Loan schedules, capital and interest components, APR

Q: สมการแห่งมูลค่าสำหรับเงินกู้ที่มีการผ่อนชำระเท่ากันทุกงวดรายปีเขียนได้อย่างไร?

\[L = X a_{\overline{n}|i}\] โดยที่ $L$ คือเงินกู้แรกเริ่ม, $X$ คือค่างวดรายปี, และ $a_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{i}$

Q: หากมีการผ่อนชำระเงินกู้ปีละ $p$ ครั้ง งวดละเท่ากัน สมการแห่งมูลค่าจะมีความสัมพันธ์อย่างไร?

\[L = X a_{\overline{n}|}^{(p)} = X \frac{1 - v^n}{i^{(p)}}\] โดยที่ $X$ คือยอดชำระรวมต่อปี และผ่อนชำระครั้งละ $\frac{X}{p}$

Q: ยอดหนี้เงินกู้คงค้างโดยวิธีมองไปข้างหน้า (Prospective Loan Balance) คำนวณได้อย่างไร?

\[L_t = X a_{\overline{n - t}|}\] ซึ่งเท่ากับมูลค่าปัจจุบัน ณ เวลา $t$ ของค่างวดทั้งหมดในอนาคตที่ยังเหลืออยู่

Q: ยอดหนี้เงินกู้คงค้างโดยวิธีมองย้อนหลัง (Retrospective Loan Balance) คำนวณได้อย่างไร?

\[L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}|}\] ซึ่งเท่ากับมูลค่าสะสมของเงินกู้ก้อนแรกเริ่ม หักด้วยมูลค่าสะสมของค่างวดที่ชำระไปแล้ว

Q: องค์ประกอบของค่างวด $X_t$ สามารถแยกออกเป็นส่วนใดบ้าง และคำนวณอย่างไร?

\[X_t = I_t + C_t\] โดยดอกเบี้ยจ่ายคือ $I_t = i \cdot L_{t-1}$ และส่วนเงินต้นที่ชำระคืนคือ $C_t = X_t - I_t$

Q: สำหรับเงินกู้แบบผ่อนชำระเท่ากันทุกงวด ส่วนของการชำระคืนเงินต้น $C_t$ และดอกเบี้ย $I_t$ มีสูตรพีชคณิตสำเร็จรูปอย่างไร?

\[C_t = X v^{n - t + 1}\] และ \[I_t = X (1 - v^{n - t + 1})\]

Q: ผลรวมของเงินต้นที่ชำระคืนทั้งหมด ($\sum C_t$) และดอกเบี้ยรวมทั้งหมด ($\sum I_t$) ตลอดอายุสัญญาเงินกู้มีค่าเท่าใด?

\[\sum_{t=1}^n C_t = L\] และ \[\sum_{t=1}^n I_t = nX - L\]

Q: อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี (APR) คืออะไร และตั้งสมการแห่งมูลค่าอย่างไร?

APR คืออัตราดอกเบี้ยลดค่าที่แท้จริงที่ทำให้: \[L - E_0 = \sum_{t} (X_t + e_t)(1 + \text{APR})^{-t}\]

Q: เหตุใดอัตราดอกเบี้ยแบบคงที่ (Flat Rate) จึงให้ต้นทุนดอกเบี้ยที่แท้จริง (APR) ที่สูงกว่าอัตราที่ระบุไว้เกือบเท่าตัว?

เพราะ Flat Rate คิดดอกเบี้ยจากยอดกู้เต็มจำนวนตลอดอายุสัญญา แม้ว่าผู้กู้จะทยอยผ่อนชำระคืนเงินต้นไปเรื่อยๆ ในทุกงวดแล้วก็ตาม

Q: เมื่ออัตราดอกเบี้ยของเงินกู้เปลี่ยนแปลงกลางคัน ณ เวลา $k$ มีขั้นตอนการคำนวณค่างวดใหม่อย่างไร?

1. หายอดหนี้คงค้าง $L_k = X a_{\overline{n-k}|i}$ ด้วยดอกเบี้ยเดิม $i$ 2. หาค่างวดใหม่จาก $X' = \frac{L_k}{a_{\overline{n-k}|i'}}$ ด้วยดอกเบี้ยใหม่ $i'$

CM1 – Actuarial Mathematics for Modelling · IFoA (Institute and Faculty of Actuaries) · อ่านประมาณ 6 นาที · อัปเดตเมื่อ: 22 ต.ค. 2569

บทนำสู่ตารางการผ่อนชำระเงินกู้, เงินต้นและดอกเบี้ย, และอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี (APR)

ยินดีต้อนรับสู่บทเรียนหลักที่สำคัญยิ่งของวิชา CM1! ไม่ว่าจะเป็นการกู้ซื้อบ้าน การจัดไฟแนนซ์รถยนต์ หรือการระดมทุนในโครงการขององค์กร เงินกู้ถือเป็นกระดูกสันหลังของระบบการเงินเชิงพาณิชย์ ในบทนี้ เราจะมาเจาะลึกโครงสร้างของเงินกู้ การแบ่งค่างวดผ่อนชำระในแต่ละงวดออกเป็นส่วนของดอกเบี้ยและส่วนของการชำระคืนเงินต้น รวมถึงวิธีวัดต้นทุนการกู้ยืมที่แท้จริงต่อปีผ่าน อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี (Annual Percentage Rate หรือ APR)

ถ้ารู้สึกว่าเนื้อหานี้ดูซับซ้อนในตอนแรก ไม่ต้องกังวลนะ! เพราะโดยเนื้อแท้แล้ว ทั้งบทนี้สร้างขึ้นบนแนวคิดที่ตรงไปตรงมาซึ่งน้องๆ คุ้นเคยกันดีอยู่แล้ว นั่นคือ สมการแห่งมูลค่า (equation of value) ซึ่งกำหนดให้จำนวนเงินกู้ที่ได้รับ เท่ากับมูลค่าปัจจุบันของค่างวดที่ต้องผ่อนชำระคืนทั้งหมดนั่นเอง

หมายเหตุเกี่ยวกับขอบเขตหลักสูตร: บทนี้จะเน้นเฉพาะหัวข้อ 2.2 ของหลักสูตร ("เงินกู้ที่ชำระคืนด้วยงวดการจ่ายสม่ำเสมอทั้งดอกเบี้ยและเงินต้น — ค่างวดผ่อนชำระ, องค์ประกอบของดอกเบี้ยและเงินต้น, อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริง (APR) และตารางการผ่อนชำระเงินกู้") สำหรับการประยุกต์ใช้อื่นๆ ในหัวข้อนี้ เช่น การกำหนดราคาตราสารหนี้, การประเมินโครงการ และการประเมินมูลค่าหุ้น จะกล่าวถึงในบทถัดๆ ไป

1. หลักการพื้นฐานของเงินกู้และโครงสร้างการชำระคืน

สมการแห่งมูลค่าสำหรับเงินกู้ (The Equation of Value for a Loan)

เมื่อกู้ยืมเงินจำนวน $L$ ด้วยอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริง $i$ ต่องวด และผ่อนชำระคืนด้วยกระแสเงินสด $X_1, X_2, \dots, X_n$ ณ สิ้นแต่ละงวด สมการแห่งมูลค่า ณ เวลา $t = 0$ จะเขียนได้เป็น:

$L = \sum_{t=1}^{n} X_t v^t$

โดยที่ $v = \frac{1}{1 + i}$ คือตัวคิดลด (discount factor) ต่องวด

หากเป็นการผ่อนชำระเงินกู้ด้วย ค่างวดรายปีที่เท่ากัน จำนวน $X$ ณ สิ้นงวด เป็นเวลา $n$ ปี ด้วยอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี $i$ สมการจะลดรูปเป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ประกันภัยที่เราคุ้นเคย:

$L = X a_{\overline{n}|}$

โดยที่ $a_{\overline{n}|} = \frac{1 - v^n}{i}$ ซึ่งจากจุดนี้ เราจะสามารถหาค่างวดรายปีที่เท่ากันได้อย่างง่ายดายดังนี้:

$X = \frac{L}{a_{\overline{n}|}}$

การผ่อนชำระปีละ $p$ ครั้ง (Payments Payable $p$-thly)

ในชีวิตจริง เงินกู้อย่างเช่นสินเชื่อบ้านมักจะผ่อนชำระเป็นรายเดือนหรือรายไตรมาส หากมีการชำระค่างวดที่เท่ากันจำนวน $\frac{X}{p}$ เป็นจำนวน $p$ ครั้งต่อปี ตลอดระยะเวลา $n$ ปี (รวมเป็นเงินทั้งสิ้น $X$ ต่อปี) สมการแห่งมูลค่า ณ อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี $i$ จะเป็น:

$L = X a_{\overline{n}|}^{(p)}$

ทบทวนเอกลักษณ์มาตรฐานที่เชื่อมโยงระหว่าง $a_{\overline{n}|}^{(p)}$ และ $i^{(p)}$:

$a_{\overline{n}|}^{(p)} = \frac{1 - v^n}{i^{(p)}}$

โดยที่ $(1 + i) = \left(1 + \frac{i^{(p)}}{p}\right)^p$

ทบทวนสั้นๆ: เงินค่างวดแต่ละงวดที่ผู้กู้จ่ายไปนั้น ทำหน้าที่สำคัญ 2 อย่างด้วยกัน:

1. จ่าย ดอกเบี้ย ให้แก่ผู้ให้กู้ ซึ่งคำนวณจากยอดหนี้คงค้างตลอดช่วงงวดที่เพิ่งสิ้นสุดลง

2. ส่วนที่เหลือหลังจากหักดอกเบี้ย จะนำไปลด เงินต้นของเงินกู้ (principal balance)

2. ยอดหนี้เงินกู้คงค้าง: วิธีมองไปข้างหน้า (Prospective) ปะทะ วิธีมองย้อนหลัง (Retrospective)

ณ เวลา $t$ ใดๆ ($0 < t < n$) เรามักจำเป็นต้องคำนวณหา ยอดหนี้เงินกู้คงค้าง (outstanding loan balance) ซึ่งเขียนแทนด้วย $L_t$ ในทางคณิตศาสตร์มี 2 วิธีที่ให้ผลลัพธ์เท่ากันอย่างสมบูรณ์ในการคำนวณ ได้แก่: วิธีมองไปข้างหน้า (prospective method) และ วิธีมองย้อนหลัง (retrospective method)

ยอดหนี้เงินกู้คงค้างโดยวิธีมองไปข้างหน้า (The Prospective Loan Balance)

วิธีมองไปข้างหน้า จะประเมินมูลค่าจากค่างวดทั้งหมดที่เหลืออยู่ในอนาคต:

$L_t = \text{มูลค่าปัจจุบัน ณ เวลา } t \text{ ของค่างวดทั้งหมดในอนาคตที่ยังต้องจ่าย}$

สำหรับค่างวดรายปีที่เท่ากันจำนวน $X$ โดยเหลือค่างวดอีก $n - t$ งวด:

$L_t = X a_{\overline{n - t}|}$

เหตุผลที่นักศึกษาชอบวิธีนี้มาก: เพราะเกือบทุกครั้งในการทำข้อสอบสอบ วิธีนี้จะคำนวณได้เร็วกว่าและง่ายกว่าเสมอ ตราบใดที่ค่างวดในอนาคตยังคงที่และเท่ากัน

ยอดหนี้เงินกู้คงค้างโดยวิธีมองย้อนหลัง (The Retrospective Loan Balance)

วิธีมองย้อนหลัง จะประเมินมูลค่าจากกระแสเงินสดในอดีตที่ทบยอดมาจนถึงเวลา $t$:

$L_t = \text{มูลค่าสะสม ณ เวลา } t \text{ ของเงินกู้ก้อนแรกเริ่ม} - \text{มูลค่าสะสม ณ เวลา } t \text{ ของค่างวดทั้งหมดที่ได้ชำระไปแล้ว}$

สำหรับค่างวดรายปีที่เท่ากันจำนวน $X$ ซึ่งชำระมาแล้วเป็นเวลา $t$ งวด:

$L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}|}$

โดยที่ $s_{\overline{t}|} = \frac{(1 + i)^t - 1}{i}$

ความเท่ากันของทั้งสองวิธี (Equivalence of Both Methods)

ตราบใดที่อัตราดอกเบี้ย $i$ คงที่ตลอดระยะเวลาการกู้ ทั้งสองวิธีจะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกันทุกประการ:

$L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}|} = (X a_{\overline{n}|})(1 + i)^t - X \frac{(1 + i)^t - 1}{i} = X \left[ \frac{1 - v^n}{i}(1 + i)^t - \frac{(1 + i)^t - 1}{i} \right] = X \left[ \frac{1 - v^{n-t}}{i} \right] = X a_{\overline{n - t}|}$

หัวใจสำคัญที่ต้องจำ: ให้เลือกใช้วิธีมองไปข้างหน้า (prospective) เมื่อค่างวดในอนาคตคงที่และไม่ซับซ้อน และให้เลือกใช้วิธีมองย้อนหลัง (retrospective) หากการชำระในอดีตตรงไปตรงมา แต่ค่างวดในอนาคตมีการเปลี่ยนแปลงหรือยังมีเงื่อนไขที่ไม่แน่นอน

3. องค์ประกอบเงินต้นและดอกเบี้ยของค่างวดผ่อนชำระ

พิจารณาค่างวด $X_t$ ที่ชำระ ณ เวลา $t$ ค่างวดนี้จะประกอบด้วย 2 ส่วนย่อยเสมอ:

$X_t = I_t + C_t$

โดยที่ $I_t$ คือ ส่วนของดอกเบี้ย (interest component) และ $C_t$ คือ ส่วนของการชำระคืนเงินต้น (capital repayment component)

ขั้นตอนการแยกองค์ประกอบแบบทีละสเต็ป

ขั้นตอนที่ 1: ส่วนของดอกเบี้ย ($I_t$)
ดอกเบี้ยจะถูกคิดจากยอดหนี้คงค้าง ณ ต้นงวด (ซึ่งก็คือเวลา $t - 1$):

$I_t = i \cdot L_{t-1}$

ขั้นตอนที่ 2: ส่วนของเงินต้น ($C_t$)
เงินต้นที่ได้รับชำระคืน คือส่วนของเงินค่างวดที่เหลืออยู่หลังจากหักดอกเบี้ยออกไปแล้ว:

$C_t = X_t - I_t = X_t - i \cdot L_{t-1}$

ขั้นตอนที่ 3: การปรับปรุงยอดหนี้คงค้าง
ยอดหนี้ที่เหลืออยู่ ณ สิ้นงวด จะเท่ากับยอดหนี้เดิมลบด้วยเงินต้นที่เพิ่งชำระคืนไป:

$L_t = L_{t-1} - C_t$

นิพจน์พีชคณิตสำหรับเงินกู้แบบผ่อนชำระเท่ากันทุกงวด (Level Annuity Loan)

เมื่อเงินกู้ถูกชำระคืนด้วยค่างวดรายปีที่เท่ากัน $X$ เราสามารถแทนค่ายอดหนี้คงค้างแบบมองไปข้างหน้า $L_{t-1} = X a_{\overline{n - t + 1}|}$ ลงในสูตรของ $I_t$ ได้ดังนี้:

$I_t = i \cdot X a_{\overline{n - t + 1}|} = i \cdot X \left( \frac{1 - v^{n - t + 1}}{i} \right) = X (1 - v^{n - t + 1})$

จากนั้น จะได้ส่วนของเงินต้นเป็น:

$C_t = X - I_t = X - X (1 - v^{n - t + 1}) = X v^{n - t + 1}$

สังเกตเห็นลำดับเรขาคณิตอันงดงามนี้ไหม! สำหรับค่างวดรายปีที่เท่ากันทุกงวด:

$C_t = X v^{n - t + 1}$

$C_{t+1} = X v^{n - (t+1) + 1} = X v^{n - t} = C_t(1 + i)$

รู้หรือไม่? ภายใต้ตารางการผ่อนชำระแบบค่างวดเท่ากัน ส่วนของเงินต้นจะเติบโตขึ้นแบบเรขาคณิตในอัตรา $i$ ในแต่ละปี: $C_{t+1} = C_t (1 + i)$ ในขณะที่ส่วนของดอกเบี้ย $I_t$ จะทยอยลดลงเรื่อยๆ ตามกาลเวลาเนื่องจากยอดเงินต้นคงค้างลดลง

4. ตารางการผ่อนชำระเงินกู้ (The Loan Schedule)

ตารางการผ่อนชำระเงินกู้ (หรือตารางการตัดจำหน่ายหนี้สิน - amortization table) จะแสดงการเปลี่ยนแปลงของเงินกู้ในแต่ละช่วงเวลา สำหรับผู้เข้าสอบ CM1B ในโปรแกรม Microsoft Excel น้องๆ จะต้องสร้างตารางเหล่านี้ขึ้นมาบ่อยครั้ง ส่วนผู้เข้าสอบ CM1A ในโปรแกรม Microsoft Word ก็อาจเจอโจทย์ที่ให้คำนวณแถวใดแถวหนึ่งโดยเฉพาะ หรือให้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขในตาราง

โครงสร้างของตารางการผ่อนชำระเงินกู้แบบค่างวดเท่ากัน

ปีที่ $t$	ยอดคงค้างต้นงวด $L_{t-1}$	ค่างวดรวม $X_t$	ดอกเบี้ยจ่าย $I_t = i \cdot L_{t-1}$	เงินต้นที่ชำระคืน $C_t = X_t - I_t$	ยอดคงค้างปลายงวด $L_t = L_{t-1} - C_t$
$1$	$X a_{\overline{n}\|}$	$X$	$X (1 - v^n)$	$X v^n$	$X a_{\overline{n-1}\|}$
$2$	$X a_{\overline{n-1}\|}$	$X$	$X (1 - v^{n-1})$	$X v^{n-1}$	$X a_{\overline{n-2}\|}$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$t$	$X a_{\overline{n-t+1}\|}$	$X$	$X (1 - v^{n-t+1})$	$X v^{n-t+1}$	$X a_{\overline{n-t}\|}$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$n$	$X a_{\overline{1}\|}$	$X$	$X (1 - v)$	$X v$	$0$
รวม	—	$n \cdot X$	$n X - L$	$L$	—

จุดตรวจสอบที่มีประโยชน์: ผลรวมของเงินต้นที่ชำระคืนทั้งหมด จะต้องเท่ากับจำนวนเงินกู้ก้อนแรกเริ่มเสมอ:

$\sum_{t=1}^n C_t = \sum_{t=1}^n X v^{n - t + 1} = X (v^n + v^{n-1} + \dots + v) = X a_{\overline{n}|} = L$

และดอกเบี้ยรวมทั้งหมดที่จ่ายตลอดอายุสัญญากู้ยืม ก็คือ:

$\sum_{t=1}^n I_t = \sum_{t=1}^n X_t - \sum_{t=1}^n C_t = n X - L$

5. ตัวอย่างการคำนวณทีละขั้นตอน: การคำนวณองค์ประกอบและยอดหนี้คงค้าง

ผู้กู้รายหนึ่งกู้เงินจำนวน \$10,000 โดยตกลงผ่อนชำระคืนเป็นรายปีเท่ากัน 5 งวด ณ สิ้นงวด ด้วยอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี $6\%$

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณค่างวดรายปีที่เท่ากัน $X$

$a_{\overline{5}|} = \frac{1 - (1.06)^{-5}}{0.06} = \frac{1 - 0.747258}{0.06} = 4.212364$

$X = \frac{10000}{4.212364} = 2373.96$

ขั้นตอนที่ 2: หาองค์ประกอบในงวดปีที่ 1

$I_1 = 0.06 \times 10000 = 600.00$

$C_1 = X - I_1 = 2373.96 - 600.00 = 1773.96$

$L_1 = 10000 - 1773.96 = 8226.04$

ขั้นตอนที่ 3: หาองค์ประกอบในงวดปีที่ 3 โดยตรง

แทนที่จะต้องมานั่งไล่คิดคำนวณปีที่ 2 เราสามารถใช้สูตรมาตรฐานหาคำตอบได้โดยตรงทันที:

$C_3 = X v^{5 - 3 + 1} = X v^3 = 2373.96 \times (1.06)^{-3} = 2373.96 \times 0.839619 = 1993.22$

$I_3 = X - C_3 = 2373.96 - 1993.22 = 380.74$

ตรวจสอบความถูกต้องด้วยยอดหนี้คงค้างแบบมองไปข้างหน้า ณ เวลา $t = 2$:

$L_2 = X a_{\overline{3}|} = 2373.96 \times \frac{1 - (1.06)^{-3}}{0.06} = 2373.96 \times 2.673012 = 6345.62$

$I_3 = 0.06 \times L_2 = 0.06 \times 6345.62 = 380.74$ (ตรงกันเป๊ะ!)

6. อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริง: APR (Annual Percentage Rate)

APR คืออะไร?

ผู้ให้กู้มักจะโฆษณาอัตราดอกเบี้ยตัวเลขเด่นๆ (headline rates) ที่ไม่ได้สะท้อนถึงต้นทุนทางเศรษฐศาสตร์ที่แท้จริงของผู้กู้ เนื่องจากยังมีค่าธรรมเนียมการจัดการแรกเข้าที่ถูกบังคับจ่าย ค่าประเมินราคาหลักทรัพย์ ค่าดำเนินการ หรือเรื่องของความถี่ในการทบต้นดอกเบี้ย เพื่อปกป้องผู้บริโภคและสร้างมาตรฐานกลางในการเปรียบเทียบ กฎหมายจึงกำหนดให้ผู้ให้กู้ต้องระบุ APR (Annual Percentage Rate) หรืออัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี

ในทางคณิตศาสตร์ประกันภัย APR นิยามว่าเป็น อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี ที่ทำให้จำนวนเงินสุทธิที่ผู้กู้ได้รับ เท่ากับมูลค่าปัจจุบันของค่างวดที่ต้องชำระและค่าใช้จ่ายบังคับทั้งหมดที่ผู้กู้ต้องจ่ายไป

สมการแห่งมูลค่าสำหรับ APR

หากผู้กู้ทำสัญญากู้เงินตามมูลหนี้ $L$ แต่ต้องจ่ายค่าธรรมเนียมแรกเข้า $E_0$ และต่อมาต้องจ่ายค่างวด $X_t$ ควบคู่ไปกับค่าธรรมเนียมหรือค่าบริการรายงวด $e_t$ ณ เวลา $t$ ต่างๆ อัตรา APR ก็คืออัตรา $i$ หนึ่งเดียวที่สอดคล้องกับสมการ:

$L - E_0 = \sum_{t} (X_t + e_t)(1 + i)^{-t}$

หรือมองในอีกมุมหนึ่งได้ว่า:

$\text{เงินสุทธิที่ได้รับจริง ณ } t = 0 = \text{มูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดที่ผู้กู้จ่ายออกไปทั้งหมดคิดลดด้วย APR}$

ข้อสังเกตที่สำคัญมาก: เนื่องจากค่าธรรมเนียมต่างๆ จะเข้าไปลดเงินกู้สุทธิที่ได้รับจริงในวันแรก อัตรา APR จึงมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับอัตราดอกเบี้ยที่ระบุตามสัญญา (nominal/contractual rate) เสมอ

กับดักยอดฮิต: อัตราดอกเบี้ยคงที่แบบแบนราบ (Flat Rates) ปะทะ APR

ลูกเล่นสุดคลาสสิกของสินเชื่อเพื่อผู้บริโภคในตลาดการเงินคือการแจ้ง "อัตราดอกเบี้ยแบบคงที่ (flat interest rate)"

ตัวอย่าง: ผู้ให้กู้เสนอเงินกู้จำนวน \$1,000 เป็นเวลา 1 ปี โดยระบุว่า "คิดดอกเบี้ยอัตราคงที่เพียง $10\%$ ต่อปี ผ่อนชำระ 12 งวดเท่าๆ กันทุกเดือน"

ดอกเบี้ยรวมที่คิดคือ $10\% \times 1000 = \$100$ ยอดรวมที่ต้องชำระคืนทั้งหมด = \$1,100 ซึ่งคิดเป็นค่างวดต่อเดือนเท่ากับ:

$\frac{1100}{12} = 91.67$

ถามว่าอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริง (APR) คือ $10\%$ ใช่หรือไม่? ไม่ใช่เลย! เพราะผู้กู้ไม่ได้ถือครองเงินเต็มจำนวน \$1,000 ตลอดทั้งปี เงินต้นกำลังทยอยถูกจ่ายคืนไปในทุกๆ เดือน สมการแห่งมูลค่าสำหรับหาอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อเดือน $j$ คือ:

$1000 = 91.67 a_{\overline{12}|j}$

เมื่อแก้สมการนี้ จะได้ $j \approx 1.498\%$ ต่อเดือน ซึ่งคิดเป็นอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี (APR) คือ:

$\text{APR} = (1 + j)^{12} - 1 \approx (1.01498)^{12} - 1 \approx 19.5\%$

จะเห็นได้ว่าอัตรา APR สูงเกือบเป็นสองเท่าของอัตราดอกเบี้ยคงที่แบบ flat rate เลยทีเดียว! พึงระลึกไว้เสมอว่า: เมื่อใดก็ตามที่การผ่อนชำระช่วยลดยอดเงินต้นคงค้างลงตามเวลา อัตรา APR ที่แท้จริงจะสูงกว่า flat rate อย่างมีนัยสำคัญเสมอ

7. การรับมือกับการเปลี่ยนแปลงเงื่อนไขของเงินกู้ (อัตราดอกเบี้ยและการจ่ายคืนพิเศษ)

ในข้อสอบคณิตศาสตร์ประกันภัย โจทย์มักจะทดสอบความยืดหยุ่นในการปรับตัวคำนวณเมื่อเงื่อนไขของสัญญากู้ยืมเงินเกิดการเปลี่ยนแปลงขึ้นกลางคัน

กรณีอัตราดอกเบี้ยเปลี่ยนแปลง

สมมติว่าอัตราดอกเบี้ยเปลี่ยนจาก $i$ เป็น $i'$ ณ เวลา $k$:

1. คำนวณยอดหนี้คงค้าง $L_k$ ทันทีหลังจากการชำระเงิน ณ เวลา $k$ โดยใช้อัตราดอกเบี้ย เดิม $i$:

$L_k = X a_{\overline{n-k}|i}$

2. หาค่างวดผ่อนชำระใหม่ $X'$ สำหรับช่วงเวลาที่เหลืออีก $n - k$ งวด ด้วยอัตราดอกเบี้ย ใหม่ $i'$:

$L_k = X' a_{\overline{n-k}|i'} \implies X' = \frac{L_k}{a_{\overline{n-k}|i'}}$

3. แต่หากเงื่อนไขระบุว่าต้องการคงค่างวดไว้เท่าเดิมที่ $X$ ให้คำนวณหาระยะเวลาใหม่ $m$ ที่จะต้องใช้ในการผ่อนชำระยอดหนี้ที่เหลือให้หมดสิ้น:

$L_k = X a_{\overline{m}|i'}$

การชำระคืนเงินต้นล่วงหน้า (Early Capital Repayment)

หากผู้กู้จ่ายเงินก้อนพิเศษโปะเงินต้นเพิ่มเติมเป็นจำนวน $C^*$ ณ เวลา $k$:

ยอดหนี้คงค้างใหม่จะกลายเป็น $L_k' = L_k - C^*$ ซึ่งผู้กู้สามารถเลือกดำเนินการได้ 2 ทาง:

• ขอลดค่างวดในอนาคต: คงระยะเวลาที่เหลือตามสัญญาเดิม $n - k$ เอาไว้ แล้วแก้สมการหาค่างวดใหม่จาก $L_k' = X_{\text{new}} a_{\overline{n-k}|}$

• ขอลดระยะเวลาการผ่อนชำระ: คงค่างวดไว้ที่ $X$ เท่าเดิม แล้วแก้สมการหาจำนวนงวดที่เหลือ $m$ ที่ลดลงจาก $L_k' = X a_{\overline{m}|}$

8. สรุปสูตรสำคัญที่ต้องรู้

หัวข้อ	สูตรคำนวณ
สมการแห่งมูลค่า (รายปี)	$L = X a_{\overline{n}\|i}$
สมการแห่งมูลค่า (ปีละ $p$ ครั้ง)	$L = X a_{\overline{n}\|i}^{(p)}$
ยอดหนี้คงค้างวิธีมองไปข้างหน้า (Prospective)	$L_t = X a_{\overline{n-t}\|i}$
ยอดหนี้คงค้างวิธีมองย้อนหลัง (Retrospective)	$L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}\|i}$
ส่วนของดอกเบี้ย ณ เวลา $t$	$I_t = i \cdot L_{t-1} = X(1 - v^{n-t+1})$
ส่วนของเงินต้น ณ เวลา $t$	$C_t = X_t - I_t = X v^{n-t+1}$
ความสัมพันธ์การเติบโตของส่วนเงินต้น	$C_{t+1} = C_t(1 + i)$
สมการแห่งมูลค่าสำหรับหา APR	$L - \text{Initial Fees} = \sum (\text{Instalments} + \text{Expenses}) \cdot (1 + \text{APR})^{-t}$

เช็กเร็ว

ตอนนี้ตอบได้ไหม?

เปิดแต่ละคำถามเพื่อตรวจว่าคุณเข้าใจประเด็นสำคัญของบทนี้แล้วหรือยัง

สมการแห่งมูลค่าสำหรับเงินกู้ที่มีการผ่อนชำระเท่ากันทุกงวดรายปีเขียนได้อย่างไร?

\[L = X a_{\overline{n}|i}\] โดยที่ $L$ คือเงินกู้แรกเริ่ม, $X$ คือค่างวดรายปี, และ $a_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{i}$

หากมีการผ่อนชำระเงินกู้ปีละ $p$ ครั้ง งวดละเท่ากัน สมการแห่งมูลค่าจะมีความสัมพันธ์อย่างไร?

\[L = X a_{\overline{n}|}^{(p)} = X \frac{1 - v^n}{i^{(p)}}\] โดยที่ $X$ คือยอดชำระรวมต่อปี และผ่อนชำระครั้งละ $\frac{X}{p}$

ยอดหนี้เงินกู้คงค้างโดยวิธีมองไปข้างหน้า (Prospective Loan Balance) คำนวณได้อย่างไร?

\[L_t = X a_{\overline{n - t}|}\] ซึ่งเท่ากับมูลค่าปัจจุบัน ณ เวลา $t$ ของค่างวดทั้งหมดในอนาคตที่ยังเหลืออยู่

ยอดหนี้เงินกู้คงค้างโดยวิธีมองย้อนหลัง (Retrospective Loan Balance) คำนวณได้อย่างไร?

\[L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}|}\] ซึ่งเท่ากับมูลค่าสะสมของเงินกู้ก้อนแรกเริ่ม หักด้วยมูลค่าสะสมของค่างวดที่ชำระไปแล้ว

องค์ประกอบของค่างวด $X_t$ สามารถแยกออกเป็นส่วนใดบ้าง และคำนวณอย่างไร?

\[X_t = I_t + C_t\] โดยดอกเบี้ยจ่ายคือ $I_t = i \cdot L_{t-1}$ และส่วนเงินต้นที่ชำระคืนคือ $C_t = X_t - I_t$

สำหรับเงินกู้แบบผ่อนชำระเท่ากันทุกงวด ส่วนของการชำระคืนเงินต้น $C_t$ และดอกเบี้ย $I_t$ มีสูตรพีชคณิตสำเร็จรูปอย่างไร?

\[C_t = X v^{n - t + 1}\] และ \[I_t = X (1 - v^{n - t + 1})\]

ผลรวมของเงินต้นที่ชำระคืนทั้งหมด ($\sum C_t$) และดอกเบี้ยรวมทั้งหมด ($\sum I_t$) ตลอดอายุสัญญาเงินกู้มีค่าเท่าใด?

\[\sum_{t=1}^n C_t = L\] และ \[\sum_{t=1}^n I_t = nX - L\]

อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงต่อปี (APR) คืออะไร และตั้งสมการแห่งมูลค่าอย่างไร?

APR คืออัตราดอกเบี้ยลดค่าที่แท้จริงที่ทำให้: \[L - E_0 = \sum_{t} (X_t + e_t)(1 + \text{APR})^{-t}\]

เหตุใดอัตราดอกเบี้ยแบบคงที่ (Flat Rate) จึงให้ต้นทุนดอกเบี้ยที่แท้จริง (APR) ที่สูงกว่าอัตราที่ระบุไว้เกือบเท่าตัว?

เพราะ Flat Rate คิดดอกเบี้ยจากยอดกู้เต็มจำนวนตลอดอายุสัญญา แม้ว่าผู้กู้จะทยอยผ่อนชำระคืนเงินต้นไปเรื่อยๆ ในทุกงวดแล้วก็ตาม

เมื่ออัตราดอกเบี้ยของเงินกู้เปลี่ยนแปลงกลางคัน ณ เวลา $k$ มีขั้นตอนการคำนวณค่างวดใหม่อย่างไร?

1. หายอดหนี้คงค้าง $L_k = X a_{\overline{n-k}|i}$ ด้วยดอกเบี้ยเดิม $i$
2. หาค่างวดใหม่จาก $X' = \frac{L_k}{a_{\overline{n-k}|i'}}$ ด้วยดอกเบี้ยใหม่ $i'$

เมื่อผู้กู้ชำระคืนเงินต้นล่วงหน้าพิเศษ (Early Capital Repayment) $C^*$ ณ เวลา $k$ จะส่งผลต่อสัญญาเงินกู้อย่างไร?

ยอดหนี้จะลดลงเหลือ $L_k' = L_k - C^*$ โดยสามารถเลือกที่จะ ลดค่างวด (คงเวลาที่เหลือ) หรือ ลดระยะเวลาผ่อน (คงค่างวดเดิม)

พร้อมทดสอบตัวเองหรือยัง?

เปลี่ยนบันทึกเหล่านี้เป็นข้อสอบจริง รับข้อสอบ AI ไม่จำกัด ตรวจให้ทันทีพร้อมคำอธิบาย

ฝึกทำหัวข้อนี้

บทอื่น ๆ ของCM1 – Actuarial Mathematics for Modelling

* เนื้อหาของ thinka สร้างโดย AI อาจไม่ถูกต้องสมบูรณ์ในทุกกรณี กรุณาใช้เป็นสื่อเสริมและตรวจสอบกับเอกสารอ้างอิงอย่างเป็นทางการ

นำสิ่งที่เรียนมาฝึกจริง

อย่าแค่อ่าน ลองฝึกทำข้อสอบ AI ไม่จำกัด พร้อมรับฟีดแบ็กทันที นักเรียนกว่า 100,000 คนเห็นผลลัพธ์จริง

เริ่มทำข้อสอบฟรี ดูราคา

อ่านจบแล้ว? ลองทำข้อสอบ AI เลย

ฝึกทำหัวข้อนี้เลย

ปีที่ \(t\)	ยอดคงค้างต้นงวด \(L_{t-1}\)	ค่างวดรวม \(X_t\)	ดอกเบี้ยจ่าย \(I_t = i \cdot L_{t-1}\)	เงินต้นที่ชำระคืน \(C_t = X_t - I_t\)	ยอดคงค้างปลายงวด \(L_t = L_{t-1} - C_t\)
\(1\)	\(X a_{\overline{n}\|}\)	\(X\)	\(X (1 - v^n)\)	\(X v^n\)	\(X a_{\overline{n-1}\|}\)
\(2\)	\(X a_{\overline{n-1}\|}\)	\(X\)	\(X (1 - v^{n-1})\)	\(X v^{n-1}\)	\(X a_{\overline{n-2}\|}\)
\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)
\(t\)	\(X a_{\overline{n-t+1}\|}\)	\(X\)	\(X (1 - v^{n-t+1})\)	\(X v^{n-t+1}\)	\(X a_{\overline{n-t}\|}\)
\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)
\(n\)	\(X a_{\overline{1}\|}\)	\(X\)	\(X (1 - v)\)	\(X v\)	\(0\)
รวม	—	\(n \cdot X\)	\(n X - L\)	\(L\)	—

หัวข้อ	สูตรคำนวณ
สมการแห่งมูลค่า (รายปี)	\(L = X a_{\overline{n}\|i}\)
สมการแห่งมูลค่า (ปีละ \(p\) ครั้ง)	\(L = X a_{\overline{n}\|i}^{(p)}\)
ยอดหนี้คงค้างวิธีมองไปข้างหน้า (Prospective)	\(L_t = X a_{\overline{n-t}\|i}\)
ยอดหนี้คงค้างวิธีมองย้อนหลัง (Retrospective)	\(L_t = L(1 + i)^t - X s_{\overline{t}\|i}\)
ส่วนของดอกเบี้ย ณ เวลา \(t\)	\(I_t = i \cdot L_{t-1} = X(1 - v^{n-t+1})\)
ส่วนของเงินต้น ณ เวลา \(t\)	\(C_t = X_t - I_t = X v^{n-t+1}\)
ความสัมพันธ์การเติบโตของส่วนเงินต้น	\(C_{t+1} = C_t(1 + i)\)
สมการแห่งมูลค่าสำหรับหา APR	\(L - \text{Initial Fees} = \sum (\text{Instalments} + \text{Expenses}) \cdot (1 + \text{APR})^{-t}\)