第三及第四章：函数的微分
欢迎来到微分的世界！
您好！准备好深入学习数学中最有力的概念之一了吗？这一章节会完全讲解微分。请不要被这个大名词吓到！归根结底，微分其实就是找出“变化率”的过程。
有没有想过...
- 如何找出汽车在某一瞬间的确切速度，而不仅仅是平均速度？
- 公司如何找到利润达到最大值的点？
- 过山车轨道上最陡峭的地方在哪里？
微分能帮助我们解答所有这些问题，甚至更多！它是一个工具，让我们能分析事物如何在瞬间变化。让我们先从微分的基石——极限的概念——开始说起。
第一部分：极限的概念——无限趋近
什么是极限？
想象一下你正在走向一面墙。每次你都走剩下距离的一半。你越来越接近，无限地接近，但你永远不会真正碰到它。墙壁的位置就是你的极限。
在数学中，极限是当输入（通常是 \(x\)）越来越接近某个数时，函数“趋近”的值。
我们这样写：\( \lim_{x \to c} f(x) = L \)
这读作：“当 \(x\) 趋近于 \(c\) 时，函数 \(f(x)\) 的极限是 \(L\)。”
求极限（简单方法）
对于你在 M1 会看到的大多数函数，求极限都非常简单：只需将 \(x\) 趋近的值代入函数即可。
例子一：求 \( \lim_{x \to 3} (2x^2 - 5) \)
直接代入 \(x = 3\)：\( 2(3)^2 - 5 = 2(9) - 5 = 18 - 5 = 13 \)
所以，极限是 \(13\)。很简单！
例子二：那么分数函数该怎么办？求 \( \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x+3} \)
同样地，直接代入 \(x = 1\)：\( \frac{1+1}{1+3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
小心！有时候，直接代入会得到 \( \frac{0}{0} \)，这是不确定的。这可能代表你需要先简化算式！
例子三：求 \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)
如果我们代入 \(x = 2\)，我们会得到 \( \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0} \)。这是不行的！
让我们试试把分子因式分解：\( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \)
那么，我们的极限就变成：\( \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} \)
我们可以消去 \( (x-2) \) 项：\( \lim_{x \to 2} (x+2) \)
现在，我们可以代入 \(x = 2\)：\( 2 + 2 = 4 \)。极限就是 \(4\)！
极限的重点摘要
极限是函数所趋近的值。要找出它，首先尝试代入 \(x\) 的值。如果你得到 \( \frac{0}{0} \)，就尝试简化表达式（例如，透过因式分解），然后再代入。
第二部分：导数——揭示斜率
什么是导数？（核心概念）
函数在某一点的导数，给出了该点的切线斜率。切线是一条只“触碰”曲线上一点的直线。
这样想吧：
- 平均速度是你旅程中连接时间上两点的直线斜率。
- 瞬时速度（你在某一精确时刻的速度）是该单一时间点上切线的斜率。
导数给予我们这种瞬时变化率。
导数的记法——不同的称呼
求导数的过程称为“微分”。要写出“函数 \(y = f(x)\) 的导数”，有几种常见的写法：
- \( f'(x) \) （读作“f prime of x”）
- \( \frac{dy}{dx} \) （读作“dee y by dee x”）
- \( y' \) （读作“y prime”）
它们的意思完全一样！
导数就是切线的斜率
这是最重要的概念。如果你有一条曲线 \( y = f(x) \)，它的导数 \( f'(x) \) 是一个新函数，它会告诉你在任何 \(x\) 值下的斜率。
要找出特定点（例如 \( x = x_0 \)）的斜率，我们计算导数，然后把 \( x_0 \) 代入。我们这样写：
\( f'(x_0) \quad \text{或} \quad \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=x_0} \)
例如，如果我们发现 \( f(x) = x^2 \) 的导数是 \( f'(x) = 2x \)，那么在 \(x = 3\) 处曲线的切线斜率就是 \( f'(3) = 2(3) = 6 \)。
香港文凭试重要提示：导数的严格定义用到极限，称为“从基本原理求导”。你可能会看到这个公式：\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)。你需要认出这个公式代表导数。但是，考试不会要求你用这个公式来计算导数。我们有更简单的法则，接下来就会讲到！
导数概念的重点摘要
导数是一个函数，它给你曲线上任何一点的切线斜率。它代表了瞬时变化率。
第三部分：微分法则——你的微积分工具箱
别担心，你不需要用到那个可怕的极限公式！我们有一套简单的法则来找出导数。让我们来建立我们的工具箱吧。
法则一：常数法则
任何常数的导数都是零。
\( \frac{d}{dx}(C) = 0 \quad (\text{where } C \text{ is any constant}) \)
类比：\(y = 5\) 的图像是一条平坦的水平线。它的斜率是多少？零！永远都是。
例子：\( \frac{d}{dx}(7) = 0 \)，\( \frac{d}{dx}(-100) = 0 \)
法则二：幂次法则（你最好的朋友！）
这是你最常用的法则。要微分 \( x^n \)：
\( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
记忆方法：“将指数提到前面，然后指数减一。”
例子一：\( f(x) = x^4 \)
\( f'(x) = 4x^{4-1} = 4x^3 \)
例子二（涉及根号和分数）：微分 \( y = \sqrt{x} \)
首先，把根号改写成次方：\( y = x^{1/2} \)
现在使用幂次法则：\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
法则三：和／差法则
要微分相加或相减的函数，只需分别微分每个部分。
\( \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \)
例子：找出 \( y = x^3 + 5x^2 - 7x + 2 \) 的导数
逐项微分：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(5x^2) - \frac{d}{dx}(7x) + \frac{d}{dx}(2) \)
\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 5(2x) - 7(1) + 0 \)
\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 10x - 7 \)
法则四：积法则（请小心！）
当你有两个函数相乘时使用，例如 \( f(x) \cdot g(x) \)。我们称它们为 \(u\) 和 \(v\)。
\( \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \quad \text{或} \quad (uv)' = u'v + uv' \)
记忆方法：“第一个乘以第二个的导数，加上第二个乘以第一个的导数。”
常见错误提示！积的导数不等于导数的积！\( (uv)' \neq u'v' \)。
例子：找出 \( y = x^2(x+1) \) 的导数
设 \( u = x^2 \) 及 \( v = x+1 \)。
那么 \( u' = 2x \) 及 \( v' = 1 \)。
使用法则 \( (uv)' = uv' + vu' \)：
\( \frac{dy}{dx} = (x^2)(1) + (x+1)(2x) = x^2 + 2x^2 + 2x = 3x^2 + 2x \)
法则五：商法则（较为复杂的一个）
当你有一个函数除以另一个函数时使用。我们称它们为 \(u\)（分子）和 \(v\)（分母）。
\( \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \quad \text{或} \quad \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
记忆方法：一个流行的口诀是“分母乘以分子之导数，减去分子乘以分母之导数，再除以分母的平方”。（此处“下”指分母函数，“上”指分子函数，“导”指导数。）
常见错误提示！分子中的顺序很重要，因为有减号！确保是 \( u'v \)（或 \( v u' \)）在前面。
例子：找出 \( y = \frac{x}{x^2+1} \) 的导数
设 \( u = x \)（分子）及 \( v = x^2+1 \)（分母）。
那么 \( u' = 1 \) 及 \( v' = 2x \)。
使用法则 \( \frac{u'v - uv'}{v^2} \)：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(1)(x^2+1) - (x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \)
法则六：链式法则（函数中的函数）
用于复合函数，就像一个函数嵌套在另一个函数里面。想象一下俄罗斯套娃。
如果 \( y = f(g(x)) \)，它的导数是：\( \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
逐步方法：
1. 微分外层函数，内层函数保持不变。
2. 将你的结果乘以内层函数的导数。
例子：找出 \( y = (x^2+5)^3 \) 的导数
外层函数是某物的三次方：\( (\text{...})^3 \)。
内层函数是 \( x^2+5 \)。
1. 微分外层部分（使用幂次法则）：\( 3(\text{...})^2 \) 变成 \( 3(x^2+5)^2 \)。
2. 内层部分（\( x^2+5 \)）的导数是 \( 2x \)。
3. 将它们相乘：\( \frac{dy}{dx} = 3(x^2+5)^2 \cdot (2x) = 6x(x^2+5)^2 \)
微分法则的重点摘要
这个工具箱是你成功的关键。
- 幂次法则： \( (x^n)' = nx^{n-1} \)
- 积法则： \( (uv)' = u'v + uv' \)
- 商法则： \( (u/v)' = (u'v - uv')/v^2 \)
- 链式法则： 微分外层，然后乘以内层的导数。
第四部分：指数函数与对数函数的微分
一些特殊函数有非常简洁的导数。你需要把这些记住！
最简单的导数：\( e^x \)
函数 \( e^x \) 的导数就是它自己。就是这么简单！
\( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)
你知道吗？数字 \(e\)（约等于 \(2.718\)）之所以特别，是因为函数 \( y = e^x \) 在每一个点的斜率都等于它的 y 值！这就是为什么它在增长和衰退模型中是如此基础和重要。
自然对数：\( \ln x \)
自然对数的导数是 \( 1/x \)。
\( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \)
其他底数：\( a^x \) 和 \( \log_a x \)
如果底数不是 \(e\)，该怎么办？它们只是轻微的变体。
\( \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \)
（注意，如果 \(a = e\)，\(\ln e = 1\)，所以你只是得到了 \( e^x \)）
\( \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \)
（注意，如果 \(a = e\)，\(\ln e = 1\)，所以你只是得到了 \( 1/x \)）
结合链式法则
很多时候，你需要将链式法则与这些函数结合使用。
例子一：微分 \( y = e^{5x} \)
外层函数：\( e^{(\text{...})} \)。内层函数：\( 5x \)。
外层导数：\( e^{5x} \)。
内层导数：\(5\)。
结果：\( \frac{dy}{dx} = e^{5x} \cdot 5 = 5e^{5x} \)
例子二：微分 \( y = \ln(x^2+1) \)
外层函数：\( \ln(\text{...}) \)。内层函数：\( x^2+1 \)。
外层导数：\( \frac{1}{\text{...}} \)，即是 \( \frac{1}{x^2+1} \)。
内层导数：\( 2x \)。
结果：\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1} \)
特殊函数的重点摘要
记住这四个重要的公式：
1. \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)
2. \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \)
3. \( \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \)
4. \( \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \)
第五部分：再次微分——二阶导数
什么是二阶导数？
二阶导数顾名思义：它是第一阶导数的导数。你只需要微分两次！
类比：
- 如果 \( f(x) \) 是你的位置...
- 那么 \( f'(x) \) 就是你的速度（位置的变化率）。
- 而 \( f''(x) \) 就是你的加速度（速度的变化率）。
在 M1 中，我们使用二阶导数来了解更多关于图形形状（例如凹凸性），这将在后续的应用中学到。
二阶导数的记法
就像第一阶导数一样，二阶导数也有几种写法：
- \( f''(x) \) （读作“f double-prime of x”）
- \( y'' \) （读作“y double-prime”）
- \( \frac{d^2y}{dx^2} \) （读作“dee two y by dee x squared”）
如何找出它
这是一个简单的两步过程：
1. 找出第一阶导数，\( f'(x) \)。
2. 现在，将你的结果 \( f'(x) \) 再次微分，以得到第二阶导数 \( f''(x) \)。
例子：找出 \( f(x) = x^4 - 3x^2 + 8 \) 的二阶导数
第一步：找出第一阶导数。
\( f'(x) = 4x^3 - 6x \)
第二步：微分第一阶导数。
\( f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 6x) = 12x^2 - 6 \)
就这么简单！二阶导数是 \( 12x^2 - 6 \)。
香港文凭试重点：你只需要懂得找出第一阶和第二阶导数。第三阶及更高阶的导数不属于课程范围。因此，只需求到二阶导数即可！
二阶导数的重点摘要
二阶导数是“导数的导数”。要找出它，只需将你的微分法则应用两次。它能给我们关于函数的更深层次信息，例如它的加速度或弯曲程度。