Other non-level annuities/cash flows

変動キャッシュフローの世界へようこそ！

これまでの学習で、すべての支払額が一定である「定額年金」についてはマスターできたことでしょう。しかし、現実の世界では物事はそう単純ではありません！将来のキャリアを考えてみてください。毎年昇給があったり（幾何級数的増加）、利息が減る一方で元金の返済額が変わるローンを返済したり（算術級数的変化）しますよね。この章では、このように増減したり、特定のパターンに従って変化したりするキャッシュフローの扱い方を学びます。最初は公式が多くて大変そうに見えるかもしれませんが、心配しないでください。見た瞬間にパターンを見抜けるよう、分かりやすく分解して解説していきます。

1. 幾何級数的増加年金 (Geometrically Increasing Annuities)

幾何級数的増加年金とは、各期の支払額が前回の支払額に対して一定の割合で増加していく年金のことです。インフレや定率の昇給をモデル化するのに最適です。

パターンの理解

最初の支払額が \(1\) だとすると、次は \(1(1+g)\)、その次は \(1(1+g)^2\) と続き、これを \(n\) 期分繰り返します。

現在価値 (PV) の計算方法

複雑な公式を丸暗記する必要はありません。とっておきのコツをお教えしましょう。これは「標準的な年金の修正版」だと考えるのです。利率を \(i\)、成長率を \(g\) とすると、「正味の利率」を使って計算できます。

期末払年金の現在価値の公式は以下の通りです：
\( PV = \frac{1 - (\frac{1+g}{1+i})^n}{i-g} \)

避けるべきよくあるミス：

\(i = g\) の場合に注意！ 利率と成長率が等しい場合、分母がゼロになってしまいます。この特殊なケースでは、公式は非常にシンプルになります：
\( PV = n \times v \) （ただし \(v = \frac{1}{1+i}\)）
実際、直感的には「現在価値の合計の各項がすべて同じ値になる」と考えれば納得ですね。つまり \(PV = \frac{n}{1+i}\) となります。

クイックまとめ：

「毎年Xパーセント増加する」というフレーズを見たら、それは幾何級数的年金です。\( \frac{1 - (\dots)}{i-g} \) の公式を使いましょう。

2. 算術級数的増加年金 (Arithmetically Increasing Annuities)

算術級数的増加では、支払額はパーセンテージではなく、固定された金額ずつ増加します。階段をイメージしてください。一段一段の高さが全く同じであるのと同じです。

標準的な増加年金 \( (Ia)_{\bar{n}|} \)

これは、最初の支払額が 1、2回目が 2、3回目が 3、そして \(n\) 回目の支払額が \(n\) となるケースです。

公式：
\( (Ia)_{\bar{n}|} = \frac{\ddot{a}_{\bar{n}|i} - nv^n}{i} \)

手順ごとの分解：

1. 期首払年金の値 \(\ddot{a}_{\bar{n}|}\) を計算します。
2. そこから「差し引き」項である \(nv^n\) を引きます。
3. 全体を利率 \(i\) で割ります。

アナロジー：階段

ブロックで階段を作っているところを想像してください。毎年、積み上げるブロックが1つずつ増えていきます。上記の公式は、それらすべてのブロックの「現在価値」を求めているのです。

3. 算術級数的減少年金 (Arithmetically Decreasing Annuities)

これはその逆です！支払額は最初が最大で、各期ごとに 1 ずつ減っていきます。最初の支払額は \(n\)、次は \(n-1\)、最後の支払額は 1 です。

公式：

\( (Da)_{\bar{n}|} = \frac{n - a_{\bar{n}|i}}{i} \)

豆知識：

増加年金と減少年金の間には面白い関係があります。\(n\) 年間の増加年金と \(n\) 年間の減少年金を足し合わせると、毎年 \((n+1)\) の定額年金になるのです！計算の検算に使えるので覚えておくと便利ですよ。

4. 「P-Q」公式：あらゆる算術級数的進行のために

支払額が 1 から始まらない場合はどうすればよいでしょう？例えば、500ドルから始まり、毎年20ドルずつ増えるようなケースです。ここで頼りになるのがP-Q公式です。

構成要素：

- P = 初回の支払額。
- Q = 増加額（減少する場合はマイナスの値を使用）。
- n = 支払回数。

一般公式：

\( PV = P a_{\bar{n}|} + Q \frac{a_{\bar{n}|} - nv^n}{i} \)

補足：この公式の後半部分（\( \frac{a_{\bar{n}|} - nv^n}{i} \)）は、教科書によっては \(\frac{(Ia)_{\bar{n}|} - a_{\bar{n}|}}{i}\) と表記されることもありますが、計算には上記の方が直接的でおすすめです。

例：

1年目に100ドル、2年目に110ドル、3年目に120ドルを受け取る場合：
- P = 100
- Q = 10
- n = 3

5. レインボー年金（回文型年金）

試験では、増加した後に減少する年金（例：1, 2, 3, 2, 1）が出題されることがあります。これはしばしばレインボー年金と呼ばれます。

テクニック：

P-Q公式を2回使うのではなく、この美しい恒等式を思い出してください。
(1, 2, ..., n-1, n, n-1, ..., 1) というキャッシュフローの現在価値は、単に次のようになります：
\( PV = a_{\bar{n}|} \times \ddot{a}_{\bar{n}|} \)
あるいはもっと簡単に：
\( PV = (a_{\bar{n}|})^2 \times (1+i) \)

まとめと成功のためのヒント

クイック復習ボックス：

- 幾何級数的： 成長率公式を使用。\(i=g\) に注意。
- 算術級数的増加： 1 から \(n\) まで増える。公式には \(\ddot{a}_{\bar{n}|}\) を使用。
- 算術級数的減少： \(n\) から 1 まで減る。公式には \(a_{\bar{n}|}\) を使用。
- P-Q法： 「標準的ではない」開始値の算術級数的進行に使用。

試験に向けたプロのヒント：

1. タイムラインを描く！ 変動キャッシュフローにおいて最も重要なステップです。増加が2年目から始まる場合などは、\(n\) や指数が正しいか必ず確認してください。
2. 支払時期を確認： 期末払（最初の支払いが \(t=1\)）か、期首払（最初の支払いが \(t=0\)）か？上記の公式はすべて期末払用です。期首払の場合は、最終的な答えに \((1+i)\) を掛けるだけでOKです。
3. パニックにならない： 公式を忘れてしまっても、\(n\) が小さい場合（\(n=3\) や \(4\) など）は、個々の支払いを個別に割り引いて合計すれば答えが出ます。うろ覚えの公式で賭けに出るより、1分かけて計算する方が確実です！

あなたなら大丈夫！ これらのパターンを習得することは、Exam FMにおける最大の難関の一つです。増加が「パーセンテージ（幾何級数的）」なのか「金額（算術級数的）」なのかを見抜けるようになれば、正解への道のりは半分完了したようなものです。