函數的求導法：练习题

求曲線 \(y = 2x + \ln(x-1)\) 在 \(x=2\) 處的法線方程。

設 \(f(x) = a e^x + b e^{-2x}\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 為常數。若已知 \(f(0) = 5\) 且 \(f'(0) = 4\)，求 \(a\) 和 \(b\) 的值。

求函數 \(y = x^2 e^{3x}\) 對 \(x\) 的導數。

一個圓錐形水缸，高為 \(10 \text{ cm}\)，頂部半徑為 \(5 \text{ cm}\)。水以恆定速率 \(2 \text{ cm}^3/\text{s}\) 注入水缸中。當水深為 \(4 \text{ cm}\) 時，水的深度上升的速率是多少？
（圓錐體的體積公式為 \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)）

已知 \(y = e^{2x} \ln(x)\)，求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

求函數 $$f(x) = 5x^3 - 2x + 7$$ 的導數。

設 \( y = 5e^x + \log_{10} x \)，求 \( \frac{dy}{dx} \)。

已知 \( y = \ln(x^2 e^x) \)，求 \( \frac{dy}{dx} \)。

考慮函數 \( f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 3} \)。

(a) 利用商法則，求 \( f'(x) \)。

(b) 求曲線 \( y = f(x) \) 在 \( x = 1 \) 處的切線斜率。

設曲線 \( C \) 的方程為 \( y = (x^2 - 4) e^{2x} \)。

(a) 求 \( \frac{dy}{dx} \)。

(b) 求 \( C \) 的所有駐點的 \( x \) 坐標。

(c) 求 \( \frac{d^2y}{dx^2} \)，並藉此判斷 (b) 部中各駐點是局部極大值還是局部極小值。