Trigonometry

Pure Mathematics 2 (Paper 2) 學習筆記：三角學

你好，未來的數學家！歡迎來到 Paper 2 的三角學章節。如果你已經在 Pure Mathematics 1 (P1) 掌握了 \(\sin\)、\(\cos\) 和 \(\tan\) 的基礎知識，那麼在 P2，我們將要解鎖這些函數的「超能力」！

在本章中，我們會引入三個新的函數以及一系列強大的恆等式，讓你能夠簡化複雜的表達式，並解出更具挑戰性的三角方程。如果這裡的公式看起來很多，別擔心；我們會教你一些記憶技巧，並告訴你何時以及為何要使用它們。

來自 P1 的關鍵回顧（必備先修知識）

在深入探討之前，請確保你已熟悉以下內容：
• \(y = \sin x\)、\(y = \cos x\) 和 \(y = \tan x\) 的圖像。
• 恆等式 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)。
• 在指定範圍內（例如 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\) 或 \(-\pi < x < \pi\)）解簡單的三角方程。

1. 三個新的三角函數

在 P2，我們引入三個倒數三角函數 (reciprocal trigonometric functions)。它們其實就是你已經熟悉的那些函數的乘法逆元（即倒數）。

定義與關係

新的函數分別是正割 (Secant) (\(\sec \theta\))、餘割 (Cosecant) (\(\csc \theta\) 或有時記作 \(\text{cosec } \theta\)) 和餘切 (Cotangent) (\(\cot \theta\))。

• 正割 (Secant)： \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\)
• 餘割 (Cosecant)： \(\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
• 餘切 (Cotangent)： \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)

記憶小撇步：Co-規則
如果原始函數沒有以「co」開頭，其倒數函數則有以「co」開頭，反之亦然。
• \(\mathbf{S}\)ine (正弦) 對應 \(\mathbf{C}\)osecant (餘割)。
• \(\mathbf{C}\)osine (餘弦) 對應 \(\mathbf{S}\)ecant (正割)。
• \(\mathbf{T}\)angent (正切) 對應 \(\mathbf{C}\)otangent (餘切)。

圖像與漸近線

在繪製這些圖像時，請記住：只要原始函數的值為零，倒數函數就會無定義，從而產生一條漸近線 (asymptote)。

1. \(y = \sec \theta\) (\(\cos \theta\) 的倒數)

• 漸近線： 出現在 \(\cos \theta = 0\) 的地方，即 \(90^\circ, 270^\circ, 450^\circ, \dots\) 或 \(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots\)。
• 值域 (Range)： 由於 \(-1 \le \cos \theta \le 1\)，倒數函數必然滿足 \(y \le -1\) 或 \(y \ge 1\)。圖像永遠不會存在於 -1 和 1 之間。

2. \(y = \csc \theta\) (\(\sin \theta\) 的倒數)

• 漸近線： 出現在 \(\sin \theta = 0\) 的地方，即 \(0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, \dots\) 或 \(0, \pi, 2\pi, \dots\)。
• 值域： 與 \(\sec \theta\) 類似，值域為 \(y \le -1\) 或 \(y \ge 1\)。

關鍵點： 倒數函數讓我們能處理三角學中的除法問題。它們的圖像顯示函數跳過了 -1 到 1 之間的區域。

2. 畢氏恆等式（新一代）

我們從 P1 的基礎恆等式開始：\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)。

通過將此恆等式先除以 \(\cos^2 \theta\)，再除以 \(\sin^2 \theta\)，我們可以生成 P2 及以後學習中不可或缺的兩個新恆等式。

恆等式 1：正割與正切的關係

將 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 除以 \(\mathbf{\cos^2 \theta}\)：
\(\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}\)
\(\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta\)

公式 1：\(\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta\)

恆等式 2：餘割與餘切的關係

將 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 除以 \(\mathbf{\sin^2 \theta}\)：
\(\frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}\)
\(1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\)

公式 2：\(\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta\)

這兩個恆等式主要用於簡化表達式，或解決同時出現 \(\tan\) 與 \(\sec\)，或者 \(\cot\) 與 \(\csc\) 的方程。

關鍵點： 倒數恆等式讓你能在不同的三角函數間進行轉換，這通常能將複雜的表達式變得易於處理。它們是大多數 P2 三角證明和簡化題目的關鍵。

3. 複角（和差）公式

如果你需要求兩個角之和的正弦值，比如 \(\sin(A+B)\)，該怎麼辦？它絕對不是 \(\sin A + \sin B\)！我們需要用到複角公式。

公式（一定要記住！）

正弦和差：

\(\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\)

餘弦和差：

\(\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\)

正切和差：

\(\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}\)

記憶小撇步：正弦很隨和；餘弦很傲嬌

• 正弦公式 (\(\sin(A \pm B)\))： 正弦很「隨和」——它與和角保留同樣的符號 (\(\pm\))，且它會將函數混合在一起 (\(\sin\) 和 \(\cos\) 一起)。
• 餘弦公式 (\(\cos(A \pm B)\))： 餘弦很「傲嬌」——它會改變符號 (\(\mp\))，且它會將函數分組起來 (全部 \(\cos\) 在一起，全部 \(\sin\) 在一起)。

複角公式的應用

主要用途包括：

1. 精確值計算： 求出非 30、45 或 60 度的角度的精確值（例如 \(\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ)\)）。
2. 簡化： 改寫如 \(\cos(x - 30^\circ)\) 的表達式，使其更容易進行微分或積分（或者單純為了符合題目要求的證明形式）。

你知道嗎？複角公式是幾乎所有高等三角學的基礎。倍角公式和 R-公式其實都只是它們的特例！

關鍵點： 複角公式讓你將和角函數分解為單一角度函數的混合體。在使用餘弦公式時，請務必極度小心符號的變化！

4. 倍角公式

這些公式是通過在複角公式中令 \(A = B\) 推導出來的。它們在解方程、簡化表達式，特別是積分（在 P3/P2 延伸課程中）方面非常實用。

公式

1. 正弦倍角： (在 \(\sin(A+B)\) 中令 \(A=B\))
\(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\)

2. 餘弦倍角： (在 \(\cos(A+B)\) 中令 \(A=B\))
\(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\)

關於 \(\cos 2A\) 的重要筆記： 利用恆等式 \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)，我們可以代入並得到另外兩種形式：

• \(\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1\)
• \(\cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A\)

你必須熟悉全部三種形式！涉及 \(2 \cos^2 A - 1\) 和 \(1 - 2 \sin^2 A\) 的形式，在微積分中處理正弦或餘弦的冪次時至關重要。

3. 正切倍角： (在 \(\tan(A+B)\) 中令 \(A=B\))
\(\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\)

關鍵點： 倍角公式將 \(2A\) 的函數與 \(A\) 的函數聯繫起來。記得 \(\cos 2A\) 的三種形式。

5. R-公式（輔助角形式）

R-公式是 P2 三角學中最獨特也最重要的技能之一。它讓我們能將正弦和餘弦的線性組合 (\(a \sin \theta + b \cos \theta\)) 改寫成一個單一的合併波函數。

目標： 將 \(a \sin \theta + b \cos \theta\) 表達成 \(R \sin(\theta \pm \alpha)\) 或 \(R \cos(\theta \pm \alpha)\) 的形式。

比喻： 想像兩道波浪撞擊一面牆。R-公式能幫你計算最終合成的那個波（它的波峰高度 \(R\)，以及相移 \(\alpha\)）。

求 R 和 \(\alpha\) 的步驟

我們以目標形式 \(R \sin(\theta + \alpha)\) 為例，其中 \(R > 0\) 且 \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)（或 \(0 < \alpha < \pi/2\)）。

步驟 1：展開目標形式。

使用複角公式：

\(R \sin(\theta + \alpha) = R(\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha)\)
\(R \sin(\theta + \alpha) = (R \cos \alpha) \sin \theta + (R \sin \alpha) \cos \theta\)

步驟 2：比較係數。

將展開後的式子與原始表達式 \(a \sin \theta + b \cos \theta\) 對比：

• \(\sin \theta\) 的係數：\(R \cos \alpha = a\) (方程 I)
• \(\cos \theta\) 的係數：\(R \sin \alpha = b\) (方程 II)

步驟 3：計算 R (振幅)。

將方程 I 和 II 平方後相加，並利用 \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\)：

\((R \cos \alpha)^2 + (R \sin \alpha)^2 = a^2 + b^2\)
\(R^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = a^2 + b^2\)
\(R^2 (1) = a^2 + b^2\)

結果：\(R = \sqrt{a^2 + b^2}\)

步驟 4：計算 \(\alpha\) (相移)。

將方程 II 除以方程 I：

\(\frac{R \sin \alpha}{R \cos \alpha} = \frac{b}{a}\)

結果：\(\tan \alpha = \frac{b}{a}\)

關鍵點： 計算 \(\alpha\) 時，必須使用原始表達式 \(a \sin \theta + b \cos \theta\) 中的 \(a\) 和 \(b\) 來確定 \(R \sin \alpha\) 和 \(R \cos \alpha\) 的正負號。由於 \(R\) 永遠為正，\(a\) 和 \(b\) 的正負決定了 \(\alpha\) 所在的象限。

例子：將 \(4 \cos \theta - 3 \sin \theta\) 寫成 \(R \cos(\theta + \alpha)\) 的形式。

1. 展開 \(R \cos(\theta + \alpha) = R(\cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha)\)
2. 與 \(4 \cos \theta - 3 \sin \theta\) 對比：
• \(R \cos \alpha = 4\) (正)
• \(R \sin \alpha = 3\) (正——忽略原本表達式中的負號，因為它已被展開式的符號變更所吸收)。
3. \(R = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5\)
4. \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\)。（因為 \(R \sin \alpha\) 和 \(R \cos \alpha\) 均為正，\(\alpha\) 在第一象限。）
\(\alpha = \tan^{-1}(3/4) \approx 36.9^\circ\)
答案：\(5 \cos(\theta + 36.9^\circ)\)

為什麼要使用 R-公式？

我們用它來解複雜的三角方程或求最大/最小值。

• 若 \(f(\theta) = R \sin(\theta + \alpha)\)，則最大值為 \(R\)，最小值為 \(-R\)。
• 方程 \(a \sin \theta + b \cos \theta = k\) 會變為 \(R \sin(\theta \pm \alpha) = k\)，這變成了一個簡單的 P1 風格方程。

關鍵點： R-公式將正弦和餘弦的和轉化為單一的、易處理的波。\(R\) 用畢氏定理求，\(\alpha\) 用正切求，並務必確認 \(\alpha\) 的象限。