定積分法

定积分：精确求面积及更多！

同学们好！欢迎来到定积分的学习笔记。如果你曾经想过，我们怎样才能找到一个弯曲、不规则图形的精确面积，那么你就来对地方了。这就是定积分的核心概念。

如果“积分”听起来有点吓人，别担心。我们将会一步一步地拆解它。把它想成一种超能力，它不仅可以让你计算面积，还可以计算复杂物体的体积。这是科学、工程，甚至经济学中的一个基本工具。让我们开始吧！

什么是定积分？从长方形到精确面积

大概念：切片与求和

想象你有一片顶部边缘弯曲的吐司，你想找出它的精确面积。你会怎么做呢？

一个方法是把它切成许多微小、薄薄的垂直条状。每条都几乎是一个完美的长方形。你可以计算每个长方形的面积（高 × 宽），然后把它们全部加起来。

这就是积分背后的基本概念！我们正在找出曲线 \(f(x)\) 在两点 \(x = a\) 和 \(x = b\) 之间的面积。

• 我们将该面积切成无限多个超薄长方形。

• 每个长方形的宽度是 \(x\) 的一个无穷小变化，我们称之为 \(dx\)。

• 每个长方形的高度是函数值，即 \(f(x)\)。

• 积分就是把所有这些无限长方形的面积加起来的过程。

这个求和的过程由一个特殊符号——积分符号 (\(\int\)) 表示。

解读符号

定积分的符号表示如下：

\(\int_a^b f(x) dx\)

让我们来拆解一下：

• \(\int\)：这是积分符号。它的意思是“求和”。

• \(a\) 和 \(b\)：这些是积分上下限。我们正在寻找从起点 \(x = a\)（下限）到终点 \(x = b\)（上限）的面积。

• \(f(x)\)：这是被积函数。它是我们正在测量其面积的函数（曲线）。它代表我们微小长方形的高度。

• \(dx\)：这告诉我们正在对变量 \(x\) 进行积分。它代表我们长方形的微小宽度。

你知道吗？哑变量

我们用于积分的变量实际上并不重要。它只是一个占位符。这表示使用“\(x\)”来寻找面积，与使用“\(t\)”、“\(u\)”或其他任何字母是相同的。这就是哑变量（或虚设变量）的概念。

\(\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt\)

这样想吧：如果你决定在整本书中把主角称为“Gary Potter”，“哈利波特”的故事并不会改变。情节和结果都是一样的！

重要提示

定积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 代表了精确的累积值，最常见的是从 \(x = a\) 到 \(x = b\) 的 \(f(x)\) 的曲线下面积。

微积分基本定理：终极捷径

把无限多个长方形加起来听起来不可能，对吧？幸运的是，我们有一个巧妙的捷径，称为微积分基本定理（FTC）。这个定理以一种美妙的方式将积分（寻找面积）与微分（寻找斜率）链接起来。

快速回顾：不定积分

还记得不定积分吗？那就是我们寻找一个函数的“原函数”（或反导函数）的时候。例如，\(2x\) 的不定积分是 \(x^2 + C\)，因为 \(x^2 + C\) 的导数是 \(2x\)。

定理本身

微积分基本定理为我们提供了一种计算定积分的简单方法：

如果 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的原函数（不定积分），那么：

\(\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\)

就这么简单！不再需要长方形了。只需找出原函数，代入上限和下限，然后相减。

使用微积分基本定理的逐步指南

1. 找出原函数：首先，找出 \(f(x)\) 的不定积分。我们将其称为 \(F(x)\)。(小提示：对于定积分，你可以忽略“+ C”，因为它在相减时会互相抵消！\((F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b)-F(a)\)。)

2. 代入上限：计算在 \(x = b\) 时原函数的值。这就是 \(F(b)\)。

3. 代入下限：计算在 \(x = a\) 时原函数的值。这就是 \(F(a)\)。

4. 相减：答案就是 \(F(b) - F(a)\)。

让我们试一个例子吧！

找出 \(\int_1^3 x^2 dx\) 的值。

1. 原函数：\(f(x) = x^2\) 的原函数是 \(F(x) = \frac{x^3}{3}\)。

2. 计算 \(F(b)\)：上限是 \(b = 3\)。所以，\(F(3) = \frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9\)。

3. 计算 \(F(a)\)：下限是 \(a = 1\)。所以，\(F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}\)。

4. 相减：\(F(b) - F(a) = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\)。

所以，\(\int_1^3 x^2 dx = \frac{26}{3}\)。曲线 \(y = x^2\) 从 \(x=1\) 到 \(x=3\) 的面积是 \(\frac{26}{3}\) 平方单位！

应避免的常见错误

永远是上限减下限（\(F(b) - F(a)\)）。一个非常常见的错误是意外地计算 \(F(a) - F(b)\)，这会给你正确答案的负值。

重要提示

微积分基本定理让我们可以通过找出原函数 \(F(x)\) 并计算 \(F(b) - F(a)\) 来轻松解决定积分。

规则手册：定积分的性质

就像数字一样，定积分也有一些性质，可以让解题变得更容易。让我们来看看这些规则。

基本性质

• 交换积分上下限：如果你交换积分的上下限，答案的符号会反转。
\(\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx\)

• 零宽度区间：从一点到该点自身的面积为零。
\(\int_a^a f(x) dx = 0\)

• 区间分割：你可以将一个积分分成两部分。如果一个函数在中间改变了定义，这会很有用。
\(\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx\)

• 常数倍数法则：你可以将常数乘数移出积分符号。
\(\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx\)

• 和/差法则：你可以逐项对和或差进行积分。
\(\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx\)

奇函数与偶函数的性质

这些是对称区间（例如从 \(-a\) 到 \(a\)）积分的强大捷径。首先，快速回顾一下：

• 偶函数具有 y 轴对称性。正式来说，\(f(-x) = f(x)\)。例子：\(x^2, x^4, \cos(x)\)。

• 奇函数具有关于原点的旋转对称性。正式来说，\(f(-x) = -f(x)\)。例子：\(x, x^3, \sin(x)\)。

奇函数的性质：

当从 \(-a\) 到 \(a\) 积分一个奇函数时，左侧的面积会抵消右侧的面积。

\(\int_{-a}^a f(x) dx = 0 \quad (\text{如果 } f(x) \text{ 是奇函数})\)

例子：\(\int_{-2}^2 x^3 dx = 0\)

偶函数的性质：

当从 \(-a\) 到 \(a\) 积分一个偶函数时，左侧的面积与右侧的面积是相同的。所以你只需找出从 \(0\) 到 \(a\) 的面积并将其乘以两倍！

\(\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx \quad (\text{如果 } f(x) \text{ 是偶函数})\)

例子：\(\int_{-1}^1 x^2 dx = 2 \int_0^1 x^2 dx\)

助记方法

奇（Odd）抵（Out）消。
偶（Even）是额外（Extra）的（一倍变两倍！）。

数值估值：梯形法则

有时候，我们无法使用标准代数技巧找出原函数。在这种情况下，我们可以将区间 \([a, b]\) 分割成 \(n\) 个等宽 \(h = \frac{b - a}{n}\) 的子区间，在曲线下方构成梯形，从而估计定积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 的值。

设 \(x_0 = a, x_1 = a + h, \dots, x_n = b\)，并设 \(y_r = f(x_r)\)。梯形法则的公式为：

\(\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} \left[ (y_0 + y_n) + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1}) \right]\)

提示：记住这个规律是“半个宽度乘以（首项 + 末项 + 2 × 所有中间项）”。

高级技巧：换元法与分部积分法

有时候，积分太复杂了，无法直接求解。就像不定积分一样，我们可以使用换元法和分部积分法等技巧，但对于积分上下限，多了一个额外且关键的步骤。

1. 换元积分法（用于定积分）

我们将其用于复合函数（一个函数在另一个函数内部）。关键区别在于，当我们对变量从 \(x\) 变为 \(u\) 时，我们还必须将积分上下限从 \(x\) 值改变为 \(u\) 值。

逐步指南

1. 选择 \(u\)：选择“内函数”作为你的 \(u\)。

2. 找出 \(du\)：对 \(u\) 求导以找到 \(\frac{du}{dx}\)，并重新排列以解出 \(dx\)。

3. 改变积分上下限：这是最重要的一步！

• 将你原始的上限 (\(x=b\)) 代入 \(u\) 的替换式，以找出新的上限。

• 将你原始的下限 (\(x=a\)) 代入 \(u\) 的替换式，以找出新的下限。

4. 代入并积分：将积分中的所有内容替换为 \(u\) 的项（包括新的上下限）并求解。你不需要再代回 \(x\)！

例子：\(\int_0^1 (2x+1)^3 dx\)

1. 选择 \(u\)：设 \(u = 2x+1\)。

2. 找出 \(du\)：\(\frac{du}{dx} = 2\)，所以 \(dx = \frac{du}{2}\)。

3. 改变上下限：

• 上限：当 \(x = 1\) 时，\(u = 2(1)+1 = 3\)。

• 下限：当 \(x = 0\) 时，\(u = 2(0)+1 = 1\)。

4. 代入并积分：我们的积分变为...

\(\int_1^3 u^3 \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_1^3 u^3 du = \frac{1}{2} \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^3\)
\(= \frac{1}{8} [u^4]_1^3 = \frac{1}{8} (3^4 - 1^4) = \frac{1}{8}(81-1) = \frac{80}{8} = 10\)

应避免的常见错误

最大的错误是忘记改变积分上下限。如果你不改变上下限，你就无法用“\(u\)”来计算积分。

2. 分部积分法（用于定积分）

用于积分两个函数的乘积。公式与不定积分的公式略有不同。

\(\int_a^b u \frac{dv}{dx} dx = [uv]_a^b - \int_a^b v \frac{du}{dx} dx\)

请记住，\([uv]_a^b\) 部分表示你在 \(x=b\) 处计算 \(uv\)，然后减去在 \(x=a\) 处的 \(uv\)。

例子：\(\int_0^\pi x \sin(x) dx\)

1. 选择 \(u\) 和 \(\frac{dv}{dx}\)：设 \(u = x\) 及 \(\frac{dv}{dx} = \sin(x)\)。

2. 找出 \(\frac{du}{dx}\) 和 \(v\)：\(\frac{du}{dx} = 1\) 及 \(v = -\cos(x)\)。

3. 套用公式：
\(\int_0^\pi x \sin(x) dx = [x(-\cos(x))]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos(x))(1) dx\)

4. 计算并简化：
\(= [-\pi\cos(\pi) - (-0\cos(0))] + \int_0^\pi \cos(x) dx\)
\(= [-\pi(-1) - 0] + [\sin(x)]_0^\pi\)
\(= \pi + [\sin(\pi) - \sin(0)]\)
\(= \pi + [0 - 0] = \pi\)

好消息是！课程大纲中指出，分部积分法在求解积分时，最多只会使用两次。所以你不会遇到超长的连锁反应。

重要提示

当使用定积分的高级技巧时，请记住要正确处理积分上下限。对于换元法，将上下限更改为与新变量相符。对于分部积分法，对公式的每个部分在上下限之间进行计算。

具体应用：求面积和体积

现在来到最令人兴奋的部分了！让我们运用新学到的技能来解决真实的、具象的问题。

求平面图形的面积

1. 曲线与 x 轴之间的面积

这是最直接的应用。

• 如果面积在 x 轴上方（\(f(x) \ge 0\)），则面积仅为：
\(A = \int_a^b f(x) dx\)

• 如果面积在 x 轴下方（\(f(x) \le 0\)），积分会得出一个负值。由于面积必须是正数，我们取绝对值（或者直接在前面加一个负号）：
\(A = \left| \int_a^b f(x) dx \right| = - \int_a^b f(x) dx\)

2. 两条曲线之间的面积

要找出两条曲线 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 之间的面积，你只需积分上方曲线与下方曲线之间的差。

如果 \(f(x) \ge g(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上成立，则面积为：

\(A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx\)

求旋转体的体积

想象一下，将一条曲线下的二维面积绕着一条轴旋转。这会产生一个三维立体，就像一个花瓶或一个碗。我们可以使用积分来找出它的体积！

秘诀是将该立体想象成由无限多个薄薄的圆形切片，即“圆盘”组成。

• 每个圆盘的厚度是 \(dx\)。

• 每个圆盘的半径是函数的高度，即 \(r = y = f(x)\)。

• 一个微小圆盘的体积是 \(dV = (\text{圆形面积}) \times (\text{厚度}) = \pi r^2 dx = \pi [f(x)]^2 dx\)。

为了得到总体积，我们积分（求和）所有圆盘的体积。

体积公式（绕 x 轴旋转）

对于 \(y = f(x)\) 下方的区域：

\(V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx\)

对于由两条曲线 \(y = f(x)\) 与 \(y = g(x)\) 所围成的区域（其中 \(f(x) \ge g(x) \ge 0\)）：

\(V = \pi \int_a^b ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx\)

体积公式（绕 y 轴旋转）

如果你将曲线 \(x = g(y)\) 绕着 y 轴从 \(y=c\) 到 \(y=d\) 旋转，逻辑是相同的，只是变量互换：

\(V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 dy\)

例子：找出当 \(y = x^2\) 绕着 x 轴从 \(x=0\) 到 \(x=2\) 旋转时的体积。

\(V = \int_0^2 \pi (x^2)^2 dx = \pi \int_0^2 x^4 dx\)
\(= \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right)\)
\(= \pi \left( \frac{32}{5} - 0 \right) = \frac{32\pi}{5}\)

体积是 \(\frac{32\pi}{5}\) 立方单位。

重要提示

定积分是几何学中一个强大的工具。使用 \(\int (\text{上方} - \text{下方}) dx\) 来计算曲线之间的面积，并使用 \(\pi \int r^2 dx\) 来计算旋转体的体积。如果面积在 x 轴下方，务必小心！