什麼是行列式？基本概念
行列式是一個純量值，由方陣的元素計算出來。
重點：
• 行列式只適用於方陣（例如 \(2 \times 2\)、\(3 \times 3\) 等）。您不能找到非方陣（例如 \(2 \times 3\)）的行列式。
• 矩陣 \(A\) 的行列式記作 \(\det(A)\) 或 \(|A|\)。
常見錯誤提示！
當您見到 \(|A|\) 的時候，它代表矩陣 \(A\) 的行列式。它不是指矩陣的絕對值。
二階行列式 (\(2 \times 2\) 矩陣)
對於一般的 \(2 \times 2\) 矩陣 \(A\)：
\(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)
行列式的計算方法是：將主對角線（左上到右下）的元素相乘，然後減去另一條對角線（右上到左下）元素的乘積。
公式：
\(\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\)
記憶法：「落山 - 上山」法則
1. 將「落山」對角線（↘）上的數字相乘：\(a \times d\)
2. 將「上山」對角線（↗）上的數字相乘：\(b \times c\)
3. 計算：落山減上山
逐步示範：
找出矩陣 \(B\) 的行列式：
\(B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)
1. 識別 \(a, b, c, d\)：在這裡，\(a = 4\)，\(b = 2\)，\(c = 1\)，\(d = 3\)。
2. 「落山」乘積 (\(ad\))： \(4 \times 3 = 12\)
3. 「上山」乘積 (\(bc\))： \(2 \times 1 = 2\)
4. 相減： \(\det(B) = 12 - 2 = 10\)
三階行列式 (\(3 \times 3\) 矩陣)
對於 \(3 \times 3\) 矩陣，有兩種主要的計算方法：餘子式展開法（餘子式及代數餘子式展開法）和薩魯斯法則。
方法一：餘子式展開法（代數餘子式展開法）
這個方法將一個 \(3 \times 3\) 的行列式分解為較小的 \(2 \times 2\) 行列式。它可以沿著任何一行或任何一列展開。
符號棋盤
位於第 \(i\) 行第 \(j\) 列的代數餘子式符號由 \((-1)^{i+j}\) 給出：
\(\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}\)
逐步計算過程（沿第一行展開）：
我們來找出矩陣 \(C\) 的行列式：
\(C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{pmatrix}\)
1. 第一個元素 (\(1\))：
• 符號是 \(+\)。
• 餘子式：\(\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = (4)(2) - (7)(6) = 8 - 42 = -34\)
• 第一項：\((+1) \times (-34) = -34\)
2. 第二個元素 (\(5\))：
• 符號是 \(-\)。
• 餘子式：\(\begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (7)(4) = 4 - 28 = -24\)
• 第二項：\((-5) \times (-24) = 120\)
3. 第三個元素 (\(3\))：
• 符號是 \(+\)。
• 餘子式：\(\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = (2)(6) - (4)(4) = 12 - 16 = -4\)
• 第三項：\((+3) \times (-4) = -12\)
4. 匯總結果：
\(\det(C) = -34 + 120 - 12 = 74\)
方法二：薩魯斯法則 (\(3 \times 3\) 捷徑)
註：薩魯斯法則只適用於 \(3 \times 3\) 矩陣。
1. 將前兩列複製並寫在矩陣的右邊：
\(\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} \begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{matrix}\)
2. 「落山」對角線（↘）乘積之和：
\((1 \times 4 \times 2) + (5 \times 7 \times 4) + (3 \times 2 \times 6) = 8 + 140 + 36 = 184\)
3. 「上山」對角線（↗）乘積之和：
\((4 \times 4 \times 3) + (6 \times 7 \times 1) + (2 \times 2 \times 5) = 48 + 42 + 20 = 110\)
4. 相減：
\(\det(C) = 184 - 110 = 74\)
行列式的性質
在 HKDSE M2 課程中，理解代數及運算性質能讓您在展開前更有效地化簡行列式：
1. 轉置性質： \(\det(A^T) = \det(A)\)
2. 標量乘法： 對於 \(n \times n\) 矩陣 \(A\) 及標量 \(k\)，\(\det(kA) = k^n \det(A)\)。（對於 \(3 \times 3\)，\(\det(kA) = k^3 \det(A)\)）。
3. 矩陣乘積： \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)
4. 行／列運算：
• 互換兩行（或兩列）會改變行列式的正負號：\(\det(A_{\text{swapped}}) = -\det(A)\)。
• 將單一行（或列）乘以標量 \(k\)，行列式的值會乘以 \(k\)。
• 將一行（或列）的倍數加到另一行（或列），行列式的值保持不變：\(R_i \to R_i + kR_j \implies \det(A_{\text{new}}) = \det(A)\)。
5. 行列式為零的條件： 在以下情況，\(\det(A) = 0\)：
• 整行或整列全為零。
• 兩行或兩列完全相同或成比例。
6. 奇異矩陣與非奇異矩陣：
• 若 \(\det(A) = 0\)，\(A\) 為奇異矩陣（它沒有逆矩陣 \(A^{-1}\)）。
• 若 \(\det(A) \neq 0\)，\(A\) 為非奇異矩陣（它是可逆的，且 \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\)）。
應用：克萊默法則
克萊默法則是一種利用行列式解線性方程組的代數方法。當係數矩陣的行列式不為零（\(D \neq 0\)）時，便可直接應用。
\(2 \times 2\) 系統的克萊默法則
考慮以下方程組：
\(a_1x + b_1y = c_1\)
\(a_2x + b_2y = c_2\)
1. 係數行列式 \(D\)： \(D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}\)
2. \(D_x\)（將 \(x\) 列替換為常數項）： \(D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}\)
3. \(D_y\)（將 \(y\) 列替換為常數項）： \(D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}\)
4. 解： 若 \(D \neq 0\)，則 \(x = \frac{D_x}{D}\) 及 \(y = \frac{D_y}{D}\)。
\(3 \times 3\) 系統的克萊默法則
對於未知數 \(x, y, z\)，若 \(D = \det(\text{係數矩陣}) \neq 0\)：
\(x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}\)
逐步示範 (\(2 \times 2\))：
用克萊默法則解以下方程組：
\(2x + 3y = 7\)
\(x - 4y = -2\)
1. 計算 \(D\)： \(D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = (2)(-4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11\)
2. 計算 \(D_x\)： \(D_x = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ -2 & -4 \end{vmatrix} = (7)(-4) - (3)(-2) = -28 - (-6) = -22\)
3. 計算 \(D_y\)： \(D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (7)(1) = -4 - 7 = -11\)
4. 求解：
\(x = \frac{D_x}{D} = \frac{-22}{-11} = 2\)
\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{-11}{-11} = 1\)
唯一解為 \((x, y) = (2, 1)\)。
章節總結
• 行列式是一個與方陣相關聯的純量值，記作 \(\det(A)\) 或 \(|A|\)。
• 對於 \(2 \times 2\) 矩陣，\(\det(A) = ad - bc\)。
• 對於 \(3 \times 3\) 矩陣，可透過餘子式展開法或薩魯斯法則計算。
• 重要的矩陣性質包括 \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)、\(\det(A^T) = \det(A)\) 以及 \(\det(kA) = k^n \det(A)\)。
• 當且僅當 \(\det(A) = 0\) 時，矩陣是奇異矩陣。
• 當 \(D \neq 0\) 時，克萊默法則提供了一個基於行列式的明確公式來解線性方程組。
