Optional redemption dates: bounds on present value

บทนำ: ปริศนาของวันไถ่ถอนตราสารหนี้

ในการศึกษาเรื่องการกำหนดราคาตราสารหนี้ (Bond pricing) ก่อนหน้านี้ เรามักจะสมมติว่าวันไถ่ถอนนั้นถูกกำหนดไว้ตายตัว แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าผู้กู้ (ผู้ออกตราสารหนี้) มีสิทธิที่จะจ่ายเงินคืนเมื่อไหร่ก็ได้ภายในช่วงเวลาที่กำหนด? เราเรียกสิ่งนี้ว่า ตราสารหนี้ที่มี วันไถ่ถอนที่เลือกได้ (optional redemption dates)

ลองนึกภาพว่าคุณให้เพื่อนยืมเงิน แล้วเพื่อนบอกว่า "ฉันจะคืนเงินให้เธอตอนไหนก็ได้ระหว่าง 5 ถึง 10 ปีนับจากนี้" ในฐานะนักคณิตศาสตร์ประกันภัย คุณจำเป็นต้องรู้ว่า ตราสารหนี้ฉบับนั้นมีมูลค่า ในตอนนี้ เท่าไหร่? เนื่องจากวันที่ไถ่ถอนยังไม่แน่นอน เราจึงไม่สามารถหาค่าที่เป๊ะเพียงค่าเดียวได้ แต่เราจะมองหา ขอบเขตบนและขอบเขตล่าง (upper and lower bounds) ซึ่งก็คือมูลค่าปัจจุบันสูงสุดและต่ำสุดที่เป็นไปได้นั่นเอง

ถ้ารู้สึกว่าเรื่องนี้ดูยากในตอนแรก ไม่ต้องกังวลนะ! เรามี "หลักการจำง่ายๆ" เพื่อดูว่าผู้กู้จะตัดสินใจเลือกวันไหน

หมายเหตุ: บทนี้ต่อยอดมาจากความรู้เรื่อง การกำหนดราคาและอัตราผลตอบแทนของตราสารหนี้ (Bond pricing and yields) หากคุณต้องการทบทวนสูตรพื้นฐานของตราสารหนี้ ลองกลับไปดูบทก่อนหน้าในส่วนนี้ได้เลย

กลยุทธ์ของผู้กู้

สิ่งที่สำคัญที่สุดที่ต้องจำไว้คือ ผู้กู้เป็นผู้ที่มีเหตุมีผล (rational) พวกเขาต้องการประหยัดเงินให้ได้มากที่สุด ดังนั้น ผู้กู้จะเลือกวันไถ่ถอนที่ เป็นประโยชน์ต่อพวกเขามากที่สุด (และในทางกลับกัน จะเป็นประโยชน์ต่อคุณซึ่งเป็นนักลงทุนน้อยที่สุด)

ในการหาขอบเขตของมูลค่าปัจจุบัน เราจะทดสอบที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาไถ่ถอน (เช่น วันที่เร็วที่สุดที่เป็นไปได้ และวันที่ช้าที่สุดที่เป็นไปได้) จากนั้นเราจะดูว่าวันที่ใดที่ทำให้ราคาต่ำที่สุดสำหรับอัตราผลตอบแทนที่กำหนด

"กฎทอง" ของการเลือกวันไถ่ถอน (Optional Redemption)

การที่ผู้กู้จะเลือกไถ่ถอนเร็วหรือช้านั้น ขึ้นอยู่กับว่าตราสารหนี้นั้นถูกกำหนดราคาแบบ มีส่วนพรีเมียม (premium) หรือ มีส่วนลด (discount) เมื่อเทียบกับมูลค่าไถ่ถอน

• กรณีที่ 1: ราคาไถ่ถอน \( > \) รายได้สุทธิ (ตราสารหนี้ราคาถูกกว่าปกติ หรือ At a Discount)
  หากการจ่ายคืนเงินต้นนั้น "แพง" สำหรับผู้กู้เมื่อเทียบกับดอกเบี้ยที่เขาต้องจ่ายให้คุณ เขาจะต้องการเก็บเงินของคุณไว้นานที่สุดเท่าที่จะทำได้ ดังนั้นเขาจะเลือกวันไถ่ถอนที่ ช้าที่สุด
• กรณีที่ 2: ราคาไถ่ถอน \( < \) รายได้สุทธิ (ตราสารหนี้ราคาสูงกว่าปกติ หรือ At a Premium)
  หากการจ่ายดอกเบี้ย (coupons) ทำให้ผู้กู้ต้องเสียค่าใช้จ่ายมากกว่าการจ่ายคืนเงินต้นในตอนสุดท้าย เขาจะต้องการหยุดจ่ายดอกเบี้ยเหล่านั้นให้เร็วที่สุดเท่าที่จะทำได้ ดังนั้นเขาจะเลือกวันไถ่ถอนที่ เร็วที่สุด

เคล็ดลับ: ให้ลองนึกถึงการสมัครสมาชิก (Subscription) ถ้าค่าธรรมเนียมรายเดือนแพง คุณก็จะยกเลิกให้เร็วที่สุด แต่ถ้าค่าธรรมเนียมรายเดือนถูกมากเหมือนได้เปล่า คุณก็อยากจะรักษาสมาชิกนั้นไว้นานๆ!

การคำนวณหาขอบเขต (Bounds)

ในหลักสูตร CM1 เราจะเน้นไปที่การหามูลค่าปัจจุบัน (\(P\)) สำหรับอัตราดอกเบี้ยทบต้นที่แท้จริง (\(i\)) ที่กำหนดให้ ในการหาขอบเขต เรามักจะคำนวณราคา ณ วันที่ที่เป็นไปได้สองขั้ว คือ \(n_{min}\) และ \(n_{max}\)

สูตรสำหรับราคาตราสารหนี้ที่มีทั้งภาษีเงินได้และภาษีจากกำไรส่วนทุน (CGT) โดยทั่วไปคือ:

\(P = C(1-t_1)a_{\overline{n}|}^{(p)} + Rv^n - t_2(R - P)v^n\)

โดยที่:
\(C\) = ดอกเบี้ยรายปี (Annual coupon)
\(t_1\) = อัตราภาษีเงินได้
\(R\) = มูลค่าไถ่ถอน (Redemption value)
\(t_2\) = อัตราภาษีจากกำไรส่วนทุน (Capital gains tax rate)
\(n\) = ระยะเวลาจนถึงการไถ่ถอน

รู้หรือไม่? ถึงแม้สูตรจะดูน่ากลัว แต่ตรรกะสำหรับการเลือกวันไถ่ถอนมักจะสรุปได้ง่ายๆ เพียงแค่การเปรียบเทียบ อัตราดอกเบี้ยสุทธิ (net coupon rate) กับ อัตราผลตอบแทนที่นักลงทุนต้องการ (investor's required yield)

วิธีหาราคาใน "กรณีที่แย่ที่สุด" (Worst Case)

1. คำนวณราคาโดยสมมติว่ามีการไถ่ถอนในวันที่ เร็วที่สุด
2. คำนวณราคาโดยสมมติว่ามีการไถ่ถอนในวันที่ ช้าที่สุด
3. ขอบเขตล่าง (ราคาต่ำสุด) คือค่าที่น้อยกว่าระหว่างสองค่านี้
4. ขอบเขตบน (ราคาสูงสุด) คือค่าที่มากกว่าระหว่างสองค่านี้

ตัวอย่างการคำนวณ: การหาขอบเขตราคา

สถานการณ์: นักลงทุนต้องการอัตราผลตอบแทน \(8\%\) ต่อปี เขากำลังพิจารณาซื้อตราสารหนี้ที่มีดอกเบี้ย \(6\%\) ต่อปี (จ่ายรายปีตอนสิ้นงวด) ตราสารหนี้สามารถไถ่ถอนได้ที่ราคา \(100\%\) เมื่อใดก็ได้ระหว่างปีที่ 10 ถึงปีที่ 15 เพื่อความเข้าใจที่ง่ายขึ้น เราจะยังไม่นำภาษีมาคิดในตัวอย่างนี้

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณราคาสำหรับ \(n = 10\) (เร็วที่สุด)
\(P = 6 \cdot a_{\overline{10}|} + 100 \cdot v^{10}\) ที่ \(8\%\)
\(a_{\overline{10}|} = \frac{1 - (1.08)^{-10}}{0.08} = 6.7101\)
\(P = 6(6.7101) + 100(0.4632) = 40.26 + 46.32 = 86.58\)

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณราคาสำหรับ \(n = 15\) (ช้าที่สุด)
\(P = 6 \cdot a_{\overline{15}|} + 100 \cdot v^{15}\) ที่ \(8\%\)
\(a_{\overline{15}|} = \frac{1 - (1.08)^{-15}}{0.08} = 8.5595\)
\(P = 6(8.5595) + 100(0.3152) = 51.36 + 31.52 = 82.88\)

บทวิเคราะห์:
อัตราผลตอบแทนที่นักลงทุนต้องการ (\(8\%\)) สูงกว่าอัตราดอกเบี้ย (\(6\%\)) หมายความว่าตราสารหนี้นี้ขายแบบ มีส่วนลด (ราคา \( < 100\))
ตามที่เราคาดไว้ ขอบเขตล่าง (ราคาต่ำสุด) เกิดขึ้น ณ วันที่ ช้าที่สุด (\(n = 15\)) ซึ่งได้ราคาเท่ากับ \(82.88\)
และ ขอบเขตบน (ราคาสูงสุด) เกิดขึ้น ณ วันที่ เร็วที่สุด (\(n = 10\)) ซึ่งได้ราคาเท่ากับ \(86.58\)

ผลกระทบของภาษี

เมื่อมีเรื่องภาษีเงินได้และภาษีจากกำไรส่วนทุน (CGT) เข้ามาเกี่ยวข้อง หลักการยังคงเหมือนเดิม แต่คุณต้องใช้ กระแสเงินสดสุทธิ (net cashflows) ในการคำนวณ

ถ้าตราสารหนี้สามารถไถ่ถอนได้ในช่วงวันที่ที่กำหนด ตามความต้องการของผู้กู้ ผู้กู้จะเลือกวันที่ที่ส่งผลให้มูลค่าปัจจุบันของนักลงทุนต่ำที่สุด หากข้อสอบถามหา "ราคา" ของตราสารหนี้ประเภทนี้ คุณควรตอบค่าที่ ต่ำที่สุด (minimum value) เสมอเพื่อความระมัดระวัง (prudence)

สรุปประเด็นสำคัญ: ทางลัด "ผลตอบแทน vs ดอกเบี้ย"

หากไม่มีภาษีจากกำไรส่วนทุน (CGT):

• ถ้า ผลตอบแทน \( > \) อัตราดอกเบี้ยสุทธิ: ราคาต่ำสุดจะอยู่ที่วันที่ ช้าที่สุด
• ถ้า ผลตอบแทน \( < \) อัตราดอกเบี้ยสุทธิ: ราคาต่ำสุดจะอยู่ที่วันที่ เร็วที่สุด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่ควรระวัง

• การสมมติเอาค่าเฉลี่ยตรงกลาง: ห้ามนำวันที่มาหาค่าเฉลี่ยเด็ดขาด ผู้กู้จะเลือกจุดที่อยู่ปลายสุดด้านใดด้านหนึ่ง ไม่ใช่ตรงกลาง
• ลืมเรื่องภาษี: ตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้หักภาษีเงินได้จากดอกเบี้ย และหักภาษี CGT จากกำไร (ราคาไถ่ถอน ลบ ราคาซื้อ) ก่อนที่จะทำการคิดลด (discounting)
• สับสนระหว่างผู้กู้และนักลงทุน: จำไว้เสมอว่าผู้กู้จะเลือกวันที่ที่ ประหยัดที่สุดสำหรับเขา ซึ่งจะเป็นค่าที่ "แย่ที่สุด" สำหรับการประเมินมูลค่าของนักลงทุน