はじめに：税金の取り分を理解する
ようこそ！これまでの学習では、グロス（税引前）のキャッシュフローに基づいて債券を評価する方法を見てきました。しかし、現実の世界では、投資家が手にする利益がすべて手元に残ることは稀です。通常、政府は利息の一部を所得税（Income Tax）として、また利益の一部をキャピタル・ゲイン税（CGT）として徴収します。
アクチュアリーにとって、債券の「適正価格」を計算するということは、ネット（税引後）のキャッシュフロー、つまり実際に投資家のポケットに入るお金に注目することを意味します。最初は少し専門的に感じるかもしれませんが、大丈夫です。「税引後（net of tax）」の考え方さえ理解してしまえば、公式の扱いはずっと簡単になりますよ！
1. 2種類の税金を理解しよう
投資家が確定利付債券を購入する場合、通常は以下の2種類の課税に直面します。
A. 所得税（Income Tax）
これはクーポン（定期的な利息の支払い）に対して課される税金です。債券のグロス・クーポンを \(D\)、所得税率を \(t_1\) とすると、投資家が実際に受け取る額は以下の通りです。
税引後クーポン（Net Coupon） = \(D \times (1 - t_1)\)
B. キャピタル・ゲイン税（CGT）
これは、購入価格（\(P\)）と償還価格（\(R\)）の差額から生じる「利益」に対して課される税金です。購入した金額よりも高い金額で債券を売却（または償還）した場合、政府はその利益の一部を徴収します。
キャピタル・ゲイン = \(R - P\) （\(R > P\) の場合）
税額 = \(t_2 \times (R - P)\) （ここで \(t_2\) はキャピタル・ゲイン税率）
クイック・レビュー：
- 所得税は、債券価格のうち年金（annuity）の部分（クーポン）に影響します。
- キャピタル・ゲイン税は、最後の手取額（償還時の一時金）に影響します。
2. 税金を考慮した債券価格の基本公式
ネット利回り \(i\) を提供する債券の価格（\(P\)）を求めるには、価値の方程式（equation of value）を立てます。投資家は、将来のすべての税引後キャッシュフローの現在価値を求めたいと考えていると仮定します。
一般的な公式は以下のようになります。
\(P = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|i} + R v^n - t_2(R - P) v^n\)
各変数の意味：
- \(P\) = 購入価格
- \(g\) = 年目利（年間のグロス・クーポンレート。よって \(g \times R\) が年間クーポン額）
- \(t_1\) = 所得税率
- \(t_2\) = キャピタル・ゲイン税率
- \(R\) = 償還価額（通常は 100）
- \(n\) = 償還までの期間
- \(i\) = 投資家が求めるネット最終利回り
なぜ \(P\) が両辺にあるのですか？
お気づきの方もいるかもしれませんが、\(P\) はメインの式の左辺だけでなく、CGTの項の中にも現れます。これは、税額が価格に依存し、かつ価格も税額に依存するためです。試験では、\(P\) を求めるためにこの方程式を整理（変形）する必要がよくあります。
\(P\) についての整理ステップ：
1. カッコを展開する： \(P = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n - t_2 R v^n + t_2 P v^n\)
2. \(P\) を含む項を片側にまとめる： \(P - t_2 P v^n = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n(1 - t_2)\)
3. \(P\) で括り出す： \(P(1 - t_2 v^n) = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n(1 - t_2)\)
4. \(P\) を解く： \(P = \frac{g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n(1 - t_2)}{1 - t_2 v^n}\)
3. 「キャピタル・ゲイン・テスト」：納税の有無の判定
ここは多くの学生が失点しやすい重要なポイントです！キャピタル・ゲイン税は、実際に利益（ゲイン）が出ている場合にのみ支払われます。
もし購入価格（\(P\)）が償還価格（\(R\)）よりも高い場合、投資家はキャピタル・ロス（資本損失）を出したことになります。CM1のシラバスでは、この文脈において損失に対する税金の還付は受けられないと想定するのが一般的です。したがって：
\(P \geq R\) の場合： CGTの項は単純に ゼロ となります。
\(P < R\) の場合： CGTの項を公式に含めます。
知っていましたか？ ここで一種の「ループ」が生じます。CGTを含める必要があるか知るためには、\(P < R\) かどうかを知る必要があります。しかし、計算するまで \(P\) は分かりません！
判定のコツ： 税引後クーポンレートとネット利回りを比較しましょう。
もし \(g(1 - t_1) < i\) であれば、債券はディスカウント（\(P < R\)）で購入されるため、CGTの支払いが必要になります。
もし \(g(1 - t_1) > i\) であれば、\(P > R\) となり、CGTは不要です。
4. 利回り：直接利回りと最終利回り
この章では価値の方程式に焦点を当てていますが、以下の2つの用語を区別しておくことが重要です。
- ネット直接利回り（Net Running Yield）： インカム（収入）のみに注目した利回りです。計算式は \(\frac{g(1 - t_1)R}{P}\) です。
- ネット最終利回り（Net Redemption Yield）： キャピタル・ゲイン／ロスと貨幣の時間的価値を含めた、価値の方程式を完全に満たす総合的な利率 \(i\) です。
補足：これらの利回りの基本定義については、「Running yield, redemption yield and index-linked bonds」の章も参照してください。
5. ステップ・バイ・ステップの例題
問題： 年利8%のクーポン（年1回後払い）を支払う債券があり、10年後に100で償還されます。投資家には所得税25%、キャピタル・ゲイン税20%が課されます。ネット利回りを年6%とするための価格を計算しなさい。
ステップ 1：キャピタル・ゲイン・テスト
税引後クーポン = \(8\% \times (1 - 0.25) = 6\%\)
必要とされるネット利回り = \(6\%\)
税引後クーポン = ネット利回り なので、価格はちょうど額面通り（\(P = 100\)）になるはずです。この場合、\(P = R\) なので、CGTは発生しません。
ステップ 2：もし利回りが7%だったら？
税引後クーポン (6%) < ネット利回り (7%)。したがって、\(P < 100\) となり、CGTの支払いが必要です。
整理した公式を使います：
\(P = \frac{8(1 - 0.25) a_{\overline{10}|0.07} + 100 v^{10}(1 - 0.20)}{1 - 0.20 v^{10}}\)
\(i = 0.07\) を用いると：
\(a_{\overline{10}|} = 7.0236\)
\(v^{10} = 0.5083\)
\(P = \frac{(6 \times 7.0236) + (100 \times 0.5083 \times 0.80)}{1 - (0.20 \times 0.5083)} = \frac{42.1416 + 40.664}{0.89834} = 92.17\)
6. よくある間違い・落とし穴
- \(t_1\) と \(t_2\) の混同： どちらの税率がクーポンに適用され、どちらがキャピタル・ゲインに適用されるか、常に再確認しましょう。これらは異なる数値であることが多いです！
- クーポンの頻度の無視： クーポンが年2回支払われる場合は、\(a_{\overline{n}|}^{(2)}\) を使用するか、利率 \(i\) を適切に調整することを忘れないでください。
- CGTテストの忘れ： 計算を始める前に、必ずクイック・チェック（\(g(1-t_1)\) と \(i\) の比較）を行って、CGTが適用されるかどうかを確認しましょう。
- 式の変形ミス： 項を動かそうとする前に、まずは価値の方程式の全形を書き出す方が安全です。
重要なポイント（Key Takeaways）
1. 税引後で考える： 常にネットのキャッシュフローで計算します。税引後クーポン = \(グロス \times (1 - t_1)\) です。
2. CGTの論理： キャピタル・ゲイン税は \(P < R\) の場合のみ適用されます。売却価格より高く買った場合は、CGTを無視します。
3. 公式： 価格 \(P\) は、税引後クーポンの現在価値と、税引後償還額の現在価値の合計です。
4. 式の整理： 方程式の両辺に \(P\) がある状態から、落ち着いて \(P\) を解けるように練習しておきましょう。