M1 微积分：微分应用复习笔记
同学们好！欢迎来到微积分最重要、最刺激的课题之一。您是否曾想过，商家如何找出最佳定价以实现利润最大化？或者工程师如何设计出用料最少但容积最大的容器？答案就是微分！
在本课题中，我们将看到导数（您已知道它是函数的斜率）远不止一个数字那么简单。它是一个工具，能帮助我们理解事物如何变化、找出最高点和最低点，并解决现实世界的问题。内容听起来或许复杂，但请勿担心，我们将逐步解析。让我们一同深入学习！
第一节：曲线的几何特性 —— 切线
您还记得学习导数的第一件事吗？函数在某一点的导数，就是该点切线的斜率。切线是指一条直线，它在某一点“接触”曲线，而不会穿过曲线（至少在那一点不会）。
如何找出切线的方程
找出切线方程是经典的考试题，只要依循步骤，即可轻易完成！一条直线，我们只需要两个要素：一个点和一个斜率。
让我们找出曲线 \(y = f(x)\) 在 \(x = a\) 处的切线方程。
1. 找出点 (a, f(a))：如果您只知道 x 值，将它代入原函数 \(f(x)\) 以获得 y 值。这样您的点就是 \((a, f(a))\)。
2. 找出斜率 (m)：斜率就是导数！首先，找出导函数 \(f'(x)\)。然后，将您的 x 值代入导数中以获得斜率：\(m = f'(a)\)。
3. 使用点斜式：现在您有了点 \((x_1, y_1) = (a, f(a))\) 和斜率 \(m\)。只需使用经典的直线方程公式：
\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
逐步示例：
找出曲线 \(f(x) = x^3 - 2x + 5\) 在 \(x = 2\) 处的切线方程。
步骤 1：找出点。
x 坐标是 \(x = 2\)。
y 坐标是 \(f(2) = (2)^3 - 2(2) + 5 = 8 - 4 + 5 = 9\)。
所以，我们的点是 (2, 9)。
步骤 2：找出斜率。
首先，找出导数：\(f'(x) = 3x^2 - 2\)。
现在，代入 \(x = 2\) 以获得斜率：\(m = f'(2) = 3(2)^2 - 2 = 3(4) - 2 = 10\)。
斜率是 10。
步骤 3：使用点斜式。
我们有 (2, 9) 点和斜率 \(m = 10\)。
\(y - 9 = 10(x - 2)\)
\(y - 9 = 10x - 20\)
\(y = 10x - 11\)
这就是我们的最终答案！您看，这就是一个三步骤的流程。
第一节重点提示：
导数 \(f'(a)\) 是在 \(x = a\) 处切线的斜率。要找出切线方程，您需要一个点和这个斜率。
第二节：变化的速度 —— 变化率
导数不仅告诉我们图像的斜率；它还告诉我们瞬时变化率。想象一下：您汽车一次旅程的平均速度是总距离除以总时间。但您里程表上任何时刻显示的数字，就是您的瞬时速度。导数就是任何变量变化的“里程表”！
符号 \(\frac{dy}{dx}\) 字面意思就是“y 对 x 的变化率”。如果变量是时间 \(t\)，那么 \(\frac{dy}{dt}\) 就表示“y 随时间变化的速度”。
现实世界例子：
• 如果 \(s(t)\) 是物体在时间 \(t\) 的位移（位置），那么 \(s'(t) = \frac{ds}{dt}\) 就是它的速度。
• 如果 \(v(t)\) 是物体在时间 \(t\) 的速度，那么 \(v'(t) = \frac{dv}{dt}\) 就是它的加速度。
• 如果 \(V(r)\) 是半径为 \(r\) 的球体体积，那么 \(\frac{dV}{dr}\) 告诉我们体积随半径微小变化而变化的幅度。
逐步示例：
球体的体积由 \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) 给出。当半径为 5 厘米时，求体积对半径的变化率。
步骤 1：明确要找出什么。
“体积对半径的变化率”意味着我们需要找出 \(\frac{dV}{dr}\)。
步骤 2：对函数求导。
函数是 \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)。记住 \(\frac{4}{3}\) 和 \(\pi\) 都只是常数。
\(\frac{dV}{dr} = \frac{4}{3}\pi \cdot (3r^2)\)
\(\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2\)
您知道吗？球体体积的变化率就是它的表面积！这是否令人惊讶？
步骤 3：代入给定的值。
我们需要找出当半径为 5 厘米时的变化率，所以我们代入 \(r = 5\)。
\(\left.\frac{dV}{dr}\right|_{r=5} = 4\pi (5)^2 = 4\pi(25) = 100\pi\)
所以，当半径为 5 厘米时，体积以 \(100\pi\) cm³/cm 的速率变化。
第二节重点提示：
导数衡量的是瞬时变化率。当您看到“A 对 B 的变化率”时，您应立即想到“找出 \(\frac{dA}{dB}\)”。
第三节：上坡、下坡和平坦点 —— 找出极大值和极小值
这就是微分成为优化超级工具的地方。我们可以用它来找出任何函数的山峰和山谷。
想象您沿着一条曲线从左到右行进：
• 当您向上坡行进时，斜率是正的，所以 \(f'(x) > 0\)。函数在递增。
• 当您向下坡行进时，斜率是负的，所以 \(f'(x) < 0\)。函数在递减。
• 当您到达山顶或谷底时，地面会暂时平坦。斜率为零，所以 \(f'(x) = 0\)。这些重要的点称为驻点。
驻点的类型
驻点（即 \(f'(x) = 0\) 的点）可以是：
1. 局部极大值：“山”的顶部。函数从递增转为递减。
2. 局部极小值：“谷”的底部。函数从递减转为递增。
3. 驻变曲点：一个平坦点，但它既不是山顶也不是谷底。函数会变平，然后沿着相同的方向继续。
一阶导数判别法
这个判别法帮助我们判断驻点的类型。这就像派遣侦察兵在平坦点前后探测斜率。
操作方法：
1. 找出使 \(f'(x) = 0\) 的 x 值。这些就是您的驻点。
2. 为 \(f'(x)\) 制作一个符号表。
3. 在每个区间（驻点之前、之间和之后）测试一个 \(x\) 值，看看 \(f'(x)\) 是正数 (+) 还是负数 (-)。
4. 分析每个驻点周围的符号：
• 符号从 + 变为 - (\(\nearrow \searrow\))：您有一个局部极大值。
• 符号从 - 变为 + (\(\searrow \nearrow\))：您有一个局部极小值。
• 符号没有改变（+ 变为 + 或 - 变为 -）：您有一个驻变曲点。
逐步示例：
找出并判断函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) 的驻点。
步骤 1：找出 \(f'(x)\) 并将其设为零。
\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)
\(3x^2 - 6x = 0\)
\(3x(x - 2) = 0\)
所以，驻点位于 \(x = 0\) 和 \(x = 2\)。
步骤 2：为 \(f'(x)\) 制作一个符号表。
我们测试区间 \(x < 0\)、\(0 < x < 2\) 和 \(x > 2\) 中的值。
• 测试 \(x = -1\)： \(f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9\) (正数)
• 测试 \(x = 1\)： \(f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3\) (负数)
• 测试 \(x = 3\)： \(f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9\) (正数)
符号表：
x \(x < 0\) \(x = 0\) \(0 < x < 2\) \(x = 2\) \(x > 2\)
\(f'(x)\) 的符号 + 0 - 0 +
形状 \(\nearrow\) (极大) \(\searrow\) (极小) \(\nearrow\)
步骤 3：总结并找出坐标。
在 \(x = 0\) 处，符号从 + 变为 -，所以它是局部极大值。该点是 \((0, f(0)) = (0, 1)\)。
在 \(x = 2\) 处，符号从 - 变为 +，所以它是局部极小值。该点是 \((2, f(2)) = (2, 8 - 12 + 1) = (2, -3)\)。
快速回顾框
递增函数： \(f'(x) > 0\) (斜率为正)
递减函数： \(f'(x) < 0\) (斜率为负)
驻点： \(f'(x) = 0\) (斜率为零)
第四节：曲线的形状 —— 凹凸性与二阶导数判别法
一阶导数告诉我们函数是上升还是下降。二阶导数，\(f''(x)\)，则告诉我们函数的形状或弯曲度。这称为凹凸性。
• 凹向上：曲线形状像一个“U”（能盛水）。斜率正在增加（例如，从 -2 到 -1 到 0 到 1）。这发生在 \(f''(x) > 0\) 时。
• 凹向下：曲线形状像一个“n”（会把水倒出来）。斜率正在减少（例如，从 2 到 1 到 0 到 -1）。这发生在 \(f''(x) < 0\) 时。
二阶导数判别法（一个方便的捷径！）
二阶导数判别法是一种判断驻点类型的更快方法，无需制作符号表。
操作方法：
1. 找出使 \(f'(x) = 0\) 的 x 值（您的驻点）。
2. 找出二阶导数 \(f''(x)\)。
3. 将每个驻点的 x 值代入 \(f''(x)\) 中：
• 如果 \(f''(x) > 0\)（正数），曲线凹向上（“U”形），所以您找到的是一个局部极小值。
• 如果 \(f''(x) < 0\)（负数），曲线凹向下（“n”形），所以您找到的是一个局部极大值。
• 如果 \(f''(x) = 0\)，则判别法无法判断。它失效了！您必须回去使用一阶导数判别法。
记忆法：
- \(f''(x)\) 是正数 --> 想想“加”号 --> 笑脸 :) --> 它是“极小值”。
- \(f''(x)\) 是负数 --> 想想“减”号 --> 愁眉苦脸 :( --> 它是“极大值”。
逐步示例（使用相同函数）：
使用二阶导数判别法判断函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) 的驻点类型。
步骤 1：找出驻点。
我们已经找到了：\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 0\) 在 \(x = 0\) 和 \(x = 2\) 处。
步骤 2：找出二阶导数。
\(f''(x) = 6x - 6\)
步骤 3：将每个点代入 \(f''(x)\) 中测试。
- 对于 \(x = 0\)： \(f''(0) = 6(0) - 6 = -6\)。这是负数，所以 \(x = 0\) 是一个局部极大值。
- 对于 \(x = 2\)： \(f''(2) = 6(2) - 6 = 6\)。这是正数，所以 \(x = 2\) 是一个局部极小值。
这与我们使用一阶导数判别法所得的结果相符，但速度快得多！
第四节重点提示：
\(f''(x)\) 描述凹凸性。二阶导数判别法是判断驻点类型的快捷方法：\(f''(x) > 0 \implies\) 极小值，\(f''(x) < 0 \implies\) 极大值。
第五节：融会贯通 —— 最值问题
这就是我们的最终目标！我们想找出函数的绝对最大或最小值。这可以是最大利润、最低成本、最大面积等情况。
局部极值与全局极值
• 局部极值（或相对极值）：这些是我们一直在寻找的局部山峰和山谷。如果一个点比紧邻其周围的所有点都高，那么它就是一个局部最大值。
• 全局极值（或绝对极值）：这是整个函数或特定区间内的绝对最高或最低点。
重要提示！在一个闭区间 \([a, b]\) 上的全局最大值或最小值可能发生在驻点，也可能发生在端点（\(x = a\) 或 \(x = b\)）。您总是必须检查端点！
解决最值问题的终极攻略：
1. 理解问题：仔细阅读。确定您想最大化或最小化的量（例如：面积、体积、成本）。
2. 列出方程：写出您优化量的公式（即“目标函数”）。您也可能有一个“限制条件”方程（例如：固定的周长）。使用限制条件将目标函数写成单变量的形式。
3. 求导数：对您的单变量目标函数求导。
4. 找出驻点：将导数设为零并求解。
5. 判别并证明：使用一阶或二阶导数判别法来确认您找到的是最大值还是最小值。
6. 检查端点：如果问题有闭区间（例如：“x 必须在 0 到 10 之间”），您还必须计算函数在端点的值。
7. 找出最终答案：比较驻点和端点的值。最大的就是全局最大值，最小的就是全局最小值。确保您回答了实际的问题！
逐步示例：
您有 40 米长的围栏可用于建造一个长方形花园。花园的最大可能面积是多少？
步骤 1：理解。我们要最大化面积。
步骤 2：方程。设长度为 \(L\)，宽度为 \(W\)。
- 目标函数（面积）：\(A = LW\)。
- 限制条件（周长）：\(2L + 2W = 40\)。
让我们将 \(A\) 用一个变量表示。从限制条件中，\(2L = 40 - 2W\)，所以 \(L = 20 - W\)。
将此代入面积公式：
\(A(W) = (20 - W)W = 20W - W^2\)
步骤 3：导数。
\(A'(W) = 20 - 2W\)
步骤 4：驻点。
\(20 - 2W = 0\)
\(2W = 20\)
\(W = 10\)
步骤 5：判别。我们使用二阶导数判别法。
\(A''(W) = -2\)
由于 \(A''(W)\) 总是 -2（为负数），我们的驻点 \(W = 10\) 必须是一个最大值。验证成功！
步骤 6：端点。宽度 \(W\) 必须大于 0，并且小于 20（否则 L 将是 0 或负数）。所以区间是 \((0, 20)\)。由于这是一个开区间，我们没有端点需要检查。我们的驻点是唯一的候选。
步骤 7：最终答案。问题要求的是最大面积，而不仅仅是宽度。
如果 \(W = 10\)，那么 \(L = 20 - 10 = 10\)。
最大面积 \(= L \times W = 10 \times 10 = 100\text{ m}^2\)。
最大可能面积是 100 平方米（这发生在花园是正方形时！）。
常见错误提醒：
• 忘记检查闭区间的端点。这是非常常见的失分点！
• 求出 \(x\) 的值后，忘记将其代回以找出实际的最大/最小值。
• 混淆一阶和二阶导数判别法。记住，\(f'(x) = 0\) 找出点，\(f''(x)\) 判断其类别。
第五节重点提示：
要找出区间上的全局最大/最小值，请找出函数在所有驻点以及端点处的值。最大/最小值就是您的答案。