Cambridge International AS & A Level Mathematics 9709: Pure Mathematics 2 (Paper 2)
Chapter 2.1: 代數學習筆記
你好！歡迎來到 Pure Mathematics 2 的代數章節。本節將深入探討兩個核心概念：模函數（Modulus Functions，即絕對值）與多項式（Polynomials）。
如果這些主題對你來說曾顯得抽象，不必擔心。我們將把它們拆解成實用的步驟。掌握這些代數技巧非常關鍵，因為這能為後續學習微積分（Calculus）和三角學（Trigonometry）打下堅實的基礎！
1. 理解模函數（絕對值）
什麼是模（Modulus）？
一個數的模，記作 \(|x|\)，代表它在數線上與零的距離。
由於距離不可能是負數，模函數的結果永遠是正數（或零）。
類比：距離計算機
想像你的 GPS 在計算距離。無論你是向東行駛 5 km (+5) 還是向西行駛 5 km (-5)，計算出的距離永遠是 5 km。模函數正是這類「距離計算機」的數學版本。
數學定義：
- 若 \(x \ge 0\)，則 \(|x| = x\)
- 若 \(x < 0\)，則 \(|x| = -x\)
繪製 \(y = |ax + b|\) 的圖象
模函數的圖象非常獨特，呈現出明顯的「V」字形。這是因為原直線位於負數的部分被向上反射了。
要繪製 \(y = |ax + b|\)（例如 \(y = |2x - 4|\)）：
- 繪製原始線性函數： 先當作普通的直線 \(y = ax + b\) 來畫（例如 \(y = 2x - 4\)）。
- 找出根： 確定直線與 x 軸的交點（即 \(ax + b = 0\) 的地方）。這就是「V」字形的頂點。（以我們的例子為例，\(2x - 4 = 0\)，所以 \(x = 2\)）。
- 反射負數部分： 將直線位於 x 軸下方的部分沿 x 軸向上翻轉（反射）。正數部分則保持不變。
你知道嗎？ \(y = |ax + b|\) 的頂點坐標永遠是 \((-\frac{b}{a}, 0)\)。這一點非常關鍵，因為圖象的斜率正是在此處發生劇烈變化。
求解模方程
求解涉及模的方程時，我們主要依賴以下的核心恆等式：
關鍵恆等式： \(\mathbf{|a| = |b| \Leftrightarrow a^2 = b^2}\)
這個恆等式是求解模方程最簡單且最穩妥的方法。
步驟示範： 解 \(|3x - 2| = |2x + 7|\)
- 兩邊平方： \((3x - 2)^2 = (2x + 7)^2\)
- 展開： \(9x^2 - 12x + 4 = 4x^2 + 28x + 49\)
- 整理成一元二次方程： \(5x^2 - 40x - 45 = 0\)
- 化簡並因式分解（或使用公式）： \(x^2 - 8x - 9 = 0 \Rightarrow (x - 9)(x + 1) = 0\)
- 解： \(x = 9\) 或 \(x = -1\)
替代方法（分類討論）： 你也可以考慮原方程的兩種情況：
- 情況 1：\(3x - 2 = 2x + 7\)（兩邊正負號相同）
- 情況 2：\(3x - 2 = -(2x + 7)\)（兩邊正負號相反）
求解模不等式
解模不等式時，結構是關鍵。你必須運用模與「距離」相關的概念。
類型 1：小於（\(
如果 \(|x - a| < b\)，這意味著 \(x\) 與 \(a\) 之間的距離必須小於 \(b\)。
這會轉化為一個單一的複合不等式：
法則： \(\mathbf{|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b}\)
例子：解 \(|x - 5| < 3\)。
這裡 \(a=5\)，\(b=3\)。解為 \(5 - 3 < x < 5 + 3\)，即 \(\mathbf{2 < x < 8}\)。
類型 2：大於（\(>b\)）
如果 \(|x - a| > b\)，這意味著 \(x\) 與 \(a\) 之間的距離必須大於 \(b\)。
這會轉化為兩個獨立的不等式（通常稱為「或」命題）：
法則： \(\mathbf{|x - a| > b \Leftrightarrow x - a > b}\) 或 \(\mathbf{x - a < -b}\)
例子：解 \(|2x + 1| \ge 5\)。
情況 1：\(2x + 1 \ge 5 \Rightarrow 2x \ge 4 \Rightarrow \mathbf{x \ge 2}\)
情況 2：\(2x + 1 \le -5 \Rightarrow 2x \le -6 \Rightarrow \mathbf{x \le -3}\)
重點回顧：模函數關鍵筆記
1. 模方程通常以兩邊平方求解最為穩妥。
2. 「小於」類型的不等式會得出一個連續範圍。
3. 「大於」類型的不等式會得出兩個分離的範圍（「或」命題）。
2. 多項式：除法、因式與餘式
多項式是許多數學函數的基礎。在 PM2 中，你需要熟練處理最高至 4 次的多項式。
多項式除法
除法對於尋找因式和根至關重要。你必須能夠將多項式 \(P(x)\) 除以線性因式（如 \(x-a\)）或二次因式（如 \(x^2 + 2x + 1\)）。
除法表達式
當你用除數 \(D(x)\) 去除多項式 \(P(x)\) 時，會得到商 \(Q(x)\) 和餘數 \(R\)。
公式： \(P(x) = D(x) \times Q(x) + R(x)\)
步驟示範：長除法
例子：將 \(P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3\) 除以 \(D(x) = x - 1\)。
- 關注最高次項： \(x\)（來自 \(x-1\)）在 \(x^3\) 中包含多少次？是 \(x^2\)。在商的位置寫下 \(x^2\)。
- 相乘： 將除數與剛得出的商項相乘：\(x^2(x - 1) = x^3 - x^2\)。
- 相減： 從原多項式中減去該結果。\((x^3 - 5x^2) - (x^3 - x^2) = -4x^2\)。
- 落下下一項： 落下 \(+7x\)。你現在得到 \(-4x^2 + 7x\)。
- 重複步驟： \(x\) 在 \(-4x^2\) 中包含多少次？是 \(-4x\)。
- 繼續此過程，直到餘數的次數小於除數的次數為止。
常見錯誤： 進行多項式相減時，一定要特別小心符號！這裡非常容易因為小疏忽而導致整道題目算錯。
餘式定理（Remainder Theorem）
餘式定理是一個超級好用的快捷鍵！它能讓你在無需進行長除法的情況下，直接找出餘數。
定理 1（線性除數）： 當多項式 \(P(x)\) 被線性因式 \((x - a)\) 除時，餘數為 \(P(a)\)。
例子：求 \(P(x) = x^3 + x - 1\) 除以 \((x - 2)\) 的餘數。
代入 \(x = 2\)：\(P(2) = (2)^3 + 2 - 1 = 8 + 2 - 1 = 9\)。餘數為 9。
定理 2（一般線性除數）： 當 \(P(x)\) 被線性因式 \((ax + b)\) 除時，餘數為 \(P(-\frac{b}{a})\)。
這第二個定理對於 Paper 2 至關重要，因為考題經常出現 \(x\) 的係數不為 1 的除數。
例子：求 \(P(x) = 2x^2 + 3x + 1\) 除以 \((2x - 1)\) 的餘數。
令除數為零：\(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/2\)。
餘數為 \(P(1/2) = 2(1/2)^2 + 3(1/2) + 1 = 2(1/4) + 3/2 + 1 = 1/2 + 3/2 + 1 = 2 + 1 = \mathbf{3}\)。
因式定理（Factor Theorem）
因式定理其實是餘式定理的一個特例。
定理： \((x - a)\) 是 \(P(x)\) 的因式，當且僅當 \(P(a) = 0\)。
換句話說，如果代入某個值 \(a\) 使多項式結果為 0，則 \(a\) 是一個根，且 \((x - a)\) 是一個因式。
我們利用因式定理來：
- 尋找多項式中的未知係數（例如：已知 \((x-3)\) 為因式，求 \(k\) 的值）。
- 解多項式方程（例如：先透過觀察找到第一個因式，再利用除法找到剩餘的二次因式）。
尋找第一個因式的技巧：
如果多項式 \(P(x)\) 的係數皆為整數，則其整數因式通常是常數項的因數。
若 \(P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6\)，嘗試代入 \(x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\)。
\(P(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0\)。因為 \(P(2) = 0\)，所以 \((x - 2)\) 是一個因式！
一旦找到一個線性因式，就使用多項式除法將多項式降次為較簡單的二次式，接著就能透過標準方法（因式分解或公式法）輕鬆求出剩下的根。
重點回顧：多項式
餘式定理與因式定理是不可或缺的工具。善用因式定理來識別根（即餘數為 0 時），並運用多項式除法來求商以完成因式分解。當除數為 \((ax+b)\) 時，永遠記得代入 \(P(-\frac{b}{a})\) 來求餘數。
如果 \(|x - a| < b\)，這意味著 \(x\) 與 \(a\) 之間的距離必須小於 \(b\)。
這會轉化為一個單一的複合不等式：
法則： \(\mathbf{|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b}\)
例子：解 \(|x - 5| < 3\)。
這裡 \(a=5\)，\(b=3\)。解為 \(5 - 3 < x < 5 + 3\)，即 \(\mathbf{2 < x < 8}\)。
類型 2：大於（\(>b\)）
如果 \(|x - a| > b\)，這意味著 \(x\) 與 \(a\) 之間的距離必須大於 \(b\)。
這會轉化為兩個獨立的不等式（通常稱為「或」命題）：
法則： \(\mathbf{|x - a| > b \Leftrightarrow x - a > b}\) 或 \(\mathbf{x - a < -b}\)
例子：解 \(|2x + 1| \ge 5\)。
情況 1：\(2x + 1 \ge 5 \Rightarrow 2x \ge 4 \Rightarrow \mathbf{x \ge 2}\)
情況 2：\(2x + 1 \le -5 \Rightarrow 2x \le -6 \Rightarrow \mathbf{x \le -3}\)
重點回顧：模函數關鍵筆記
1. 模方程通常以兩邊平方求解最為穩妥。
2. 「小於」類型的不等式會得出一個連續範圍。
3. 「大於」類型的不等式會得出兩個分離的範圍（「或」命題）。
2. 多項式：除法、因式與餘式
多項式是許多數學函數的基礎。在 PM2 中，你需要熟練處理最高至 4 次的多項式。
多項式除法
除法對於尋找因式和根至關重要。你必須能夠將多項式 \(P(x)\) 除以線性因式（如 \(x-a\)）或二次因式（如 \(x^2 + 2x + 1\)）。
除法表達式
當你用除數 \(D(x)\) 去除多項式 \(P(x)\) 時，會得到商 \(Q(x)\) 和餘數 \(R\)。
公式： \(P(x) = D(x) \times Q(x) + R(x)\)
步驟示範：長除法
例子：將 \(P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3\) 除以 \(D(x) = x - 1\)。
- 關注最高次項： \(x\)（來自 \(x-1\)）在 \(x^3\) 中包含多少次？是 \(x^2\)。在商的位置寫下 \(x^2\)。
- 相乘： 將除數與剛得出的商項相乘：\(x^2(x - 1) = x^3 - x^2\)。
- 相減： 從原多項式中減去該結果。\((x^3 - 5x^2) - (x^3 - x^2) = -4x^2\)。
- 落下下一項： 落下 \(+7x\)。你現在得到 \(-4x^2 + 7x\)。
- 重複步驟： \(x\) 在 \(-4x^2\) 中包含多少次？是 \(-4x\)。
- 繼續此過程，直到餘數的次數小於除數的次數為止。
常見錯誤： 進行多項式相減時，一定要特別小心符號！這裡非常容易因為小疏忽而導致整道題目算錯。
餘式定理（Remainder Theorem）
餘式定理是一個超級好用的快捷鍵！它能讓你在無需進行長除法的情況下，直接找出餘數。
定理 1（線性除數）： 當多項式 \(P(x)\) 被線性因式 \((x - a)\) 除時，餘數為 \(P(a)\)。
例子：求 \(P(x) = x^3 + x - 1\) 除以 \((x - 2)\) 的餘數。
代入 \(x = 2\)：\(P(2) = (2)^3 + 2 - 1 = 8 + 2 - 1 = 9\)。餘數為 9。
定理 2（一般線性除數）： 當 \(P(x)\) 被線性因式 \((ax + b)\) 除時，餘數為 \(P(-\frac{b}{a})\)。
這第二個定理對於 Paper 2 至關重要，因為考題經常出現 \(x\) 的係數不為 1 的除數。
例子：求 \(P(x) = 2x^2 + 3x + 1\) 除以 \((2x - 1)\) 的餘數。
令除數為零：\(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/2\)。
餘數為 \(P(1/2) = 2(1/2)^2 + 3(1/2) + 1 = 2(1/4) + 3/2 + 1 = 1/2 + 3/2 + 1 = 2 + 1 = \mathbf{3}\)。
因式定理（Factor Theorem）
因式定理其實是餘式定理的一個特例。
定理： \((x - a)\) 是 \(P(x)\) 的因式，當且僅當 \(P(a) = 0\)。
換句話說，如果代入某個值 \(a\) 使多項式結果為 0，則 \(a\) 是一個根，且 \((x - a)\) 是一個因式。
我們利用因式定理來：
- 尋找多項式中的未知係數（例如：已知 \((x-3)\) 為因式，求 \(k\) 的值）。
- 解多項式方程（例如：先透過觀察找到第一個因式，再利用除法找到剩餘的二次因式）。
尋找第一個因式的技巧：
如果多項式 \(P(x)\) 的係數皆為整數，則其整數因式通常是常數項的因數。
若 \(P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6\)，嘗試代入 \(x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\)。
\(P(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0\)。因為 \(P(2) = 0\)，所以 \((x - 2)\) 是一個因式！
一旦找到一個線性因式，就使用多項式除法將多項式降次為較簡單的二次式，接著就能透過標準方法（因式分解或公式法）輕鬆求出剩下的根。
重點回顧：多項式
餘式定理與因式定理是不可或缺的工具。善用因式定理來識別根（即餘數為 0 時），並運用多項式除法來求商以完成因式分解。當除數為 \((ax+b)\) 時，永遠記得代入 \(P(-\frac{b}{a})\) 來求餘數。