บทนำ: ทำความเข้าใจเรื่องส่วนแบ่งของภาษี

ยินดีต้อนรับครับ! ในการเรียนครั้งก่อน เราได้ดูวิธีการหาค่าของพันธบัตรตามกระแสเงินสดรวม (gross cashflows) ไปแล้ว แต่ในโลกความเป็นจริง นักลงทุนมักจะไม่ได้เก็บเงินทุกบาททุกสตางค์ไว้กับตัวครับ เพราะโดยปกติแล้วรัฐบาลจะจัดเก็บภาษีส่วนหนึ่งจากดอกเบี้ย เรียกว่า ภาษีเงินได้ (income tax) และเก็บอีกส่วนหนึ่งจากกำไรที่เกิดขึ้น เรียกว่า ภาษีจากกำไรส่วนเกินทุน (capital gains tax หรือ CGT)

สำหรับนักคณิตศาสตร์ประกันภัย การคำนวณ "ราคาที่เหมาะสม" ของพันธบัตร หมายถึงการพิจารณา กระแสเงินสดสุทธิ (net cashflows) หรือเงินที่ไหลเข้ากระเป๋าของนักลงทุนจริงๆ นั่นเอง ไม่ต้องกังวลนะครับถ้าฟังดูเป็นเรื่องเทคนิคไปสักหน่อย เพราะถ้าคุณเข้าใจตรรกะของคำว่า "สุทธิหลังหักภาษี" แล้ว สูตรต่างๆ ก็จะจัดการได้ง่ายขึ้นมากเลยครับ!

1. ทำความเข้าใจภาษีทั้ง 2 ประเภท

เมื่อนักลงทุนซื้อพันธบัตรชนิดดอกเบี้ยคงที่ (fixed-interest bond) โดยปกติแล้วจะต้องเผชิญกับภาษี 2 รูปแบบ ดังนี้:

ก. ภาษีเงินได้ (Income Tax)

นี่คือภาษีที่เก็บจาก คูปอง (หรือดอกเบี้ยที่จ่ายตามงวดปกติ) หากพันธบัตรจ่ายคูปองรวมเท่ากับ \(D\) และอัตราภาษีเงินได้คือ \(t_1\) นักลงทุนจะได้รับเงินเพียง:
คูปองสุทธิ (Net Coupon) = \(D \times (1 - t_1)\)

ข. ภาษีจากกำไรส่วนเกินทุน (Capital Gains Tax - CGT)

นี่คือภาษีที่เก็บจาก "กำไร" ที่เกิดขึ้นระหว่างราคาซื้อ (\(P\)) และราคาไถ่ถอน (\(R\)) หากคุณขาย (หรือไถ่ถอน) พันธบัตรในราคาที่สูงกว่าราคาที่ซื้อมา รัฐบาลก็จะหักส่วนแบ่งจากกำไรนั้นไป
กำไรส่วนเกินทุน (Capital Gain) = \(R - P\) (ในกรณีที่ \(R > P\))
จำนวนภาษี = \(t_2 \times (R - P)\) โดยที่ \(t_2\) คืออัตราภาษี CGT

ทบทวนสั้นๆ:

  • ภาษีเงินได้ ส่งผลต่อส่วนที่เป็น เงินงวด (annuity) ของราคาพันธบัตร (ซึ่งก็คือคูปอง)
  • ภาษีจากกำไรส่วนเกินทุน ส่งผลต่อ เงินก้อน (lump sum) ในตอนท้าย (ซึ่งก็คือการไถ่ถอน)

2. สูตรพื้นฐานการหาราคาพันธบัตรแบบรวมภาษี

ในการหาราคา (\(P\)) ของพันธบัตรที่ให้อัตราผลตอบแทนสุทธิเท่ากับ \(i\) เราจะสร้าง สมการค่าเงิน (equation of value) ขึ้นมา โดยเราสมมติว่านักลงทุนต้องการหามูลค่าปัจจุบันของ กระแสเงินสดสุทธิในอนาคต ทั้งหมด

สูตรทั่วไปจะมีหน้าตาแบบนี้ครับ:
\(P = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|i} + R v^n - t_2(R - P) v^n\)

โดยที่:

  • \(P\) = ราคาซื้อ
  • \(g\) = อัตราคูปองรวมต่อปี (ดังนั้น \(g \times R\) คือคูปองต่อปี)
  • \(t_1\) = อัตราภาษีเงินได้
  • \(t_2\) = อัตราภาษีจากกำไรส่วนเกินทุน
  • \(R\) = มูลค่าไถ่ถอน (โดยปกติคือ 100)
  • \(n\) = ระยะเวลาจนถึงวันไถ่ถอน
  • \(i\) = อัตราผลตอบแทนสุทธิ ที่นักลงทุนต้องการ

ทำไมถึงมี \(P\) อยู่ทั้งสองฝั่งของสมการ?

คุณอาจจะสังเกตเห็นว่า \(P\) ปรากฏอยู่ในสูตรหลักและยังอยู่ในพจน์ของภาษี CGT ด้วย ที่เป็นเช่นนี้เพราะภาษีขึ้นอยู่กับราคาซื้อ แต่ราคาซื้อก็ดันขึ้นอยู่กับภาษีด้วย! ในการสอบ คุณมักจะต้องจัดรูปสมการนี้เพื่อแก้หาค่า \(P\) ครับ

ขั้นตอนการจัดรูปสมการเพื่อหา \(P\):
1. กระจายวงเล็บ: \(P = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n - t_2 R v^n + t_2 P v^n\)
2. ย้ายพจน์ที่มี \(P\) ไปไว้ฝั่งเดียวกัน: \(P - t_2 P v^n = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n(1 - t_2)\)
3. ดึงตัวร่วม \(P\) ออกมา: \(P(1 - t_2 v^n) = g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n(1 - t_2)\)
4. แก้สมการ: \(P = \frac{g(1 - t_1) a_{\overline{n}|} + R v^n(1 - t_2)}{1 - t_2 v^n}\)

3. "การทดสอบกำไรส่วนเกินทุน": เราต้องจ่ายภาษีหรือไม่?

นี่คือจุดสำคัญที่นักศึกษาหลายคนมักจะเสียคะแนนครับ! เราจะจ่ายภาษีจากกำไรส่วนเกินทุนก็ต่อเมื่อมี "กำไร" เกิดขึ้นจริงๆ เท่านั้น

หากราคาซื้อ (\(P\)) สูงกว่า ราคาไถ่ถอน (\(R\)) แสดงว่านักลงทุน ขาดทุนส่วนเกินทุน ซึ่งในหลักสูตร CM1 เรามักจะสมมติว่านักลงทุนไม่สามารถนำผลขาดทุนไปขอคืนภาษีได้ในบริบทนี้ ดังนั้น:
ถ้า \(P \geq R\): พจน์ CGT ในสูตรจะเป็น ศูนย์ ทันที
ถ้า \(P < R\): พจน์ CGT จะต้องถูก นำมาคำนวณ ในสูตรด้วย

รู้หรือไม่? เรื่องนี้ทำให้เกิด "วงจรตรรกะ" (logic loop) ขึ้นมา เพราะการที่คุณจะรู้ว่าต้องคิด CGT หรือไม่ คุณต้องรู้ก่อนว่า \(P < R\) หรือเปล่า แต่คุณยังไม่รู้ค่า \(P\) เลยนี่นา!
เคล็ดลับ: ให้เปรียบเทียบ อัตราคูปองสุทธิ กับ อัตราผลตอบแทนสุทธิ แทนครับ
ถ้า \(g(1 - t_1) < i\) แสดงว่าพันธบัตรนี้ถูกซื้อในราคาที่มีส่วนลด (\(P < R\)) ดังนั้น ต้อง เสียภาษี CGT
ถ้า \(g(1 - t_1) > i\) แสดงว่า \(P > R\) และ ไม่ต้อง เสียภาษี CGT

4. อัตราผลตอบแทน: Running Yield vs. Redemption Yield

แม้ว่าบทนี้จะเน้นไปที่สมการค่าเงิน แต่สิ่งสำคัญคือต้องแยกความแตกต่างระหว่างสองคำนี้ให้ได้ครับ:

  • อัตราผลตอบแทนสุทธิในปัจจุบัน (Net Running Yield): ตัวนี้จะดูเฉพาะส่วนที่เป็นรายได้เท่านั้น คำนวณจาก \(\frac{g(1 - t_1)R}{P}\)
  • อัตราผลตอบแทนสุทธิเมื่อถือจนครบกำหนด (Net Redemption Yield): นี่คืออัตราดอกเบี้ยรวม \(i\) ที่สอดคล้องกับสมการค่าเงินทั้งหมด (รวมทั้งกำไร/ขาดทุนจากส่วนต่างราคา และมูลค่าของเงินตามเวลา)

หมายเหตุ: สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคำจำกัดความพื้นฐานของผลตอบแทนเหล่านี้ สามารถดูได้ในบท "Running yield, redemption yield and index-linked bonds" ครับ

5. ตัวอย่างการคำนวณทีละขั้นตอน

โจทย์: พันธบัตรจ่ายคูปอง 8% ต่อปี โดยจ่ายตอนสิ้นปี และจะไถ่ถอนที่ราคา 100 ในอีก 10 ปีข้างหน้า นักลงทุนเสียภาษีเงินได้ที่ 25% และภาษี CGT ที่ 20% จงคำนวณหาราคาเพื่อให้ได้อัตราผลตอบแทนสุทธิ 6% ต่อปี

ขั้นตอนที่ 1: การทดสอบกำไรส่วนเกินทุน
คูปองสุทธิ = \(8\% \times (1 - 0.25) = 6\%\)
อัตราผลตอบแทนสุทธิที่ต้องการ = \(6\%\)
เนื่องจาก คูปองสุทธิ = ผลตอบแทนสุทธิ ราคาจึงควรจะอยู่ที่ราคาพาร์พอดี (\(P = 100\)) ในกรณีนี้ \(P = R\) ดังนั้นจึงไม่ต้องเสียภาษี CGT ครับ

ขั้นตอนที่ 2: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าอัตราผลตอบแทนเป็น 7%?
คูปองสุทธิ (6%) < ผลตอบแทนสุทธิ (7%) ดังนั้น \(P < 100\) และ ต้อง เสียภาษี CGT
ใช้สูตรที่จัดรูปแล้ว:
\(P = \frac{8(1 - 0.25) a_{\overline{10}|0.07} + 100 v^{10}(1 - 0.20)}{1 - 0.20 v^{10}}\)
แทนค่าที่ \(i = 0.07\):
\(a_{\overline{10}|} = 7.0236\)
\(v^{10} = 0.5083\)
\(P = \frac{(6 \times 7.0236) + (100 \times 0.5083 \times 0.80)}{1 - (0.20 \times 0.5083)} = \frac{42.1416 + 40.664}{0.89834} = 92.17\)

6. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่ควรระวัง

  • สับสนระหว่าง \(t_1\) และ \(t_2\): ตรวจสอบให้แน่ใจเสมอว่าอัตราไหนใช้กับคูปอง และอัตราไหนใช้กับกำไรส่วนเกินทุน เพราะบ่อยครั้งโจทย์จะให้มาไม่เท่ากันครับ!
  • ลืมเรื่องความถี่ของการจ่ายคูปอง: หากมีการจ่ายคูปองทุกครึ่งปี อย่าลืมใช้ \(a_{\overline{n}|}^{(2)}\) หรือปรับอัตราดอกเบี้ย \(i\) ให้เหมาะสม
  • ลืมทดสอบ CGT: ควรทำการเช็คสั้นๆ เสมอ (\(g(1-t_1)\) เทียบกับ \(i\)) ก่อนเริ่มคำนวณ เพื่อดูว่าต้องคิดภาษี CGT หรือไม่
  • ข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ในการจัดรูปสมการ: บ่อยครั้งการเขียนสมการค่าเงินแบบเต็มออกมาก่อนจะปลอดภัยกว่าการพยายามย้ายข้างพจน์ต่างๆ ในใจครับ

สรุปสาระสำคัญ

1. สุทธิหลังหักภาษี: ให้ทำงานกับกระแสเงินสดสุทธิเสมอ คูปองสุทธิ = \(Gross \times (1 - t_1)\)
2. ตรรกะของ CGT: ภาษีจากกำไรส่วนเกินทุนจะใช้ก็ต่อเมื่อ \(P < R\) เท่านั้น ถ้าคุณซื้อมาแพงกว่าราคาที่ขายไป ก็ไม่ต้องสนใจ CGT ครับ
3. สูตรการหาค่า: ราคา \(P\) คือมูลค่าปัจจุบันของคูปองสุทธิ บวกกับมูลค่าปัจจุบันของเงินค่าไถ่ถอนสุทธิ
4. การจัดรูปสมการ: ฝึกแก้สมการหาค่า \(P\) เมื่อมันปรากฏอยู่ทั้งสองฝั่งของสมการให้คล่องแคล่วเข้าไว้นะครับ