定積分法及其應用

定积分及其应用

各位同学好！欢迎来到精彩的定积分世界。如果你曾经好奇如何找出弯曲图形的准确面积，或者如何计算变化的总累积量，那么你来对了地方。我们会一步步为你拆解。

在这个章节里，我们会学习如何计算准确的面积，了解定积分如何通过微积分基本定理与微分联系起来，探讨用于估算的梯形法则，并用它来解决现实世界的问题。

1. 什么是定积分？核心概念

面积问题

找出长方形（长度 × 宽度）或三角形（½ × 底 × 高）的面积很容易。但如果是曲线下方的面积呢？这可没有单一的初等几何公式！

切割法：矩形概念

核心思想很简单：让我们用熟悉的图形——矩形来估算面积！我们可以把曲线下方的面积切成许多薄薄的垂直矩形，然后把它们的面积加起来。

我们使用的矩形越多，它们越薄，我们的估算就越接近真实面积。定积分就代表当矩形数量趋近无限大，且宽度趋近零时，这个总和的极限。

定积分的符号

这整个过程由一个特殊符号表示：

\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx\)

• 积分符号 (\(\int\))：一个拉长的“S”字，代表“总和”（Sum）。
• 积分上下限 (\(a\) 和 \(b\))：\(a\) 是在 \(x\) 轴上的下限，而 \(b\) 是上限。
• 被积函数 (\(f(x)\))：曲线在每个 \(x\) 点的高度。
• \(dx\)：每个矩形微小的宽度。

重点：当 \(f(x) \ge 0\) 时，定积分 \(\int_{a}^{b} f(x) \,dx\) 代表由曲线 \(y = f(x)\)、\(x\) 轴以及垂直线 \(x = a\) 和 \(x = b\) 所围成的准确面积。

2. 神奇工具：微积分基本定理 (FTC)

微积分基本定理 (FTC) 将积分与微分联系起来。它提供了一种利用代数计算定积分的简单方法：

\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\)

其中 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的反导函数，意思是 \(F'(x) = f(x)\)。

逐步计算指南

让我们计算 \(\int_{1}^{3} 2x \,dx\)：

1. 找出反导函数：\(2x\) 的反导函数是 \(x^2\)（常数 \(+ C\) 在定积分中会被抵消：\((b^2+C) - (a^2+C) = b^2 - a^2\)）。
2. 代入上限 (\(b = 3\))：\(F(3) = 3^2 = 9\)。
3. 代入下限 (\(a = 1\))：\(F(1) = 1^2 = 1\)。
4. 相减：\(F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8\)。

常见错误提醒

永远记住是“上限结果减下限结果”：\(F(b) - F(a)\)，绝不能写成 \(F(a) - F(b)\)。

3. 定积分的性质

• 1. 交换上下限
\(\int_{b}^{a} f(x) \,dx = - \int_{a}^{b} f(x) \,dx\)

• 2. 相同上下限
\(\int_{a}^{a} f(x) \,dx = 0\)

• 3. 分割区间
\(\int_{a}^{c} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx\)

• 4. 常数倍
\(\int_{a}^{b} k f(x) \,dx = k \int_{a}^{b} f(x) \,dx\)

• 5. 和与差
\(\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx \pm \int_{a}^{b} g(x) \,dx\)

哑变量

积分变量只是一个哑变量（占位符）：\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(t) \,dt = \int_{a}^{b} f(u) \,du\)。

4. 积分方法：连同上下限的换元法

对定积分使用换元积分法时，务必将积分上下限由 \(x\) 转换为 \(u\)。

例子：计算 \(\int_{0}^{2} 2x(x^2 + 1)^3 \,dx\)

1. 设 \(u = x^2 + 1\)，则 \(du = 2x \,dx\)。
2. 改变上下限：当 \(x = 0\) 时，\(u = 0^2 + 1 = 1\)。当 \(x = 2\) 时，\(u = 2^2 + 1 = 5\)。
3. 改写并积分：\(\int_{1}^{5} u^3 \,du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{5} = \frac{5^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{625 - 1}{4} = 156\)。

5. 定积分的应用

求平面图形的面积

1. 曲线与 \(x\) 轴之间的面积：

• 若在 \([a, b]\) 上 \(f(x) \ge 0\)：\(\text{面积} = \int_{a}^{b} f(x) \,dx\)。
• 若在 \([a, b]\) 上 \(f(x) \le 0\)：\(\text{面积} = -\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \left| \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right|\)。
• 若曲线在 \(x = c\) 处穿越 \(x\) 轴，则需分割积分：\(\text{面积} = \int_{a}^{c} |f(x)| \,dx + \int_{c}^{b} |f(x)| \,dx\)。

2. 两条曲线之间的面积：

如果在区间 \([a, b]\) 上 \(f(x) \ge g(x)\)，那么在 \(x = a\) 到 \(x = b\) 之间，由 \(y = f(x)\) 和 \(y = g(x)\) 所围成的面积为：

\(\text{面积} = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \,dx = \int_{a}^{b} (\text{上方曲线} - \text{下方曲线}) \,dx\)

例子：找出 \(y = 4 - x^2\) 与 \(y = x + 2\) 所围成的面积。

设 \(4 - x^2 = x + 2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x - 1) = 0\)，找出交点为 \(x = -2\) 及 \(x = 1\)。
在 \([-2, 1]\) 上，\(4 - x^2 \ge x + 2\)。
\(\text{面积} = \int_{-2}^{1} [(4 - x^2) - (x + 2)] \,dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \,dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} = \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( -4 - 2 + \frac{8}{3} \right) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{9}{2} = 4.5\)。

变率与总累积量

若 \(R(t) = \frac{dQ}{dt}\) 是某量 \(Q\) 随时间 \(t\) 的变化率，则从 \(t = t_1\) 到 \(t = t_2\) 期间 \(Q\) 的总变化量可由定积分求得：

\(\Delta Q = Q(t_2) - Q(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} R(t) \,dt\)

6. 数值积分：梯形法则

当一个函数难以或无法通过代数方法进行积分时，我们可以使用梯形法则来估算定积分的值。

公式

将区间 \([a, b]\) 分割成 \(n\) 个宽度相等（\(h = \frac{b - a}{n}\)）的子区间，分点为 \(x_0 = a, x_1, x_2, \dots, x_n = b\)，相应的值为 \(y_0, y_1, y_2, \dots, y_n\)（其中 \(y_i = f(x_i)\)）：

\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \frac{h}{2} \left[ y_0 + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1}) + y_n \right] = \frac{h}{2} \left[ (\text{首项} + \text{尾项}) + 2(\text{中间各项之和}) \right]\)

高估与低估

• 若曲线在 \([a, b]\) 上向上凹（凹向上）（\(f''(x) > 0\)），梯形的弦线位于曲线上方，因此梯形法则会得出高估（过大估计）的值。
• 若曲线在 \([a, b]\) 上向下凹（凹向下）（\(f''(x) < 0\)），梯形的弦线位于曲线下方，因此梯形法则会得出低估（过小估计）的值。

7. 章节摘要与快速回顾

• 微积分基本定理：\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\)。
• 换元法：务必将积分上下限转换为新变量 \(u\)。
• 两曲线之间的面积：\(\text{面积} = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \,dx\)，其中 \(f(x) \ge g(x)\)。
• 总变化量：\(\int_{t_1}^{t_2} R(t) \,dt = Q(t_2) - Q(t_1)\)。
• 梯形法则：\(\int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \frac{h}{2}[y_0 + 2(y_1 + \dots + y_{n-1}) + y_n]\)，其中 \(h = \frac{b-a}{n}\)。