永続年金（Perpetuities）：終わりなき贈り物

Exam FMで最もエレガントなトピックの一つへようこそ！ここまでは、5年ローンの返済や30年の住宅ローンなど、終了時期が決まっている年金（アニュイティ）を扱ってきました。しかし、支払いが決して止まらないとしたらどうなるでしょうか？それが永続年金（perpetuities）の世界です。

数学的に「永遠」という言葉は難しく聞こえるかもしれませんが、実は永続年金の計算式は通常の年金よりもずっとシンプルです。この章では、なぜこの無限のキャッシュフローがそれほど重要なのか、そして試験のためにその計算方法をどう習得すればよいのかを探っていきましょう。

永続年金とは何か？

永続年金とは、支払いが永遠に続く年金のことです。このシナリオでは時間は終わりを迎えないため、期間を表す「n」が存在しません。

現実世界の例え： ある裕福な寄付者が、大学の奨学金制度を設立したと想像してください。寄付者は、元本には一切手を付けず、毎年10,000ドルの奨学金を永遠に支給したいと考えています。この奨学金基金が「永続年金」の例です。

豆知識： 「Perpetuity（永続年金）」という言葉は「Perpetual（永続的な）」と同じ語源で、終わりのない、変わらないという意味を持っています。金融の世界では、政府や大学のような組織が存在する限り続くキャッシュフローを表します。

必須の前提知識：収束の概念

微積分の専門家でなくても心配はいりません！「永遠」に続くお金の流れに有限の現在価値（Present Value）が存在するのは、お金の時間的価値のおかげです。500年後に受け取る100ドルは、今日ではほとんど価値がありません。将来の支払いは現在価値に換算するとどんどん小さくなっていくため、それらを合計すると最終的に特定の値に「収束」するのです。

1. 期末払い永続年金（Perpetuity-Immediate）

期末払い永続年金は、最初の支払いが今日から1期間後（時点 \(t=1\)）に始まる定額の支払いシリーズです。

計算式

実効利子率 \(i\) において、1の支払いが続く期末払い永続年金の現在価値（\(PV\)）は以下の通りです。

\( a_{\infty|i} = \frac{1}{i} \)

支払い額が \(1\) ではなく \(P\) である場合、式は単純に次のようになります。

\( PV = \frac{P}{i} \)

例： 毎年末に500ドルを永遠に受け取りたいとします。年実効利子率が5%である場合、今日いくら投資する必要がありますか？

ステップ：
1. 支払額を確認: \(P = 500\)
2. 利子率を確認: \(i = 0.05\)
3. 公式を適用: \(PV = \frac{500}{0.05} = 10,000\)
答え: 10,000ドル

なぜこれで計算できるのか？

こう考えてみてください。もし銀行口座に10,000ドル預けていて、5%の利息がつくなら、1年後には500ドルの利息が得られます。もしその500ドルだけを引き出せば、口座には依然として10,000ドルが残り、翌年もまた500ドルの利息がつきます。これが永遠に続くわけです！

クイック復習： 期末払い永続年金の場合、支払いは \(t=1\) から始まります。計算式は単に「支払い額 / 利子率」です。

2. 期首払い永続年金（Perpetuity-Due）

期首払い永続年金は、最初の支払いが即座に（時点 \(t=0\)）発生する定額の支払いシリーズです。

計算式

1の支払いが続く期首払い永続年金の現在価値（\(PV\)）は以下の通りです。

\( \ddot{a}_{\infty|i} = \frac{1}{d} \)

ここで \(d = \frac{i}{1+i}\) であることを思い出してください。また、次のように考えることもできます：
\( \ddot{a}_{\infty|i} = \frac{1}{i} + 1 \) （「期末払い」の式に、今すぐもらえる1回分の支払いを追加したもの！）

支払い額が \(P\) の場合、式は以下の通りです。

\( PV = \frac{P}{d} \)

例： 「終身賞」を獲得し、今日から毎年500ドルを永遠に受け取れることになりました。年実効利子率が5%の場合、この賞の価値はいくらになりますか？

ステップ：
1. 支払額を確認: \(P = 500\)
2. 利子率を確認: \(i = 0.05\)
3. 割引率を計算: \(d = \frac{0.05}{1.05} \approx 0.047619\)
4. 公式を適用: \(PV = \frac{500}{0.047619} = 10,500\)
別解: \(PV = 500 + \frac{500}{0.05} = 500 + 10,000 = 10,500\)

暗記のコツ：
期末払い（Immediate）は支払いが後（Later）なので \(i\) を使う。
期首払い（Due）は支払いが今日（Today）なので \(d\) を使う。

避けるべき落とし穴

優秀な学生でも、以下の間違いを犯すことがあります。注意しましょう！

  • 利子率の不一致： 必ず利子率 \(i\) が支払いの頻度と一致していることを確認してください。支払いが月払いなら、必ず月実効利子率を使用しなければなりません。
  • 「1期間前」のルール： 公式 \(PV = \frac{P}{i}\) で計算される価値は、最初の支払いの1期間前の時点の価値です。もし最初の支払いが \(t=5\) なら、\(PV = \frac{P}{i}\) は \(t=4\) における価値を意味します。そこから \(t=0\) までさらに割り戻す必要があります。
  • \(i\) と \(d\) の混同： あらゆる年金や永続年金において、お金を早く受け取れる分、期首払い（\(t=0\) 開始）の方が期末払い（\(t=1\) 開始）よりも常に価値が高いことを忘れないでください！

まとめと重要ポイント

必要な公式：
1. 期末払い永続年金: \(PV = \frac{P}{i}\)
2. 期首払い永続年金: \(PV = \frac{P}{d}\)
3. 関係式: \(\ddot{a}_{\infty|i} = a_{\infty|i} \times (1+i)\)

成功のためのステップ：
1. タイムラインを描く： これはFMの問題を解く上で最も重要なステップです。最初の支払いがいつ発生するかをマークしてください。
2. 利子率を確認： \(i\) が支払期間と一致しているか確認します。
3. タイミングを確認： 最初の支払いは今日（\(t=0\)）ですか、それとも期間の終わり（\(t=1\)）ですか？
4. 適用と調整： 公式を当てはめた後、問題で求められている特定の時点まで割り戻し（あるいは蓄積）を行います。

最初は難しく感じるかもしれませんが、大丈夫です！ 永続年金は、通常の年金にある複雑な \((1+i)^{-n}\) という項がなくなるため、むしろ味方になってくれます。タイミングさえ完璧に理解すれば、試験で最も素早く点数を稼げる分野になるはずです。

試験のためのヒント： 問題文に「非常に長い期間」や「無期限」という言葉があれば、それはキャッシュフローを永続年金として扱うべきだというサインです！