定積分法及其應用：练习题

求定積分 \(\int_0^1 (e^x + 2x) dx\) 的值。

求由曲線 \(y = \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\)、\(x\) 軸、直線 \(x = 0\) 及 \(x = \sqrt{3}\) 所圍成的區域的面積。

求定積分 \(\int_1^2 (3x^2 - 2x + 1) dx\) 的值。

計算定積分 $$\int_0^2 (3x^2 - 4) dx$$。

求由曲線 \(y = e^{2x}\)、\(x\) 軸及直線 \(x=0\) 與 \(x=1\) 所圍成的區域面積。

計算定積分 \(\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 1} dx\)。

考慮定積分 \( I = \int_{0}^{2} (x^2 - 2x + 3) dx \)。
(a) 求 \( I \) 的準確值。 (2分)
(b) 利用梯形法則將區間 \([0, 2]\) 分成 4 個等寬的子區間，求 \( I \) 的近似值。 (2分)

計算由曲線 \( y = x(x^2+1)^2 \)、\( x \) 軸及直線 \( x=0 \) 與 \( x=1 \) 所圍成的區域面積。 (4分)