成長する支払いの世界へようこそ！

前回のレッスンでは、支払額が常に一定である年金（定額年金）について学習しました。しかし、現実の世界では状況は常に変化します！毎年3%の昇給がある仕事や、インフレに合わせて増額される年金などを想像してみてください。これらが等比数列年金（Geometric Progression Annuities）です。

この章では、各期間に一定の割合で増加（または減少）するキャッシュフローの現在価値を求める方法を学びます。定額年金よりも少し複雑に見えるかもしれませんが、心配はいりません。パターンさえ掴めば、ぴったりとハマるパズルのように簡単になりますよ！

等比数列とは？

公式に飛び込む前に、概念をしっかり理解しておきましょう。等比数列とは、前の項に「公比」と呼ばれるゼロ以外の固定数を掛けることで次の項が得られる数値の並びのことです。

身近な例：1日ごとに2倍になる魔法の1セント硬貨を想像してください。1日目は1セント、2日目は2セント、3日目は4セント...という具合です。毎日2を掛けていますね。これが等比数列です！

Exam FMでは、通常、成長率を表すのに文字 \(g\) を使います。もし支払いが5%成長する場合、公比は \((1 + 0.05) = 1.05\) となります。

等比年金の構造

標準的な期末払い年金（Annuity-Immediate）を見てみましょう（最初の支払いが第1期末、つまり \(t=1\) に行われるものです）：

1. 最初の支払いは \(t = 1\) で \(P\)。
2. 2回目の支払いは \(t = 2\) で \(P(1+g)\)。
3. 3回目の支払いは \(t = 3\) で \(P(1+g)^2\)。
4. \(n\)回目の支払いは \(t = n\) で \(P(1+g)^{n-1}\)。

クイック復習：成長項の指数は、常に経過時間より1小さいことに注目してください。例えば、10時点での支払いは、9回成長した後の金額になっています。

現在価値（PV）の計算

現在価値とは、これら将来の成長する支払いすべてを現時点（\(t=0\)）に換算した価値のことです。これを求めるために、利率 \(i\) を使って各支払いを現在に割り引きます。

\(n\)期間の等比期末払い年金の現在価値の公式は以下の通りです：

\(PV = P \left[ \frac{1 - (\frac{1+g}{1+i})^n}{i - g} \right]\)

重要な条件：この公式は \(i \neq g\) の場合に有効です。\(i = g\) の場合どうなるかは、すぐ後で説明します！

ステップバイステップの例題

シナリオ：10年間にわたる年金を受け取るとします。最初の支払いは1年後に1,000ドルです。各支払い額は4%ずつ増加します。年実効利率は6%です。

1. 変数を確認します： \(P = 1000\), \(g = 0.04\), \(i = 0.06\), \(n = 10\)。
2. 公式に代入します：
\(PV = 1000 \left[ \frac{1 - (\frac{1.04}{1.06})^{10}}{0.06 - 0.04} \right]\)
3. 比率を計算します： \(\frac{1.04}{1.06} \approx 0.98113\)
4. 10乗します： \(0.98113^{10} \approx 0.82655\)
5. 計算を完了します： \(1000 \left[ \frac{1 - 0.82655}{0.02} \right] = 1000 \left[ \frac{0.17345}{0.02} \right] = 8,672.50\)

特別ケース：\(i = g\) のときは？

利率と成長率が完全に等しい場合、上記の公式ではゼロ除算が発生してしまいます。しかし、パニックにならないでください。\(i = g\) の場合、計算は非常に単純になります。

このとき、すべての支払いを \(t=0\) に割り引くと、どの支払いの現在価値も等しくなります！具体的には、各支払いの現在価値は \(\frac{P}{1+i}\) です。支払いは \(n\) 回あるので、公式はこうなります：

\(PV = n \cdot \frac{P}{1+i}\) （\(i = g\) のときにのみ使用可）

記憶のヒント：「シンプルなバージョン」だと考えてください。支払いの回数に、最初の支払いを割引いた値を掛けるだけです。

等比永続年金（Geometric Perpetuities）

永続年金とは、永久に続く年金（\(n = \infty\)）のことです。試験では「無期限に支払われる」や「永久に」といったフレーズが出てきます。

等比永続年金が有限の値を持つためには、成長率 \(g\) が利率 \(i\) より小さくなければなりません。支払いの成長スピードが割引率を上回ってしまうと、価値は無限大になってしまいます！

等比期末払い永続年金の現在価値の公式はとてもシンプルです：

\(PV = \frac{P}{i - g}\)

豆知識：これは株式評価において「ゴードン成長モデル」と呼ばれ、配当が一定の割合で成長する株式の価値を算出するために使われます。

公式のまとめ

有限期間 (\(i \neq g\)): \(PV = P \left[ \frac{1 - (\frac{1+g}{1+i})^n}{i - g} \right]\)
有限期間 (\(i = g\)): \(PV = \frac{n \cdot P}{1+i}\)
永続年金 (\(i > g\)): \(PV = \frac{P}{i - g}\)

避けるべき落とし穴

優秀な学生でも、以下の間違いには引っかかりやすいものです。注意しましょう！

1. \(i\) と \(g\) の混同： \(i\) は銀行がくれる利率（Interest）、\(g\) は小切手が増える成長率（Growth）であることを常に覚えておきましょう。分母は常に \(i - g\) です。
2. 最初の支払い (\(P\))： \(P\) は必ず \(t=1\) 時点の支払いであることを確認してください。もし「今日」100ドル支払い、来年から成長が始まるという問題であれば、\(t=1\) 時点の支払いは \(100(1+g)\) となります。
3. 期首払い年金 vs. 期末払い年金： 期首払い（Annuity-due）の場合、期末払いとして計算した現在価値に \((1+i)\) を掛けるだけでOKです。
4. マイナスの成長： 成長率はプラスとは限りません！毎年2%ずつ減少するなら \(g = -0.02\) です。公式はそのまま使えます。符号には気をつけてくださいね（\(i - (-g) = i + g\) になります）。

クイック復習：重要ポイント

- 概念： 等比年金は定額ではなく、一定の割合で増加します。
- 変数： \(P\) = 初回支払い, \(g\) = 成長率, \(i\) = 利率, \(n\) = 支払い回数。
- 「i マイナス g」ルール： ほとんどの公式で分母は \(i - g\) です。
- 永続年金： 永久に続くなら、PVは「初回の支払い ÷ \((i - g)\)」です。
- パニック厳禁： \(i = g\) のときは、「\(n \times\) 割引かれた初回支払い」になります。

あなたなら大丈夫です！まずは \(P\)、\(i\)、\(g\) を見分ける練習から始めましょう。そうすれば、この「難しそう」な公式が実はとても便利な道具であることに気づくはずです。