Binary number system

欢迎来到二进制的世界！

你有没有想过，电脑基本上只是一堆开关和电线的集合，它是如何让你观看高画质电影或运行复杂的电子游戏的呢？这一切都要归功于二进制 (Binary)。在本章中，我们将一起探索电脑的“语言”。如果现在看见一堆 1 和 0 让你感到困惑，请别担心——看完这份笔记，你将会像电脑一样快速地阅读和运算！

1. 基础概念：进位制 (Number Bases)

在深入了解二进制之前，我们先看看我们平时是如何数数的。我们使用十进制 (Base 10)，这很可能是因为我们有十根手指头！而电脑使用二进制 (Base 2)，是因为它们是由晶体管组成的，晶体管只有开启 (On, 1) 或关闭 (Off, 0) 两种状态。

关键进位制

• 十进制 (Base 10)： 使用 0-9 的数字。
• 二进制 (Base 2)： 只使用 0 和 1。
• 十六进制 (Base 16)： 使用 0-9 和 A-F。这是人类用来作为二进制的“速记法”，因为它读起来容易多了。例如，二进制的 10101110 在十六进制中仅为 AE！

你知道吗？ 单个二进制数字（一个 0 或 1）被称为一个位 (bit)。如果你将 8 个位组合在一起，就得到一个字节 (byte)！

快速复习：2 的次方

要掌握二进制，你必须熟记这些数字：
\( 2^0=1 \)， \( 2^1=2 \)， \( 2^2=4 \)， \( 2^3=8 \)， \( 2^4=16 \)， \( 2^5=32 \)， \( 2^6=64 \)， \( 2^7=128 \)。

总结：

重点摘要： 进位制只是表示相同数值的不同方式。二进制是给电脑用的，十进制是给人类用的，而十六进制则是两者之间的桥梁。

2. 无符号二进制 (Unsigned Binary)

无符号二进制仅用于表示正整数，这里没有办法表示负号。

数值范围

如果你有 \( n \) 个位，你可以表示 \( 2^n \) 个不同的数值。
最小值永远是 0。
最大值是 \( 2^n - 1 \)。

示例： 使用 8 个位（一个字节），你可以表示从 0 到 255 的数字 (\( 2^8 - 1 \))。

二进制算术

加法

这就像我们平时做的竖式加法一样！只需要记住这四条规则：
1. \( 0 + 0 = 0 \)
2. \( 0 + 1 = 1 \)
3. \( 1 + 1 = 0 \)（并向下一位进 1）
4. \( 1 + 1 + 1 = 1 \)（并向下一位进 1）

乘法

要计算无符号二进制乘法，我们使用“位移与相加 (shift and add)”的方法，这与学校学的长乘法类似。如果你将数字乘以 2，只需将所有位向左移动一位，并在末尾补一个 0 即可！

常见错误： 在加法时忘记了“进位”。一定要清楚地把进位写在下一栏的上方，这样才不会漏掉它们！

总结：

重点摘要： 无符号二进制用于表示正数。你拥有的位数越多，能存储的数字就越大。

3. 有符号二进制：补码 (Two's Complement)

我们如何告诉电脑一个数字是负数呢？我们使用一种称为补码 (Two's Complement) 的系统。

概念

在 8 位的补码中，最高有效位 (Most Significant Bit，最左边的那一位) 具有负权重。它不代表 128，而是代表 -128。

“取反加一”技巧

要将一个正数转换为负数（例如，将 \( 5 \) 转为 \( -5 \)）：
1. 写出该正数的二进制形式（例如：00000101）。
2. 取反 (Flip) 所有位（0 变 1，1 变 0）-> 11111010。
3. 将结果加 1 -> 11111011。这就是 \( -5 \)！

减法

电脑实际上并不会进行“减法”——它们只是在加上负数！要计算 \( 10 - 5 \)，电脑会利用补码计算 \( 10 + (-5) \)。

总结：

重点摘要： 补码让我们能同时表示正数和负数。如果最左边的位是 1，该数字就是负数！

4. 分数 (Fractional Numbers)

生活不仅仅是整数。有时我们需要小数（例如 10.5）。电脑使用两种主要方法：定点数 (Fixed Point) 和 浮点数 (Floating Point)。

定点数

我们想象二进制小数点位于一个固定的位置。例如，在一个 8 位的数字中，我们可以规定前 4 位是整数，后 4 位是分数 (\( 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 \))。
优点： 电脑处理速度快。
缺点： 范围有限；无法同时表示非常大和非常小的数字。

浮点数

这类似于“科学计数法”（例如，\( 6.02 \times 10^{23} \)）。它由两部分组成：
1. 尾数 (Mantissa)： 数字的实际有效数字。
2. 指数 (Exponent)： 告诉我们二进制小数点移动的位置。

正指数会将小数点向右移动（使数字变大）。
负指数会将小数点向左移动（使数字变小）。

总结：

重点摘要： 定点数简单但僵化。浮点数复杂，但允许表示范围极大或极小的数字。

5. 标准化与误差

在考试中，你经常会被要求将一个浮点数标准化 (normalise)。这意味着调整尾数和指数，使数字达到最高的精确度。

如何辨识标准化数字：

• 正数的标准化数字总是以 01 开头。
• 负数的标准化数字总是以 10 开头。

舍入误差 (Rounding Errors)

别担心，如果这看起来很棘手： 某些十进制数字（例如 \( 0.1 \)）无论你使用多少个位，都永远无法在二进制中完美表示。这就像试图将 \( 1/3 \) 写成十进制小数 (\( 0.3333... \)) 一样——它会无限循环下去！这会导致微小的舍入误差。

绝对误差与相对误差

• 绝对误差 (Absolute Error)： 真实数字与我们二进制版本之间的实际差值。
• 相对误差 (Relative Error)： 绝对误差除以真实数字（通常以百分比表示）。

上溢与下溢

• 上溢 (Overflow)： 当数字太大而无法装入指定的位数中时（就像试图将一加仑的水装进一品脱的杯子里）。
• 下溢 (Underflow)： 当数字太小而无法表示时（就像试图用米尺来测量一个原子的长度）。

总结：

重点摘要： 标准化能确保最大的精确度。然而，二进制总是有其限制，导致误差、上溢或下溢的发生。

6. 信息单位

最后，我们需要了解如何衡量数据。你可能认为 1 Kilobyte 是 1000 bytes，但在计算机科学中，它更具体一些！

二进制前缀 (2 的次方)

这些是电脑实际使用的单位：

• Kibi (Ki)： \( 2^{10} \) (1,024 bytes)
• Mebi (Mi)： \( 2^{20} \)
• Gibi (Gi)： \( 2^{30} \)
• Tebi (Ti)： \( 2^{40} \)

十进制前缀 (10 的次方)

这些是人类通常使用的（硬盘制造商也常使用这些来让他们的硬盘容量看起来更大！）：

• Kilo (k)： \( 10^3 \) (1,000 bytes)
• Mega (M)： \( 10^6 \)
• Giga (G)： \( 10^9 \)
• Tera (T)： \( 10^{12} \)

记忆小撇步： 如果名字里有个 "i"（例如 Kibi），那就是基于 1024 的“聪明”电脑版本！

总结：

重点摘要： 考试时务必看清楚题目问的是十进制 (1000 进位) 还是二进制 (1024 进位) 前缀。这对你的最终答案会有很大的影响！