M2 复习笔记：第七章 - 微分
大家好！欢迎来到微分的复习笔记。这是微积分中最有力、最引人入胜的课题之一。把它想象成一个特殊的透镜，能让你瞬间看清事物是如何变化的。
为什么这很重要？微分能帮助我们找出移动物体在特定时刻的速度、找出以最高利润出售产品的最佳定价，甚至模拟疾病的传播。它的一切都围绕着理解“变率”。
如果一开始觉得有点难，别担心！我们会将所有概念拆解成简单易懂的步骤。我们开始吧！
1. 核心概念：导数
那么，什么是导数？
想象一下你在驾车。你两小时旅程的平均速率是总距离除以两小时。但你的瞬时速率却是你在任何给定秒数下，从速度计上看到的数值。
导数就像汽车的速度计。它告诉我们函数在特定点的瞬时变率。
从图像的角度来看，导数给出了曲线在某一点的切线斜率（即当区间缩小至零时，割线斜率的极限）。
从基本原理求导数
这是根据导数定义来求导数的基本方法。虽然这是“长途径”，但对于理解其背后的原理至关重要。我们找出曲线两个非常非常接近的点之间的直线斜率。
函数 \(f(x)\) 的导数，记作 \(f'(x)\)，定义为：
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
逐步分析：
・\(h\) 代表 x 值中极微小的变化。
・\(f(x+h) - f(x)\) 代表 y 值中相应的变化。
・整个分数就是连接 \((x, f(x))\) 和 \((x+h, f(x+h))\) 的割线斜率（纵移/横移）。
・\( \lim_{h \to 0} \) 意思是要让区间 \(h\) 趋近于零，从而找出瞬时斜率。
逐步例子：从基本原理求 \(f(x) = x^2\) 的导数。
1. 写下公式：
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
2. 将你的函数代入公式：
由于 \(f(x) = x^2\)，所以 \(f(x+h) = (x+h)^2\)。
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \)
3. 展开并简化分子：
\( (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h} \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \)
4. 从分子中提取 h 并约简：
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h} \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) \)
5. 现在，求当 \(h \to 0\) 时的极限：
\( f'(x) = 2x + 0 = 2x \)
在 HKDSE M2 中，你亦可能会被要求从基本原理求像 \(C\)、\(x^n\)、\(\sqrt{x}\)、\(\sin x\)、\(\cos x\) 和 \(e^x\) 等函数的导数。对于三角函数和指数函数，请记住以下标准极限：
\( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \quad \text{及} \quad \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1 \)
导数的各种表示法！
你会看到导数以几种不同的方式表示。如果 \(y = f(x)\)：
・拉格朗日记法： \(f'(x)\) 或 \(y'\) （读作“f prime of x”或“y prime”）。
・莱布尼茨记法： \(\frac{dy}{dx}\) （读作“dee y by dee x”）。算子 \(\frac{d}{dx}\) 表示“对…关于 x 微分”。
第一部分重点：
导数是函数的瞬时变率，或者说是其切线的斜率。我们可以利用基本原理，从根源（定义）开始求出它。
2. 微分工具箱：基本规则
每次都使用基本原理会非常耗时。幸运的是，我们有一套微分法则可以充当高效的工具。
基本法则
・常数法则：任何常数的导数都是零。
\( \frac{d}{dx}(C) = 0 \)
类比：如果物体静止不动（位置恒定），那么它的速度就是 0。
・幂法则：对于任何实数 \(n\)：
\( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
记忆小贴士：“把指数放下来，然后指数减一。”
例子：\(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^{5-1} = 5x^4\)
例子：\(\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
・常数倍数法则：乘以函数的常数会保留在外。
\( \frac{d}{dx}(c \cdot f(x)) = c \cdot f'(x) \)
例子：\(\frac{d}{dx}(7x^3) = 7 \cdot (3x^2) = 21x^2\)
・和／差法则：逐项对函数进行微分。
\( \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \)
例子：\(\frac{d}{dx}(x^2 + 5x - 3) = 2x + 5 - 0 = 2x+5\)
积法则
当你需要对两个相乘的函数进行微分时，就使用这个法则（\(u\) 和 \(v\)）：
\( \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \quad \text{或} \quad (uv)' = u'v + uv' \)
记忆小贴士：“第一个乘以第二个的导数，加上第二个乘以第一个的导数。”
常见错误：\((uv)' \neq u'v'\)。切勿直接将导数相乘。
例子：求 \(y = x^2 \sin x\) 的导数
设 \(u = x^2\) 和 \(v = \sin x\)。那么 \(u' = 2x\) 和 \(v' = \cos x\)。
\(\frac{dy}{dx} = (x^2)(\cos x) + (\sin x)(2x) = x^2\cos x + 2x\sin x\)
商法则
当你需要对一个函数除以另一个函数的形式进行微分时，就使用这个法则（\(u/v\)）：
\( \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \quad \text{或} \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
口诀：“分母乘以分子导数，减去分子乘以分母导数，再除以分母的平方。”
常见错误：分子中的顺序很重要，因为牵涉减法：必须是 \(v u'\) 在前面！
例子：求 \(y = \frac{e^x}{x^3}\) 的导数
\(\frac{dy}{dx} = \frac{(x^3)(e^x) - (e^x)(3x^2)}{(x^3)^2} = \frac{x^2 e^x(x - 3)}{x^6} = \frac{e^x(x - 3)}{x^4}\)
链式法则
当遇到复合函数（即“函数包住函数”）时，请使用此法则：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
步骤：
1. 辨识外函数和内函数（\(u\)）。
2. 对外函数关于 \(u\) 进行微分。
3. 将结果乘以内函数关于 \(x\) 的导数。
例子 1：求 \(y = (x^2 + 5)^4\) 的导数
\(\frac{dy}{dx} = 4(x^2+5)^3 \cdot \frac{d}{dx}(x^2+5) = 4(x^2+5)^3 \cdot (2x) = 8x(x^2+5)^3\)
例子 2：求 \(y = \cos(3x+1)\) 的导数
\(\frac{dy}{dx} = -\sin(3x+1) \cdot \frac{d}{dx}(3x+1) = -3\sin(3x+1)\)
第二部分重点：
熟练掌握核心法则：用于 \(x^n\) 的幂法则、用于 \(uv\) 的积法则、用于 \(u/v\) 的商法则，以及用于复合函数的链式法则。
3. 标准函数的导数
以下是 HKDSE M2 所需的标准函数导数完整列表：
三角函数及余函数三角函数
・\( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)
・\( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)
・\( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \)
・\( \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \)
・\( \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \)
・\( \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \)
指数函数和对数函数
・\( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)
・\( \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1) \)
・\( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \quad (x > 0) \)
・\( \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1, x > 0) \)
快速回顾总结
函数 \(f(x)\) 导数 \(f'(x)\)
--------------------------------------------------
\(C\) (常数) \(0\)
\(x^n\) \(nx^{n-1}\)
\(\sin x\) \(\cos x\)
\(\cos x\) \(-\sin x\)
\(\tan x\) \(\sec^2 x\)
\(\cot x\) \(-\csc^2 x\)
\(\sec x\) \(\sec x \tan x\)
\(\csc x\) \(-\csc x \cot x\)
\(e^x\) \(e^x\)
\(a^x\) \(a^x \ln a\)
\(\ln x\) \(\frac{1}{x}\)
\(\log_a x\) \(\frac{1}{x \ln a}\)
4. 进阶技巧
隐函数微分法
当 \(x\) 和 \(y\) 之间的关系以隐函数形式给出时（例如 \(x^2 + y^2 = 25\)），我们对方程两边同时关于 \(x\) 进行微分。根据链式法则，每当对包含 \(y\) 的项进行微分时，都要乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。
逐步例子：求 \(x^2 + y^2 = 25\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。
1. 对两边关于 \(x\) 微分：
\( \frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25) \)
2. 应用微分法则：
\( 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \)
3. 解出 \(\frac{dy}{dx}\)：
\( 2y\frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \)
对数微分法
这项技巧非常适合用于处理积、含多个因式的商，或是底数和指数同时含有变量的函数（例如 \(y = x^x\)）。
逐步例子：求 \(y = \frac{(x+1)^3 \sqrt{x}}{(2x-1)^5}\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)
1. 对两边取自然对数：
\( \ln y = \ln\left( \frac{(x+1)^3 \sqrt{x}}{(2x-1)^5} \right) \)
2. 利用对数性质展开：
\( \ln y = 3\ln(x+1) + \frac{1}{2}\ln x - 5\ln(2x-1) \)
3. 对两边进行隐函数微分：
\( \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+1} + \frac{1}{2x} - \frac{5(2)}{2x-1} = \frac{3}{x+1} + \frac{1}{2x} - \frac{10}{2x-1} \)
4. 两边乘以 \(y\) 并将原式代回：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3 \sqrt{x}}{(2x-1)^5} \left( \frac{3}{x+1} + \frac{1}{2x} - \frac{10}{2x-1} \right) \)
5. 二阶导数
什么是二阶导数？
二阶导数就是一阶导数的导数：
物理意义：若 \(s(t)\) 代表位置，则 \(v(t) = s'(t)\) 代表速度，而 \(a(t) = s''(t)\) 则代表加速度。
记法： \(f''(x)\)、\(y''\) 或 \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)。
如何求得二阶导数
例子：求 \(f(x) = x^4 - 5x^2 + 8\) 的 \(f''(x)\)
步骤 1：求一阶导数： \( f'(x) = 4x^3 - 10x \)
步骤 2：求二阶导数： \( f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 10x) = 12x^2 - 10 \)
应用：凹凸性与二阶导数判别法
・凹凸性：
・若在某区间上 \(f''(x) > 0\)，则曲线呈上凹（开口向上）。
・若在某区间上 \(f''(x) < 0\)，则曲线呈下凹（开口向下）。
・二阶导数判别法：对于驻点 \(f'(c) = 0\)：
・若 \(f''(c) < 0\)，则 \(f(x)\) 在 \(x=c\) 处有局部极大值。
・若 \(f''(c) > 0\)，则 \(f(x)\) 在 \(x=c\) 处有局部极小值。
・若 \(f''(c) = 0\)，则此判别法无效（需使用一阶导数判别法）。
第五部分重点：
二阶导数 \(f''(x)\) 提供了关于曲线凹凸性的信息，并有助于判断驻点属于局部极大值还是局部极小值。