歡迎來到 P2 三角學：擴展你的數學工具箱！
你好，未來的數學家！這一章「三角學」將帶領你運用 P1 的基礎概念（正弦、餘弦、正切圖形及解簡單方程式），並透過強大的新恆等式將其提升到更高層次。如果你之前覺得三角函數圖形很難理解，別擔心！我們會將這些新公式拆解成簡單、易用的工具。
為什麼這很重要？ 這些恆等式能讓我們化簡極為複雜的三角表達式、解開看似無解的方程式，並更準確地模擬現實世界中的現象，如聲波、光線和潮汐運動。掌握 P2 的三角學對於你在 P3 的成功至關重要。
第 1 節：弧度制溫習
在 P2 中，我們幾乎總是使用弧度（Radians）而非度數，特別是在處理微積分時（這很快就會學到！）。請記住，\(\pi\) 弧度等於 \(180^\circ\)。
快速換算公式
- 度數轉弧度：乘以 \(\frac{\pi}{180}\)
- 弧度轉度數：乘以 \(\frac{180}{\pi}\)
關鍵概念：弧長與扇形面積
這些公式非常重要，且僅在角度 \(\theta\) 以弧度為單位時才適用。
- 弧長 (s)： 圓扇形曲邊的距離。
$$s = r\theta$$ - 扇形面積 (A)： 扇形內部的面積。
$$A = \frac{1}{2}r^2\theta$$
快速回顧： 若圓半徑為 5 cm，角度為 \(\frac{\pi}{3}\) 弧度：
弧長 \(s = 5 \times \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\) cm。
面積 \(A = \frac{1}{2} \times 5^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{25\pi}{6}\) cm²。
第 2 節：加法（複角）公式
加法公式告訴我們如何求兩個角 \(A\) 和 \(B\) 之和或差的正弦、餘弦或正切值。這些是 P2 三角學其餘部分的基石。
1. 正弦公式
正弦的規律涉及正弦與餘弦函數的混合。正負號（加或減）保持不變。
$$ \sin(A + B) \equiv \sin A \cos B + \cos A \sin B \ \sin(A - B) \equiv \sin A \cos B - \cos A \sin B $$正弦記憶法： S. C. C. S. (Sine, Cosine, Cosine, Sine)。正負號與括號內的符號一致。
2. 餘弦公式
餘弦的規律涉及函數分組（cos-cos, sin-sin）。關鍵在於，正負號會翻轉！
$$ \cos(A + B) \equiv \cos A \cos B - \sin A \sin B \ \cos(A - B) \equiv \cos A \cos B + \sin A \sin B $$餘弦記憶法： C. C. S. S. (Cosine, Cosine, Sine, Sine)。正負號與括號內的符號相反。
3. 正切公式
正切則略有不同，請看規律：
$$ \tan(A + B) \equiv \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \ \tan(A - B) \equiv \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $$正切記憶法： 分子的符號與括號一致，分母的符號則相反。
⚠ 關鍵點：如何運用加法公式
我們運用這些公式主要為了：
- 求非特殊角或組合角的準確值，例如透過計算 \(\sin(45^\circ - 30^\circ)\) 來求 \(\sin(15^\circ)\)。
- 反向操作：如果你看到 \(\cos 3x \cos x - \sin 3x \sin x\)，你可以馬上辨認出這能簡化為 \(\cos(3x + x) = \cos 4x\)。
第 3 節：倍角公式
倍角公式是加法公式在 \(A = B\) 時的特例。這些公式在 P2 和 P3 的解方程式與積分中經常使用。
1. 正弦倍角
由 \(\sin(A + B)\) 開始，令 \(B = A\)：
$$ \sin(A + A) \equiv \sin A \cos A + \cos A \sin A $$得到 \(\sin 2A\) 的唯一形式：
$$ \sin 2A \equiv 2 \sin A \cos A $$2. 餘弦倍角
由 \(\cos(A + B)\) 開始，令 \(B = A\)：
$$ \cos(A + A) \equiv \cos A \cos A - \sin A \sin A $$得到 \(\cos 2A\) 的第一種形式：
$$ \cos 2A \equiv \cos^2 A - \sin^2 A $$還沒完呢！ 我們知道 P1 的基本恆等式：\(\sin^2 A + \cos^2 A \equiv 1\)。我們可以將其代入上述公式，得到另外兩種非常有用的形式：
- 將 \(\cos^2 A\) 替換為 \((1 - \sin^2 A)\)： $$\cos 2A \equiv (1 - \sin^2 A) - \sin^2 A$$ $$\cos 2A \equiv 1 - 2 \sin^2 A$$
- 將 \(\sin^2 A\) 替換為 \((1 - \cos^2 A)\)： $$\cos 2A \equiv \cos^2 A - (1 - \cos^2 A)$$ $$\cos 2A \equiv 2 \cos^2 A - 1$$
為什麼 \(\cos 2A\) 有三種形式？ 當解三角方程式時，你必須選擇一種能讓方程式僅包含單一類型三角函數（只有正弦或只有餘弦）的形式。這點至關重要！
3. 正切倍角
由 \(\tan(A + B)\) 開始，令 \(B = A\)：
$$ \tan 2A \equiv \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} $$☢ 常見錯誤警示！
千萬不要把 \(\sin 2A\) 與 \(2 \sin A\) 混淆。它們截然不同。
例子：若 \(A=30^\circ\)，\(\sin 2A = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。但 \(2 \sin A = 2 \times \sin 30^\circ = 2 \times \frac{1}{2} = 1\)。
第 4 節：解三角方程式（P2 風格）
P2 的方程式通常要求你在使用 P1 的標準解法前，先運用恆等式。目標始終是將方程式化簡為單一三角函數的二次方程式（例如 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(x\) 可能是 \(\cos \theta\)）。
分步解題過程
解方程式 \(2 \sin^2 \theta = 3 \cos \theta + 3\)，範圍為 \(0^\circ \le \theta < 360^\circ\)。
第 1 步：分析問題。 我們同時有 \(\sin^2 \theta\) 和 \(\cos \theta\)。必須使用 P1 恆等式 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 將其中一個轉化為另一個。
第 2 步：代換。 將 \(\sin^2 \theta\) 替換為 \((1 - \cos^2 \theta)\)。
$$ 2(1 - \cos^2 \theta) = 3 \cos \theta + 3 $$第 3 步：整理成二次方程式。 展開並將所有項移到同一邊（保持二次項為正通常較方便）。
$$ 2 - 2 \cos^2 \theta = 3 \cos \theta + 3 \ 0 = 2 \cos^2 \theta + 3 \cos \theta + 1 $$第 4 步：解二次方程式。 令 \(x = \cos \theta\)。解 \(2x^2 + 3x + 1 = 0\)。
$$ (2x + 1)(x + 1) = 0 $$因此，\(\cos \theta = -1\) 或 \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\)。
第 5 步：求角度。 使用反函數及 CAST 圖或圖形知識，找出給定範圍內的所有解。
- 情況 1：\(\cos \theta = -1\)。\(\theta = 180^\circ\)
- 情況 2：\(\cos \theta = -\frac{1}{2}\)。（參考角為 \(60^\circ\）。餘弦在第二和第三象限為負）。
- 第二象限：\)180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)
- 第三象限：\(180^\circ + 60^\circ = 240^\circ\)
解： \(120^\circ, 180^\circ, 240^\circ\)。
✅ P2 恆等式解題清單
解方程式時：
- 若有不同的角度（\(2\theta\) 和 \(\theta\)），使用倍角公式將其統一為 \(\theta\)。
- 若有不同的函數（\(\sin^2\) 和 \(\cos\)），使用畢氏恆等式 (\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)) 將其統一為同一函數。
第 5 節：R-公式（諧波形式）
這大概是 P2 三角學中最重要的主題。R-公式將包含正弦與餘弦項的表達式（如 \(a \cos \theta + b \sin \theta\)）轉換為單一的波函數（如 \(R \cos(\theta - \alpha)\)）。
目的： 輕鬆求出表達式的最大值與最小值，並解出結合正弦與餘弦的方程式。
我們的目標是證明：
$$\na \cos \theta + b \sin \theta \equiv R \cos(\theta - \alpha) $$...或其三種變體之一（\(R \sin(\theta + \alpha)\), \(R \cos(\theta + \alpha)\), \(R \sin(\theta - \alpha)\)）。
類比： 想像兩個不同的聲波（正弦與餘弦）結合。R-公式告訴你，結果僅是一個新的單一波（R-波），它的幅度更大（R）且有相位偏移（\(\alpha\)）。
分步教學：如何求 R 與 \(\alpha\)
讓我們求 \(3 \cos \theta + 4 \sin \theta\) 的 \(R\) 與 \(\alpha\)，將其轉化為 \(R \cos(\theta - \alpha)\) 形式，其中 \(R > 0\) 且 \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)。
第 1 步：展開 R-形式。
使用 \(\cos(\theta - \alpha)\) 的加法公式：
$$\nR \cos(\theta - \alpha) \equiv R (\cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha) \\nR \cos(\theta - \alpha) \equiv (R \cos \alpha) \cos \theta + (R \sin \alpha) \sin \theta $$第 2 步：比較係數。
將此展開式與原始表達式 \(3 \cos \theta + 4 \sin \theta\) 進行對照。
- \(\cos \theta\) 的係數：\(R \cos \alpha = 3\) (方程式 1)
- \(\sin \theta\) 的係數：\(R \sin \alpha = 4\) (方程式 2)
第 3 步：求 R（幅度）。
將兩個方程式平方並相加：
$$ (R \cos \alpha)^2 + (R \sin \alpha)^2 = 3^2 + 4^2 \\nR^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 9 + 16 \\nR^2 (1) = 25 \\nR = 5 $$R 的公式： \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\)（這其實就是畢氏定理！）。
第 4 步：求 \(\alpha\)（相位偏移）。
將方程式 2 除以方程式 1：
$$ \frac{R \sin \alpha}{R \cos \alpha} = \frac{4}{3} \ \tan \alpha = \frac{4}{3} \ \alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^\circ \text{ (至小數後 1 位)} $$結論： \(3 \cos \theta + 4 \sin \theta \equiv 5 \cos(\theta - 53.1^\circ)\)。
R-公式的應用
一旦得到 R-形式，你可以輕易判斷：
1. 最大值與最小值
由於 \(-1 \le \cos(\theta - \alpha) \le 1\)，整體表達式 \(R \cos(\theta - \alpha)\) 的範圍為：
- 最大值：\(R\)
- 最小值：\(-R\)
在我們的例子中，最大值為 5，最小值為 -5。
2. 解方程式
若要解 \(3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 2\)，你可以改寫為：
$$ 5 \cos(\theta - 53.1^\circ) = 2 \ \cos(\theta - 53.1^\circ) = 0.4 $$這現在變成了標準的 P1 風格方程式，使得解題過程簡便許多。
你知道嗎？（P2 波）
R-公式有時被稱為諧波形式（Harmonic Form）。它證明了任何相同頻率的正弦與餘弦波的組合，都等同於一個單一波（合成波），這體現了物理學與訊號處理中的一個基本原理！
章節總結與要點
這一章 P2 為處理與解決三角問題提供了強大的工具。請專注於以下目標：
- 弧度： 確保正確使用 \(s=r\theta\) 和 \(A=\frac{1}{2}r^2\theta\)，並確保 \(\theta\) 為弧度制。
- 恆等式： 背誦加法公式（S.C.C.S. 與 C.C.S.S.）。
- 倍角： 熟悉 \(\cos 2A\) 的三種形式，並選擇正確的一種，以便建立一個僅含單一函數（如只有 \(\sin \theta\)）的方程式。
- R-公式： 掌握四步驟：展開、對照係數、求 \(R\)（畢氏定理）、求 \(\alpha\)（\(\tan \alpha\)）。
如果這些恆等式初看令人畏懼，別擔心。多練習寫幾次，並多練習辨認反向形式，你很快就會對運用它們感到自信！