求導法的應用

M2 课题：微分法的应用

同学们好！欢迎来到 M2 微积分中功能最强大的课题之一：微分法的应用。你可能会想：“我们花那么多时间学习如何求导数，究竟有何用途呢？”答案就在这里！

你可以把微分想像成获得了一种超能力：能够看清任何事物“变率”的能力。在这个课题中，我们将运用这种能力来：

• 找出曲线在任何给定点的切线与法线方程。
• 确定单调递增及单调递减区间，并找出极大值和极小值来解决最优化问题。
• 通过分析渐近线、凹凸性及拐点，精通绘制复杂曲线。
• 解决涉及事物随时间变化的实际问题。

如果听起来很多，别担心。我们会一步一步地拆解。我们开始吧！

1. 找出切线与法线方程

从你以往的学习中记得，导数 \(\frac{dy}{dx}\) 或 \(f'(x)\) 提供了曲线 \(y = f(x)\) 在任何一点 \(x\) 的切线斜率（梯度）。

切线

切线是一条在点 \((x_1, y_1)\) 与曲线相切的直线，其斜率为 \(m_{\text{tangent}} = f'(x_1)\)。其点斜式方程为：

\(y - y_1 = m_{\text{tangent}}(x - x_1)\)

法线

在给定点的法线是一条在该点垂直于切线的直线。由于两条直线垂直，它们的斜率积为 \(-1\)：

\(m_{\text{normal}} \times m_{\text{tangent}} = -1 \implies m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m_{\text{tangent}}}\)（假设 \(m_{\text{tangent}} \neq 0\)）

因此，法线的方程为：

\(y - y_1 = -\frac{1}{f'(x_1)}(x - x_1)\)

例题演练

找出曲线 \(y = x^3 - 2x + 5\) 在 \(x = 2\) 处的切线及法线方程。

步骤 1：找出该点。
当 \(x = 2\) 时，\(y = (2)^3 - 2(2) + 5 = 8 - 4 + 5 = 9\)。
所以，切点是 \((x_1, y_1) = (2, 9)\)。

步骤 2：找出导数。
\(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2\)

步骤 3：找出斜率。
在 \(x = 2\) 处，\(m_{\text{tangent}} = 3(2)^2 - 2 = 10\)。
因此，\(m_{\text{normal}} = -\frac{1}{10}\)。

步骤 4：找出方程。
切线：
\(y - 9 = 10(x - 2) \implies y = 10x - 11\)
法线：
\(y - 9 = -\frac{1}{10}(x - 2) \implies x + 10y - 92 = 0\)

要点回顾

使用 \(f'(a)\) 找出切线斜率 \(m_{\text{tangent}}\)，并取负倒数 \(-\frac{1}{m_{\text{tangent}}}\) 作为法线斜率 \(m_{\text{normal}}\)。

2. 增函数／减函数与极值

单调递增及单调递减区间

• 若在某区间内所有 \(x\) 均有 \(f'(x) > 0\)，则 \(f(x)\) 在该区间上严格递增。
• 若在某区间内所有 \(x\) 均有 \(f'(x) < 0\)，则 \(f(x)\) 在该区间上严格递减。

驻点与一阶导数判别法

\(f'(x) = 0\) 的点称为驻点。我们可以利用符号表检查跨越该点时 \(f'(x)\) 的符号，从而将驻点分类：

• 局部极大值：\(f'(x)\) 由正（\(+\)）变为负（\(-\)）。
• 局部极小值：\(f'(x)\) 由负（\(-\)）变为正（\(+\)）。
• 驻点拐点：\(f'(x) = 0\)，但 \(f'(x)\) 没有变号（例如 \(+ \to 0 \to +\) 或 \(- \to 0 \to -\)）。

二阶导数判别法

若 \(f'(x_0) = 0\)：

• 若 \(f''(x_0) > 0\)，曲线向上凹（☺），因此 \(x_0\) 为局部极小值。
• 若 \(f''(x_0) < 0\)，曲线向下凹（☹），因此 \(x_0\) 为局部极大值。
• 若 \(f''(x_0) = 0\)，判别法失效；须改用一阶导数判别法。

例题演练

找出并分类 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1\) 的驻点。

步骤 1：\(f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2\) 或 \(x = -1\)。

步骤 2：\(f''(x) = 12x - 6\)。

步骤 3：
在 \(x = 2\) 处：\(f''(2) = 18 > 0 \implies\) 在 \((2, -19)\) 有局部极小值。
在 \(x = -1\) 处：\(f''(-1) = -18 < 0 \implies\) 在 \((-1, 8)\) 有局部极大值。

闭区间 \([a, b]\) 上的整体（绝对）极值

1. 找出 \((a, b)\) 内所有的驻点，并计算各点的 \(f(x)\) 值。
2. 计算端点值 \(f(a)\) 及 \(f(b)\)。
3. 最大值为整体极大值；最小值为整体极小值。

3. 曲线描绘

完整绘图清单

对于函数 \(y = f(x)\)：

1. 定义域：注意使分母为零的受限制数值。
2. 截距：当 \(x = 0\) 时的 \(y\) 轴截距；当 \(f(x) = 0\) 时的 \(x\) 轴截距。
3. 对称性：若 \(f(-x) = f(x)\)，则为偶函数（关于 \(y\) 轴轴对称）。若 \(f(-x) = -f(x)\)，则为奇函数（关于原点中心对称）。
4. 渐近线：
• 垂直渐近线 (VA)：直线 \(x = c\)，其中 \(\lim_{x \to c^\pm} f(x) = \pm\infty\)。
• 水平渐近线 (HA)：直线 \(y = L\)，其中 \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L\)。（注意：曲线可在有限的 \(x\) 值处穿过水平或斜渐近线）。
• 斜渐近线 (OA)：直线 \(y = mx + c\)，其中 \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx + c)] = 0\)。对于满足 \(\deg(P) = \deg(Q) + 1\) 的有理函数 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)，可通过多项式长除法求得。
5. 一阶导数与单调性：利用 \(f'(x)\) 找出驻点以及曲线单调递增或递减的区间。
6. 凹凸性与拐点：
• \(f''(x) > 0\)：向上凹。
• \(f''(x) < 0\)：向下凹。
• 拐点：曲线上凹凸性改变符号的点（即 \(f''(x) = 0\) 或 \(f''(x)\) 未定义，且 \(f''(x)\) 出现变号的点）。
7. 绘图：综合渐近线、截距、极值和凹凸性，绘出一条清晰的曲线。

快速范例：描绘 \(y = \frac{x^2}{x-2}\)

1. 定义域：\(x \neq 2\)。
2. 截距：\((0, 0)\)。
3. 渐近线：VA 为 \(x = 2\)。长除法得出 \(\frac{x^2}{x-2} = x + 2 + \frac{4}{x-2}\)，故 OA 为 \(y = x + 2\)。
4. 极值：\(f'(x) = \frac{x(x-4)}{(x-2)^2} = 0 \implies x = 0, x = 4\)。在 \((0, 0)\) 有局部极大值；在 \((4, 8)\) 有局部极小值。
5. 凹凸性：\(f''(x) = \frac{8}{(x-2)^3}\)。当 \(x < 2\) 时向下凹，当 \(x > 2\) 时向上凹。由于 \(x = 2\) 不在定义域内，因此没有拐点。

4. 实际应用

最优化问题

1. 定义变量，适当时绘制图表，并写出目标函数。
2. 利用约束方程将目标函数以单一变量表示。
3. 将一阶导数设为零以求取驻点。
4. 利用二阶导数判别法（或一阶导数判别法）证明其为最大值或最小值。
5. 写出答案并附上适当单位。

范例：最大化花园面积

你有 \(40\text{ m}\) 的围栏来围起一个矩形花园。求其最大可能面积。

1. 设长度为 \(L\)，宽度为 \(W\)。周长：\(2L + 2W = 40 \implies L = 20 - W\)。
2. 面积：\(A(W) = W(20 - W) = 20W - W^2\)。
3. 微分：\(\frac{dA}{dW} = 20 - 2W = 0 \implies W = 10\text{ m}\)。
4. 二阶导数：\(\frac{d^2A}{dW^2} = -2 < 0\)，证实为最大值。
5. 最大面积为 \(A = 10(20 - 10) = 100\text{ m}^2\)。

变率与链式法则

对于随时间 \(t\) 变化的相关变率，使用链式法则：

\(\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}\)

要点回顾

建立单一变量函数进行最优化，利用导数验证其性质，并使用链式法则联系随时间变化的变率。