株式と不動産の評価へようこそ！

これまでの章では、支払額が既知で一定である債券のような固定利付証券を見てきました。しかし、収益が時間の経過とともに成長する場合はどうなるでしょうか？これこそが、普通株式（配当がしばしば増加する）や投資用不動産（賃料が見直され、通常は引き上げられる）で実際に起こることです。

この章では、これらの「成長資産」に価値方程式（Equation of Value）を適用します。最初は数式が少し難しそうに見えるかもしれませんが、大丈夫です。パターンさえ掴んでしまえば、学生時代に習った等比数列と同じですよ！

1. 基礎：株式 vs 不動産

数学的な話に入る前に、私たちが実際に何を評価しようとしているのかを確認しましょう。

  • 普通株式： あなたは会社の一部を所有しています。会社はあなたに配当を支払います。この配当は固定ではなく、通常、会社の利益が上がるにつれて成長します。
  • 不動産： あなたは建物を所有し、店主に貸し出します。店主はあなたに賃料を支払います。賃料は数年間固定されることもありますが、通常はインフレや市場の需要に合わせて「賃料改定」の際に引き上げられます。

重要なコンセプト： 債券とは異なり、これらの資産は理論上、永遠に存続します（永続年金）。したがって、私たちは無限に続く成長するキャッシュフローの現在価値（PV）を計算することになります。

2. 定率成長：配当割引モデル

収益が一定の年間複利成長率で成長すると仮定すると、非常にエレガントな公式を使うことができます。次のように定義しましょう：

  • \( D \) = 直近で支払われた配当／賃料（時刻 \( t=0 \)）
  • \( g \) = 一定の年間成長率
  • \( i \) = 必要収益率（利回り）
  • \( v \) = 割引因子 \( (1+i)^{-1} \)

キャッシュフローは以下のようになります：

時刻 1： \( D(1+g) \)
時刻 2： \( D(1+g)^2 \)
時刻 3： \( D(1+g)^3 \)
...といった具合に続きます。

価値方程式

現在価値（\( PV \)）は、これらすべての割り引かれたキャッシュフローの合計です：

\( PV = D(1+g)v + D(1+g)^2 v^2 + D(1+g)^3 v^3 + \dots \)

これは、初項 \( a = D(1+g)v \)、公比 \( r = (1+g)v \) の等比数列です。

\( |(1+g)v| < 1 \)（つまり \( g < i \)）であれば、無限等比級数の和は次のようになります：

\( PV = \frac{a}{1-r} = \frac{D(1+g)v}{1-(1+g)v} \)

よりシンプルな形

分子と分母に \( (1+i) \) を掛けると、公式は驚くほどシンプルになります：

\( PV = \frac{D(1+g)}{i - g} \)

注： \( D(1+g) \) は、第1年度の末に予想される配当そのものです。これを \( D_1 \) と呼びましょう。

\( PV = \frac{D_1}{i - g} \)

クイック復習：「i マイナス g」ルール

これはこの章で最も有名な公式です！成長する永続年金の価格を求めるには、次回の予想支払額を利回りから成長率を引いたもので割るだけです。

3. 変動成長（多段階モデル）

現実の世界では、成長は常に一定とは限りません。ある会社が5年間は急成長し、その後「通常」の成長率に落ち着くかもしれません。これを評価するには、2ステップのアプローチを使います。

ステップごとの解説：

  1. ステップ 1： 「高成長」期間中の各配当の現在価値を個別に計算します。
  2. ステップ 2： 定率成長の公式を使って、成長が一定になった時点での将来の全配当の価値を求めます（これはよく「ターミナルバリュー（終端価額）」と呼ばれます）。
  3. ステップ 3： そのターミナルバリューを現在の価値まで割り引きます。
  4. ステップ 4： すべてを合計します！

例： ある株式が今日 \( \$2 \) の配当を支払いました。今後2年間は \( 10\% \) で成長し、その後は永久に \( 3\% \) で成長します。利回りは \( 8\% \) です。

1年目の配当： \( 2(1.10) = 2.20 \)
2年目の配当： \( 2(1.10)^2 = 2.42 \)

2年目末時点での「永久に続く部分」の価値：
\( \frac{D_3}{i-g} \) を使用します。ここで \( D_3 = 2.42(1.03) = 2.4926 \) です。
\( Value_{t=2} = \frac{2.4926}{0.08 - 0.03} = 49.852 \)

今日の合計現在価値：
\( PV = 2.20v + 2.42v^2 + 49.852v^2 \)
（ここで \( v = 1/1.08 \)）

4. 利回りの算出

試験では、価格（Price）が与えられ、利回り（Yield）（利率 \( i \)）を求めさせられることがあります。

おなじみの公式 \( P = \frac{D_1}{i-g} \) を使います。

これを \( i \) について解くと、次のように変形できます：

\( i = \frac{D_1}{P} + g \)

言葉で表すと： 利回り ＝ 配当利回り ＋ 成長率 です。

知っていましたか？ これにより、ハイテク企業のような「成長株」の配当利回りが非常に低い理由が説明できます。投資家は、非常に高い \( g \) を期待しているため、小さな \( \frac{D_1}{P} \) でも納得するのです！

5. 実質成長 vs 名目成長

シラバスには「名目または実質」利回りの計算が登場します。これはインフレに関連しています。

  • 名目（Nominal）： 実際の金額（例：賃料がキャッシュベースで \( 5\% \) 上がる）。
  • 実質（Real）： インフレ調整後の価値（例：賃料が \( 5\% \) 上がってもインフレが \( 3\% \) なら、「実質」成長率は概ね \( 2\% \)）。

重要なルール： 常に整合性を保つこと！
- 名目利回りには名目成長率を使用する。
- 実質利回りには実質成長率を使用する。

6. よくある落とし穴

難しく感じても心配しないでください。優秀な学生でも以下のようなミスをすることがあります：

  • 「D0」vs「D1」の罠： 公式 \( \frac{D}{i-g} \) には、第1年度の末の配当が必要です。問題文に「配当が支払われたばかり」とあれば、それは \( D_0 \) です。公式に入れる前に必ず \( (1+g) \) を掛けてください。
  • 「g > i」という不可能なシナリオ： 数学的には、 \( g > i \) の場合、公式は負の数値を返しますが、これは意味をなしません。現実世界では、企業が経済全体よりも速く永遠に成長し続けることは不可能です！
  • 支払のタイミング： 通常、配当は期末払（annually in arrear）と仮定されます。もし問題に「連続的（continuous）」な支払（不動産でよく見られます）とあれば、利力 \( \delta \) や連続年金関数を使う必要があるかもしれませんが、「i-g」の論理自体は変わりません。

重要なまとめ

1. 定率成長： \( PV = \frac{D_1}{i-g} \) を使う。

2. 変動成長： 最初の数回の支払は手計算し、その後の「しっぽ」の部分に公式を使って現在価値に割り引く。

3. 利回り： 総収益は配当利回りと成長率の合計である（\( i = \frac{D_1}{P} + g \)）。

4. 整合性： 名目には名目を、実質には実質を組み合わせる。