單元 P2：純數 2 - 代數與函數
各位數學家好！
歡迎來到純數 2 的代數與函數章節。在 P1 中，大家已經掌握了二次式和簡單聯立方程的解法。現在，我們要更進一步了！我們將學習如何處理更複雜的多項式表達式，重點在於高效的除法運算及尋找因式。
為什麼這很重要呢？因為這些技巧對於解三次及四次方程至關重要，而這些方程在高等微積分和應用數學問題中經常出現。只要掌握這些工具，你會發現解決棘手的方程變得容易多了！
1. 多項式：定義與代數長除法
1.1 什麼是多項式？
多項式通常記作 \(f(x)\) 或 \(P(x)\)，是由變數與係數組成的表達式，其中的變數指數必須為非負整數（例如 \(x^2, x^3\)，但不包括 \(x^{-1}\) 或 \(\sqrt{x}\)）。
- 多項式的次數 (Degree) 是指 \(x\) 的最高次冪。
例子： \(f(x) = 2x^3 - 5x + 1\) 是一個 3 次多項式（稱為三次多項式）。
1.2 代數長除法
正如你可以將 17 除以 5 得到商為 3、餘數為 2 一樣，我們也可以對多項式進行除法。當除數不是簡單的因式，或者我們需要求出完整的商時，我們就會使用代數長除法。
目標：將除法改寫為以下形式：
\[ \frac{\text{被除數}}{\text{除數}} = \text{商} + \frac{\text{餘數}}{\text{除數}} \]
通常寫作：
\[ f(x) = Q(x)D(x) + R(x) \]
其中 \(Q(x)\) 是商，\(D(x)\) 是除數，\(R(x)\) 是餘數。
長除法步驟說明
讓我們將 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6\) 除以 \((x - 2)\)。
- 準備：確保被除數沒有遺漏任何次冪。如果被除數是 \(x^3 + 5\)，必須寫成 \(x^3 + 0x^2 + 0x + 5\)。(這樣能保持欄位整齊！)
- 除首項：用被除數的第一項 (\(x^3\)) 除以除數的第一項 (\(x\))。\(x^3 \div x = x^2\)。這是你商的第一項。
- 相乘：將結果 (\(x^2\)) 乘以整個除數 \((x - 2)\)。即 \(x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2\)。
- 相減：從被除數中減去此結果。注意符號！ \((x^3 + 2x^2) - (x^3 - 2x^2) = 4x^2\)。
- 下拉：下拉下一項 (\(-5x\))。新的表達式變為 \(4x^2 - 5x\)。
- 重複：使用 \(4x^2 - 5x\) 作為新的被除數片段，重複步驟 2，直到剩餘項的次數小於除數的次數為止。
常見錯誤提示：最常見的錯誤是減法運算，特別是在減去負項時。進行減法步驟時，請務必使用括號！
重點總結：代數長除法是求出精確商數和餘數的穩健方法，但步驟可能較繁瑣。我們需要更快的方法！
2. 餘式定理 (Remainder Theorem)
別擔心！你不需要每次都執行完整的長除法來求餘數。餘式定理能幫你節省大量時間。
2.1 原理
餘式定理指出，若多項式 \(f(x)\) 除以線性除數 \((x - a)\)，則餘數即為 \(f(a)\)。
若除數為 \((ax - b)\)，則餘數為 \(f\left(\frac{b}{a}\right)\)。
為什麼有效？
回想除法公式：\(f(x) = Q(x)D(x) + R\)。
若 \(D(x) = (x - a)\)，則 \(f(x) = Q(x)(x - a) + R\)。
若我們代入 \(x = a\)：
\[ f(a) = Q(a)(a - a) + R \]
由於 \((a - a) = 0\)，整項商數都會消失，剩下：
\[ f(a) = R \]
這非常強大！
2.2 應用餘式定理（步驟說明）
例子：求 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5\) 除以 \((x + 2)\) 的餘數。
- 確認除數：除數是 \((x + 2)\)。
- 找測試值：令除數為零：\(x + 2 = 0\)，因此測試值為 \(x = -2\)。(注意：若除數是 \((x - a)\)，我們測試 \(a\)；若除數是 \((x + a)\)，我們測試 \(-a\))。
- 代入：計算 \(f(-2)\)。
\[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 5 \]
- 計算：
\[ f(-2) = -8 - 3(4) + 5 \]
\[ f(-2) = -8 - 12 + 5 = -15 \]
餘數為 -15。
記憶小撇步：要找到代入的值，只需問自己：「什麼 \(x\) 值能讓除數變為零？」
2.3 使用餘式定理求未知數
一個常見的 P2 題目是利用餘數來求未知係數 \(k\)。
例子：若 \(f(x) = x^3 + kx^2 - 10\) 除以 \((x - 1)\) 時餘數為 2，求 \(k\)。
我們知道 \(f(1) = 2\)。
\[ f(1) = (1)^3 + k(1)^2 - 10 = 2 \]
\[ 1 + k - 10 = 2 \]
\[ k - 9 = 2 \]
\[ k = 11 \]
重點總結：餘式定理讓你無需進行完整的除法，只需評估使除數為零的 \(x\) 值，就能算出餘數 \(R\)。
3. 因式定理 (Factor Theorem)
因式定理是餘式定理最重要的應用，因為它提供了求解高次方程的核心方法。
3.1 原理
因式是指能整除的除數，也就是餘數為零。
因式定理指出：當且僅當 \(f(a) = 0\) 時，\((x - a)\) 是多項式 \(f(x)\) 的一個因式。
如果你用 \((x - a)\) 除以 \(f(x)\) 而餘數為零，那麼 \(x = a\) 就是方程 \(f(x) = 0\) 的一個根（或解）。
小測驗：餘式 vs. 因式
- 餘式定理：求 \(f(a)\)，結果即為餘數。
- 因式定理：測試 \(f(a)\) 是否等於 0。若為 0，則 \((x-a)\) 為因式。
3.2 求解三次及更高次多項式方程
若要解 \(f(x) = 0\)（其中 \(f(x)\) 為三次或四次多項式），你需要用因式定理找出至少一個因式。過程如下：
- 測試因式：測試 \(x\) 的簡單整數值，這些值必須是 \(f(x)\) 常數項的因數。從 \(x = \pm 1, \pm 2, \pm 3\) 等簡單值開始試。
- 找出一個根：找到一個 \(x = a\) 使得 \(f(a) = 0\)。這確認了 \((x - a)\) 是一個因式。
- 除法：使用代數長除法（或觀察法）將 \(f(x)\) 除以 \((x - a)\)，得到一個二次商 \(Q(x)\)。
\[ f(x) = (x - a)Q(x) \]
- 因式分解二次式：解出或分解得到的二次式 \(Q(x) = 0\) 來找出剩下的兩個根。
例子演示：解 \(x^3 + 4x^2 - 11x - 30 = 0\)。
步驟 1 & 2 (測試)：常數項是 -30。30 的因數有 \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots\)。
- 試 \(x = 1\)：\(f(1) = 1 + 4 - 11 - 30 \ne 0\)。
- 試 \(x = -2\)：\(f(-2) = (-8) + 4(4) - 11(-2) - 30 = -8 + 16 + 22 - 30 = 0\)。
因為 \(f(-2) = 0\)，所以 \((x + 2)\) 是一個因式。
步驟 3 (除法)：將 \(x^3 + 4x^2 - 11x - 30\) 除以 \((x + 2)\)。
得到的商為 \(x^2 + 2x - 15\)。
因此，\(f(x) = (x + 2)(x^2 + 2x - 15)\)。
步驟 4 (分解二次式)：分解二次部分。
\[ x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3) \]
方程變為 \((x + 2)(x + 5)(x - 3) = 0\)。
根為 \(x = -2, x = -5\)，以及 \(x = 3\)。
觀察法技巧（長除法的替代方案）：
如果你知道 \((x+2)\) 是因式，你就知道該二次式必然長成 \((x+2)(Ax^2 + Bx + C)\)。
透過比較係數：
1. \(x^3\) 係數必須匹配：\(A = 1\)。
2. 常數項必須匹配：\(2 \times C = -30\)，所以 \(C = -15\)。
3. 觀察 \(x^2\) 項：\(4x^2\)。這來自 \(2(Ax^2) + Bx(x)\)。即 \(2(1x^2) + Bx^2 = 4x^2\)。所以 \(2 + B = 4\)，意味著 \(B = 2\)。
這樣就能瞬間得到商數 \(x^2 + 2x - 15\)！
4. 定理的高級應用
4.1 除數為 \(ax - b\) 的情況
請記住，如果除數不是首一多項式（即 \(x\) 的係數不為 1），你必須使用分數形式來進行代入。
例子：若 \((2x - 1)\) 是 \(f(x) = 4x^3 - 2x^2 + kx - 1\) 的一個因式，求 \(k\)。
- 令除數為零：\(2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}\)。
- 因為它是因式，所以 \(f\left(\frac{1}{2}\right) = 0\)。
- 代入：
\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + k\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 0 \]
\[ 4\left(\frac{1}{8}\right) - 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{k}{2} - 1 = 0 \]
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{k}{2} - 1 = 0 \]
\[ \frac{k}{2} - 1 = 0 \implies k = 2 \]
重要提示：處理三次方程時，你必須找出全部三個根。如果除法後得到的二次式無法分解，你必須使用二次方程公式或配方法來找出剩下的根（這些根可能是無理數）。
你知道嗎？三次方程的一般解法早在 16 世紀就由義大利數學家解出，遠遠早於正式微積分的誕生！
重點總結：因式定理和餘式定理是處理及求解多項式不可或缺的工具。它們能讓你將高次多項式問題轉化為較簡單的二次方程問題。