歡迎來到微分的世界！
你好，數學家！微分是純數學（Pure Mathematics）中最強大的工具之一。別擔心這個術語聽起來很嚇人——它其實就是用來測量事物變化快慢的方法而已。
在本章中，你將學習如何求出函數的瞬時變化率（instantaneous rate of change），這本質上就是在曲線的某一點上，找出其準確的陡峭程度（即斜率，gradient）。這項技能對於解決現實生活中涉及速度、增長率和最優化問題至關重要。
1. 理解概念：斜率與變化率
1.1 什麼是微分？
想像一下你在開車。如果你測量一整個小時內行駛的距離，你會得到你的平均速度。但如果是你車速表上顯示的「這一瞬間」的速度呢？這就是瞬時變化率。
- 在數學中，瞬時變化率被稱為導數（Derivative）。
- 我們經常使用符號 \(\frac{dy}{dx}\)，它代表在一個極小的區間內，「\(y\) 的變化量除以 \(x\) 的變化量」。
- 在幾何上，\(\frac{dy}{dx}\) 代表曲線 \(y = f(x)\) 在任意點 \((x, y)\) 處切線的斜率。
1.2 找出導函數（斜率函數）
微分不僅能讓我們求出單一點的斜率，還能讓我們得出一個新的函數——導函數（gradient function），它能給出每一個 \(x\) 值對應的斜率。
如果函數是 \(y = f(x)\)：
一階導數（導函數）寫作：
- \(\frac{dy}{dx}\)
- \(f'(x)\)
重點總結：微分能找出曲線在任何特定點的精確斜率，從而告訴我們瞬時變化率。
2. 冪法則（Power Rule）：多項式的微分
冪法則是微積分中的基本功。它能讓你快速對 \(ax^n\) 形式的項進行微分。
2.1 核心法則
若 \(y = ax^n\)，其中 \(a\) 和 \(n\) 是常數，則導數為：
$$ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1} $$步驟方法：
- 乘：將原有的係數 (\(a\)) 乘以次方 (\(n\))。
- 減：將次方 (\(n\)) 減 1。
記憶口訣：「次方乘下來，次方減一。」
例子：
若 \(y = 4x^3\)：
1. 乘：\(4 \times 3 = 12\)
2. 減：\(3 - 1 = 2\)
所以，\(\frac{dy}{dx} = 12x^2\)。
2.2 微分複雜形式（指數法則複習）
在應用冪法則之前，你必須先將函數改寫為 \(ax^n\) 的形式。這需要運用指數法則。
| 原始形式 (\(y\)) | 指數形式（準備好微分） |
|---|---|
| \(y = \frac{1}{x^2}\) | \(y = x^{-2}\) |
| \(y = \sqrt{x}\) | \(y = x^{1/2}\) |
| \(y = 5\sqrt{x^3}\) | \(y = 5x^{3/2}\) |
常見錯誤警示！
若 \(y = \frac{3}{x}\)，許多學生會誤用商法則（quotient rule）來微分。停！ 先改寫它：\(y = 3x^{-1}\)。
然後，\(\frac{dy}{dx} = (3)(-1)x^{-1-1} = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}\)。
2.3 微分和、差與常數
如果函數是多項式的和或差，你只需要分別對每一項進行微分即可。
- 常數：若 \(y = c\)（\(c\) 為常數，例如 \(y=7\)），斜率為 0，因為水平線沒有陡峭度。 $$ \frac{d}{dx} (c) = 0 $$
- 線性項：若 \(y = ax\)（例如 \(y=5x\)），這其實是 \(y = 5x^1\)。 $$ \frac{d}{dx} (5x) = (5)(1)x^{1-1} = 5x^0 = 5 $$
組合函數例子：
若 \(y = 3x^4 - 2x + 7\)
$$ \frac{dy}{dx} = 12x^3 - 2 + 0 = 12x^3 - 2 $$
重點總結：將所有項改寫為 \(ax^n\)，然後使用冪法則：乘以次方，再將次方減一。常數項會直接消失！
3. 指數與對數函數的微分（P2 特供）
在 P2 中，你需要掌握自然指數 \(e^x\) 和自然對數 \(\ln x\) 的微分。
3.1 指數函數 (\(e^x\))
指數函數非常特別，因為它的導數就是它本身！
- 若 \(y = e^x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = e^x\)。
當次方是 \(x\) 的簡單倍數時：
$$ \text{若 } y = e^{kx}, \text{ 則 } \frac{dy}{dx} = ke^{kx} $$技巧：你只需要將函數乘以 \(x\) 的係數即可。
例子：
1. 若 \(y = e^{5x}\)，則 \(\frac{dy}{dx} = 5e^{5x}\)。
2. 若 \(y = 3e^{-2x}\)，則 \(\frac{dy}{dx} = 3 \times (-2)e^{-2x} = -6e^{-2x}\)。
3.2 對數函數 (\(\ln x\))
自然對數函數的導數非常簡潔：
$$ \text{若 } y = \ln x, \text{ 則 } \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} $$如果對數內有一個係數，例如 \(y = \ln(kx)\)，該怎麼辦？
$$ \text{若 } y = \ln(kx), \text{ 則 } \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} $$你知道嗎？ 根據對數律（\(\ln(kx) = \ln k + \ln x\)），由於 \(\ln k\) 只是個常數，當你對 \(\ln(kx)\) 微分時，\(\ln k\) 項會變為 0，只剩下 \(\frac{1}{x}\)！
例子：
若 \(y = 4 \ln(3x) + x^2\)，則 \(\frac{dy}{dx} = 4 \left( \frac{1}{x} \right) + 2x = \frac{4}{x} + 2x\)。
重點總結：\(e^x\) 微分後仍是自己（乘上 \(x\) 的係數）。\(\ln(x)\) 或 \(\ln(kx)\) 微分後都等於 \(\frac{1}{x}\)。
4. 連鎖律（Chain Rule - 複合函數）
連鎖律用於當一個函數嵌套在另一個函數之內時——即「函數的函數」。想像它就像俄羅斯娃娃，或是剝洋蔥。你必須先微分最外層，再微分內層。
在 P2 中，你通常在處理括號的某次方，或當 \(e\) 的次方比簡單的 \(kx\) 更複雜時使用連鎖律。
4.1 形式化規則（簡化版）
如果 \(y\) 依賴於 \(u\)，而 \(u\) 依賴於 \(x\)，我們寫作： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} $$
4.2 直觀的步驟方法
設 \(y = (f(x))^n\)。
- 微分外層： 對整個括號應用冪法則（把括號內的東西當作一個變數）。
- 保留內層： 暫時不要改變括號內的表達式。
- 乘以內層的導數： 將括號內的表達式進行微分，並將結果乘到前面。
例子 1：多項式括號
微分 \(y = (2x^3 - 5)^4\)。
1. 外層：\(4(2x^3 - 5)^3\)
2. 內層 (\(2x^3 - 5\)) 的導數：\(6x^2\)
3. 結合：\(\frac{dy}{dx} = 4(2x^3 - 5)^3 \times (6x^2)\)
4. 化簡：\(\frac{dy}{dx} = 24x^2(2x^3 - 5)^3\)
例子 2：指數連鎖
微分 \(y = e^{x^2 + 3x}\)。
1. 外層：\(e^{x^2 + 3x}\) （\(e^{\text{某物}}\) 的導數仍是 \(e^{\text{某物}}\)）。
2. 內層 (\(x^2 + 3x\)) 的導數：\(2x + 3\)
3. 結合：\(\frac{dy}{dx} = e^{x^2 + 3x} \times (2x + 3)\)
4. 化簡：\(\frac{dy}{dx} = (2x + 3)e^{x^2 + 3x}\)
重點總結：使用連鎖律時，務必記得將結果乘以「內層」函數的導數。
5. 微分的應用
5.1 尋找切線與法線方程
由於 \(\frac{dy}{dx}\) 給出了曲線的斜率，我們可以用它來找到在特定點 \((x_1, y_1)\) 與曲線互動的直線方程。我們使用直線方程公式：\(y - y_1 = m(x - x_1)\)。
尋找切線方程的步驟：
- 若未提供 \(y\) 坐標，先求出該 \(x\) 對應的 \(y\) 值。
- 對函數 \(y\) 微分，求出導函數 \(\frac{dy}{dx}\)。
- 將 \(x\) 坐標代入 \(\frac{dy}{dx}\)，求出切線的斜率 \(m_T\)。
- 利用點 \((x_1, y_1)\) 和斜率 \(m_T\) 代入公式 \(y - y_1 = m_T(x - x_1)\)。
法線（Normal）
法線是垂直於該點切線（成 90°）的直線。
如果切線斜率為 \(m_T\)，則法線斜率 \(m_N\) 為其負倒數： $$ m_N = -\frac{1}{m_T} $$
例子： 若切線斜率為 4，法線斜率為 \(-\frac{1}{4}\)。若切線斜率為 \(-\frac{2}{3}\)，法線斜率為 \(\frac{3}{2}\)。
5.2 駐點（極大值與極小值）
駐點（也稱為轉折點，stationary point）是指曲線上斜率恰好為 0 的點。
$$ \text{在駐點處： } \frac{dy}{dx} = 0 $$駐點有三種類型：極大點（Maximum）、極小點（Minimum）和拐點（Point of Inflection，P2 較少考）。
判斷性質（極大或極小）：二階導數測試
為了判斷駐點是極大還是極小，我們使用二階導數，記作 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 或 \(f''(x)\)。這其實就是對導函數再微分一次。
尋找駐點的步驟：
- 求 \(\frac{dy}{dx}\)： 對原函數微分。
- 設為 0： 解 \(\frac{dy}{dx} = 0\) 以求出駐點的 \(x\) 坐標。
- 求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)： 對 \(\frac{dy}{dx}\) 再微分一次。
- 測試點： 將步驟 2 求出的每個 \(x\) 值代入 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)：
- 若 \(\frac{d^2y}{dx^2} > 0\)，則為極小點（曲線向上彎曲，像微笑的臉）。
- 若 \(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\)，則為極大點（曲線向下彎曲，像悲傷的臉）。
- 求 \(y\)： 將 \(x\) 值代回原方程 \(y = f(x)\) 以求出對應的 \(y\) 坐標。
鼓勵： 別對符號感到混亂！記住這個思考方式：正曲率 (++) 代表正向，是「微笑」，所以是極小值。負曲率 (--) 代表負向，是「悲傷」，所以是極大值。
重點總結：斜率 \(\frac{dy}{dx}\) 給你切線斜度。設其為 0 可找出轉折點。二階導數 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 則用來判定該點是極大還是極小。
快速複習清單
在繼續之前，確保你能自信地執行以下 P2 微分技能：
- 將根號和分數改寫為 \(x^n\) 的形式。
- 對諸如 \(3x^{-4}\) 之類的項使用冪法則。
- 微分 \(e^{kx}\) 和 \(\ln(kx)\)。
- 將連鎖律應用於簡單的多項式和指數（如 \((4x+1)^6\) 和 \(e^{x^2}\)）。
- 找出特定點的切線斜率。
- 利用負倒數找出法線斜率。
- 解 \(\frac{dy}{dx} = 0\) 以尋找駐點。
- 使用 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 來分類駐點。