Integration

Pure Mathematics 2 (9709) 學習筆記：第 2.5 章 積分 (Integration)

你好，未來的數學家！

歡迎來到 Paper 2 的積分章節！如果說微分像駕駛汽車向前行，那麼積分就像倒車——你需要從結果（斜率函數）反推回原本的函數。

在 Pure 1 中，你已經掌握了基本功。而在 Pure 2，我們會將規則擴展至更複雜的函數，特別是涉及指數函數、對數及新的三角函數形式。此外，我們還會學習一個關鍵的數值方法——梯形法則 (Trapezium Rule)，用於估算面積。

別擔心，如果起初覺得有點棘手是很正常的！ 我們將會一步步拆解重要的規則與方法，重點專注於 Paper 2 考試大綱要求的內容。

1. 作為微分逆運算的積分 (P2 擴展內容)

積分的核心原則不變：它是微分的逆過程。P2 的關鍵差異在於將此原則應用於內部為線性函數的函數，具體形式為 \((ax + b)\)。

核心概念：「除以 a」規則

當你微分像 \(f(ax+b)\) 這樣的函數時，你需要乘以括號內的導數 (\(a\))。因此，當你積分 \(f'(ax+b)\) 時，必須除以 \(a\)。

常見錯誤警示： 對於不定積分，永遠記得加上積分常數 \(+ C\)。如果漏掉它，你會被扣分的！

P2 擴展積分規則 (當 \(n \neq -1\))

以下是 Paper 2 必備的擴展規則：

1. 冪函數規則擴展：（用於多項式項）
\(\int (ax + b)^n dx = \frac{1}{a} \cdot \frac{(ax + b)^{n+1}}{n+1} + C\)

2. 指數函數：
\(\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C\)
例子： \(\int 4e^{3x-1} dx = 4 \cdot \frac{1}{3} e^{3x-1} + C = \frac{4}{3} e^{3x-1} + C\)

3. 倒數函數（導出 \(\ln\)）：
微分 \(\ln|x|\) 得到 \(\frac{1}{x}\)，因此倒數函數的積分結果為 \(\ln|x|\)。
\(\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C\)
（記得加上模數符號 \(| \dots |\)，因為對數只能對正數進行運算！）
例子： \(\int \frac{5}{2x-7} dx = 5 \cdot \frac{1}{2} \ln|2x-7| + C = \frac{5}{2} \ln|2x-7| + C\)

4. 三角函數：
回顧：微分 \(\sin\) 得到 \(\cos\)；微分 \(\cos\) 得到 \(-\sin\)。
\(\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C\)
\(\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C\)
\(\int \sec^2(ax+b) dx = \frac{1}{a} \tan(ax+b) + C\)

第 1 部分重點總結：

P2 積分的核心在於逆轉線性函數的鏈式法則。請先進行正常的積分，然後務必除以內部函數中 \(x\) 的係數。

2. 使用三角恆等式進行積分

有時候函數不能直接積分，但如果先重寫它，問題就迎刃而解。在 Pure 2 中，使用倍角公式處理正弦和餘弦平方項（如 \(\sin^2 x\)）是必備技能。

為什麼需要恆等式？

你知道如何積分 \(\cos x\) 或 \(\cos(2x)\)，但對於 \(\int \cos^2 x dx\) 或 \(\int \sin^2 x dx\) 並沒有直接的公式。我們需要將這些平方項轉換為我們可以積分的形式。

P2 積分必備恆等式

你必須熟練使用倍角公式的重排形式：

1. 對於 \(\cos^2 \theta\)： 使用 \(\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1\)。
重排後： \(\mathbf{\cos^2 \theta = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\theta)}\)

2. 對於 \(\sin^2 \theta\)： 使用 \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta\)。
重排後： \(\mathbf{\sin^2 \theta = \frac{1}{2}(1 - \cos 2\theta)}\)

分步例子

例子：計算 \(\int \sin^2(2x) dx\)。

步驟 1：識別角。 這裡的角度是 \(2x\)。倍角公式使用的是 \(2\theta\)。若 \(\theta = 2x\)，則 \(2\theta = 4x\)。
步驟 2：應用恆等式。
\(\sin^2(2x) = \frac{1}{2}(1 - \cos (2 \cdot 2x)) = \frac{1}{2}(1 - \cos 4x)\)
步驟 3：對轉換後的函數進行積分。
\(\int \frac{1}{2}(1 - \cos 4x) dx = \frac{1}{2} \int 1 dx - \frac{1}{2} \int \cos 4x dx\)
\(= \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \sin 4x \right) + C\)
\(= \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \sin 4x + C\)

第 2 部分重點總結：

如果在積分式中看到 \(\sin^2(\dots)\) 或 \(\cos^2(\dots)\)，請立即聯想到相應的倍角公式，在積分前先改寫表達式。

3. 梯形法則 (數值積分)

定積分 \(\int_a^b f(x) dx\) 表示曲線 \(y = f(x)\) 在 \(x=a\) 和 \(x=b\) 之間的準確面積。當面積過於複雜而無法求出精確解，或只給出了數據點時，我們使用數值方法來估算面積。

什麼是梯形法則？

梯形法則不是使用矩形（如同黎曼和），而是通過將區域劃分為垂直條狀（梯形）來近似面積。你使用的條數越多，估算值就越準確。

梯形法則公式

使用 \(n\) 個條狀（意即有 \(n+1\) 個縱坐標或 \(y\) 值）來估算 \(\int_a^b f(x) dx\)：
1. 計算條寬：\(h = \frac{b - a}{n}\)
2. 套用公式：
\(A \approx \frac{h}{2} [(y_0 + y_n) + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1})]\)

記憶輔助： 公式意思為：\(\frac{h}{2}\) 乘以 [ (首個 \(y\) + 最後一個 \(y\)) + 2(所有其他 \(y\) 之和) ]

分步計算

1. 計算 h： 根據區間 \([a, b]\) 和條數 \(n\) 確定條寬。
2. 建立表格： 列出 \(x\) 值（從 \(a=x_0\) 開始，到 \(b=x_n\) 結束）並計算對應的 \(y\) 值 (\(y = f(x)\))。
3. 代入公式： 仔細分辨「端點」(\(y_0, y_n\)) 和「中間點」(\(y_1, y_2, \dots\))。
4. 計算： 進行運算並根據要求保留有效位數（通常為 3 位有效數字）。

確定過高估計 (Over-estimate) 或過低估計 (Under-estimate)

考試大綱要求你通過繪製草圖來判斷梯形法則的估算結果是否大於（過高估計）或小於（過低估計）真實值。這取決於曲線的凹凸性 (Concavity)。

梯形的一條線段連接曲線上的兩點。

過高估計： 如果曲線是向上凹的 (concave up)（像一個笑臉，從切線向上彎曲），梯形的直線位於曲線的上方。
（記法：該形狀可以承載水。）

過低估計： 如果曲線是向下凹的 (concave down)（像一個苦臉，從切線向下彎曲），梯形的直線位於曲線的下方。
（記法：該形狀會傾倒水。）

第 3 部分重點總結：

梯形法則是估算面積的快捷方法。精確度取決於條數 \(n\)。你需要能夠正確運用公式，並能通過凹凸性與簡單的草圖解釋誤差的性質（過高或過低估計）。