はじめに：理論と現実の比較
アクチュアリーの実務では、数学的な「推測」やモデルから検討を始めることがよくあります。例えば、1日あたりの保険金請求件数がポアソン分布に従うと仮定したり、男女の保険契約者が契約を更新する確率は同じであると想定したりします。しかし、それらの仮定が本当に正しいかどうかを、どうすれば判断できるでしょうか？そこで登場するのが、カイ二乗（\(\chi^2\)）検定です。
この章では、2つの強力なツールを学びます。1つは適合度検定（データが特定の分布に従っているかを確認するツール）、もう1つは分割表（2つの要因が互いに独立しているかを確認するツール）です。これらの検定を用いることで、「こうではないかと思う」という主観的な推測から、「統計的な証拠がこれを示唆している」という客観的な結論へと進むことができます。
1. カイ二乗適合度検定
適合度検定の目的は、観測されたデータセットが、理論上の確率分布（二項分布、ポアソン分布、正規分布など）にどの程度「適合」しているかを判定することです。
中心となる考え方
実際に観察された値（観測度数、\(O_i\)）と、もし理論が正しい場合に期待される値（期待度数、\(E_i\)）を比較します。
\(O_i\) と \(E_i\) の差が小さければ、理論は正しい可能性が高いと言えます。逆に、その差が非常に大きければ、理論は間違っている可能性が高くなります。
検定統計量
標準的な検定統計量は次のように計算されます：
\( \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \)
ここで：
- \(O_i\) = カテゴリ \(i\) における観測度数
- \(E_i\) = カテゴリ \(i\) における期待度数
ステップ・バイ・ステップの手順
- 仮説の設定：
\(H_0\)：データは指定された分布に従う。
\(H_1\)：データは指定された分布に従わない。 - 期待度数の計算： 全観測数（\(n\)）に、そのカテゴリに分類される確率（\(p_i\)）を掛けます。つまり、\(E_i = n \times p_i\) です。
- 「5のルール」の確認： カイ二乗検定を有効にするためには、すべての期待度数 \(E_i\) が少なくとも5以上である必要があります。もし \(E_i\) が5未満のカテゴリがある場合は、新しい期待度数 \(E_i\) が5以上になるまで、隣接するカテゴリを統合（グループ化）しなければなりません。
- 統計量の計算： すべての（必要に応じて統合された）カテゴリについて、\( \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \) を合計します。
- 自由度 (df) の決定： ここは最も得点を落としやすいポイントです！
\(df = k - 1 - p \)
ここで、\(k\) は（統合後の）カテゴリ数、\(p\) は期待値を計算するためにデータから推定したパラメータの数です。 - 棄却限界値との比較： 計算された \(\chi^2\) の値が、設定した有意水準（通常は5%）における統計数値表の棄却限界値よりも大きい場合、\(H_0\) を棄却します。
プロのアドバイス： 問題文でパラメータが与えられている場合（例：「\(\lambda = 2\) のポアソン分布に適合するか検定せよ」）、\(p = 0\) となります。もし平均などを使ってデータから自分で \(\lambda\) を計算しなければならない場合は、\(p = 1\) となります。
2. 分割表（独立性の検定）
アクチュアリーは、2つのカテゴリ変数が関連しているかどうかを知る必要がある場面によく遭遇します。例えば、「喫煙の有無」（喫煙者／非喫煙者）は「保険契約の失効」（失効／有効）と独立しているでしょうか？これを調べるために、二元分割表を使用します。
独立性の仮説
\(H_0\)：2つの分類基準は互いに独立である。
\(H_1\)：2つの分類基準は独立ではない（関連性がある）。
分割表における期待度数の計算
\(r\) 行 \(c\) 列の表において、独立性を仮定した場合の各セルの期待度数は次のように計算します：
\( E_{ij} = \frac{\text{その行の合計} \times \text{その列の合計}}{\text{全体の合計}} \)
分割表の自由度
分割表の自由度は常に次のようになります：
\(df = (r - 1) \times (c - 1) \)
例：\(3 \times 2\) の表の場合、自由度は \((3-1) \times (2-1) = 2 \times 1 = 2\) です。
クイックレビュー：比較表
| 特徴 | 適合度検定 | 分割表 |
|---|---|---|
| 目的 | データが特定の分布に適合するか？ | 2つの変数は独立しているか？ |
| 自由度 (df) | \(k - 1 - p\) | \((r - 1)(c - 1)\) |
| 統合（グループ化） | \(E_i < 5\) の場合にカテゴリを結合。 | \(E_{ij} < 5\) の場合に行や列を結合。 |
3. 実務上の重要な留意点
「5のルール」とカテゴリの統合
期待値が小さすぎるためにカテゴリを結合する場合、それによって自由度が減少することを忘れないでください。
例： 最初は6つのカテゴリ（\(k=6\)）があったとしても、最後の2つを1つにまとめた場合、新しい \(k\) は5になります。自由度の計算には、この新しい \(k\) を使用しなければなりません。
結果の解釈
計算された \(\chi^2\) が非常に小さい場合、観測データは期待値に非常に近いことを意味します。このとき、\(H_0\) は棄却されません。
逆に \(\chi^2\) が非常に大きい場合は、「ズレ」が偶然の範囲を超えて大きすぎることを意味します。このとき、\(H_0\) を棄却します。
ご存知でしたか？
カイ二乗検定は「近似的」な検定です。サンプルサイズが大きくなるほど精度が高まります。だからこそ「5のルール」が存在するのです。これにより、アクチュアリーの意思決定に十分な信頼性を持つ近似が保証されます。
4. よくある間違いと注意点
- 推定したパラメータ数を引き忘れる： 適合度検定で、ポアソン分布の \(\lambda\) として平均（\(\bar{x}\)）を計算して使用した場合、自由度から必ず 1 を引かなければなりません。
- 「5のルール」に \(O_i\) を使ってしまう： カテゴリ統合のルールで重要なのは期待度数だけです。観測度数が5未満であっても、それ自体は問題ありません。
- 計算ミス： \( \frac{(O-E)^2}{E} \) の計算では、ケアレスミスが非常に起きやすいです。計算表の数値を常にダブルチェックしましょう。
- 分割表の自由度の間違い： 分割表で誤って \(n-1\) を使おうとする受験生が多いですが、必ず \((r-1)(c-1)\) を使用してください。
重要ポイントのまとめ
1. 検定統計量： 常に \( \sum \frac{(O-E)^2}{E} \) です。
2. 適合度検定の自由度： \( (\text{カテゴリ数}) - 1 - (\text{推定されたパラメータ数}) \) です。
3. 独立性の自由度： \( (r-1)(c-1) \) です。
4. 小さな度数： \(E < 5\) の場合はカテゴリを統合します。
5. P値： ペーパーB（R言語）では chisq.test() 関数を使用します。この関数はこれらの計算を自動で行い、P値を出力します。P値が \(\alpha\)（例：0.05）未満であれば、\(H_0\) を棄却します。