Optional redemption dates: bounds on present value

イントロダクション：償還日の謎

これまでの債券価格の学習では、通常、償還日は固定されていると仮定してきました。しかし、もし発行体（債券を発行した側）が、ある一定の期間内であればいつでも好きな時に返済できる権利を持っていたらどうなるでしょうか？これは、任意償還日（optional redemption dates）付きの債券と呼ばれます。

友人に、「今から5年後から10年後の間のどこかで返すよ」と言ってお金を貸す場面を想像してみてください。アクチュアリーとして、あなたはその債券の今の価値を知る必要があります。日付が不確定であるため、たった一つの正確な値を求めることはできません。その代わりに、現在価値の上限値と下限値（取り得る最大値と最小値）を探します。

最初は難しく感じるかもしれませんが、大丈夫です！発行体がどの償還日を選ぶかを判断するための、非常にシンプルな「鉄則」があります。

注：この章は、債券の価格評価と利回りの知識を土台としています。基本的な債券の公式について復習が必要な場合は、このセクションの前の章を確認しておきましょう。

発行体（借り手）の戦略

最も重要なのは、発行体は「合理的」であると考えることです。彼らは支出を抑えたいと考えています。したがって、発行体は自分たちにとって最も有利な（そして逆に言えば、投資家であるあなたにとって最も不利な）償還日を選択します。

現在価値の範囲（境界）を見つけるために、償還期間の両端（例：最短の償還日と最長の償還日）をテストします。そして、与えられた利回りに対してどちらの日付が最も低い価格になるかを判断します。

任意償還における「黄金律」

発行体が早期に償還したいか、遅くに償還したいかは、その債券が償還額に対してプレミアム（打歩）で値付けされているか、ディスカウント（割引）で値付けされているかによって決まります。

• ケース 1：償還価格 \( > \) 純収入（ディスカウント発行の場合）
  もし償還金の支払いが、発行体があなたに支払っている利息に比べて「割高」である場合、彼らはあなたのお金をできるだけ長く手元に置いておきたいと考えます。そのため、最も遅い償還日を選択します。
• ケース 2：償還価格 \( < \) 純収入（プレミアム発行の場合）
  もし利息（クーポン）の支払いが最終的な償還金の支払いよりも発行体にとって負担となっている場合、彼らはできるだけ早くクーポンの支払いを止めたいと考えます。そのため、最も早い償還日を選択します。

ヒント：サブスクリプションのように考えてみてください。月額料金が高ければ（高クーポン）、できるだけ早く解約します。月額料金がお得であれば（低クーポン）、できるだけ長く使い続けますよね！

境界値の計算

CM1のシラバスでは、特に特定の実効利率（\(i\)）に対する現在価値（\(P\)）に注目します。境界値を求めるには、通常、2つの極端な日付 \(n_{min}\) と \(n_{max}\) における価格を計算します。

所得税とキャピタルゲイン税（CGT）を考慮した債券価格の公式は、一般的に次のように表されます：

\(P = C(1-t_1)a_{\overline{n}|}^{(p)} + Rv^n - t_2(R - P)v^n\)

ここで：
\(C\) = 年間クーポン額
\(t_1\) = 所得税率
\(R\) = 償還額
\(t_2\) = キャピタルゲイン税率
\(n\) = 償還までの期間

知っていましたか？ 公式は複雑に見えるかもしれませんが、任意償還のロジックは、結局のところ税引後クーポンレートと投資家の要求利回りを比較することに集約されます。

「ワーストケース」の価格を特定する方法

1. 最短の償還日を仮定して価格を計算する。
2. 最長の償還日を仮定して価格を計算する。
3. これら2つの値のうち、低い方が下限値（最小価格）となります。
4. これら2つの値のうち、高い方が上限値（最大価格）となります。

計算例：価格の境界値を求める

シナリオ： ある投資家が年実効利回り \(8\%\) を求めています。投資家は、年間 \(6\%\) のクーポン（年1回後払い）が付いた債券を検討しています。この債券は10年から15年の間のいつでも \(100\%\) で償還可能です。簡単にするため、この例では税金を無視します。

ステップ 1： \(n = 10\) （最短）の場合の価格を計算する
利回り \(8\%\) において \(P = 6 \cdot a_{\overline{10}|} + 100 \cdot v^{10}\)
\(a_{\overline{10}|} = \frac{1 - (1.08)^{-10}}{0.08} = 6.7101\)
\(P = 6(6.7101) + 100(0.4632) = 40.26 + 46.32 = 86.58\)

ステップ 2： \(n = 15\) （最長）の場合の価格を計算する
利回り \(8\%\) において \(P = 6 \cdot a_{\overline{15}|} + 100 \cdot v^{15}\)
\(a_{\overline{15}|} = \frac{1 - (1.08)^{-15}}{0.08} = 8.5595\)
\(P = 6(8.5595) + 100(0.3152) = 51.36 + 31.52 = 82.88\)

分析：
投資家の要求利回り（\(8\%\)）はクーポンレート（\(6\%\)）よりも高いです。これは、債券がディスカウント（価格 \( < 100\)）で販売されていることを意味します。
予測通り、下限値（最小価格）は最長の日付（\(n = 15\)）で発生し、価格は \(82.88\) となります。
上限値（最大価格）は最短の日付（\(n = 10\)）で発生し、価格は \(86.58\) となります。

税金の影響

所得税やキャピタルゲイン税（CGT）が関わってくる場合も、原理は同じですが、必ずネット（税引後）のキャッシュフローを使用する必要があります。

債券が発行体の選択によって一定の範囲内のいずれかの日に償還される場合、発行体は投資家にとって最も現在価値が低くなる日付を選択します。このような債券の「価格」を問われた場合は、保守的であるために常に最小値を答えるようにしてください。

重要なまとめ：「利回り vs クーポン」のショートカット

キャピタルゲイン税がない場合：

• 利回り \( > \) 税引後クーポンレート の場合：最小価格は最長の日付で決まる。
• 利回り \( < \) 税引後クーポンレート の場合：最小価格は最短の日付で決まる。

避けるべきよくある間違い

• 中間期間を想定してしまう： 決して日付の平均をとらないでください。発行体は極端な日付（最短か最長）を選択し、中間を選ぶことはありません。
• 税金を忘れる： 割引計算を行う前に、クーポンには所得税を、利益（償還価格マイナス購入価格）にはCGTを適用しているか確認してください。
• 発行体と投資家の混同： 発行体は常に自分たちにとって最も安上がりな日付を選びます。それは投資家側の評価にとっては「最悪の」結果になるということを常に覚えておきましょう。