欢迎来到数据表示（Data Representation）！
你有没有想过，一台电脑明明只能理解“1”和“0”，却能为你播放高清电影或你最爱的歌曲？在本章中，我们将探讨现实世界中的数据（如图像和声音）是如何转换成电脑可以处理的二进制模式（bit patterns）。别担心，即使起初有些数学计算看起来很棘手——我们会带你一步步拆解！
1. 模拟（Analogue）与数字（Digital）
在存储数据之前，我们需要了解它是哪种类型。在现实世界中，大多数事物都是模拟（Analogue）的。这意味着它们是连续（continuous）的，具有无限的可能数值。想象一下传统的旋转调光开关，你可以将其滑动到任何亮度等级。而数字（Digital）数据则是离散（discrete）的，意味着它只有特定、分隔的数值（就像开/关按钮一样）。
模拟转数字转换（ADC）
由于电脑无法存储无限的“模拟”波形，它们使用模拟转数字转换器（Analogue to Digital Converter, ADC）。该装置会定期对模拟信号进行“采样”（sampling），并将其转换为二进制数值。你可以在模拟传感器（如温度计）和麦克风中找到 ADC 的身影。
为了将声音播放出来，我们使用数字转模拟转换器（Digital to Analogue Converter, DAC）。它将二进制位模式转回连续信号，让扬声器可以借此推动空气产生声音。
快速回顾：
• 模拟（Analogue）： 连续的（现实世界）。
• 数字（Digital）： 离散/二进制的（电脑）。
• ADC： 模拟输入 → 二进制输出。
• DAC： 二进制输入 → 模拟输出。
2. 图像表示
电脑表示图像主要有两种方式：位图（Bitmaps）和矢量图（Vectors）。
位图（Bitmapped Graphics）
位图就像一张方格纸，每一个小方格（称为像素 Pixel）都填满了特定的颜色。
位图关键术语：
• 分辨率（Resolution）： 每英寸的像素数量（通常称为每英寸点数 DPI）。分辨率越高，图像就越清晰。
• 像素尺寸（Size in Pixels）： 计算方式为 \( \text{width} \times \text{height} \)。
• 色深（Colour Depth）： 用来表示单个像素颜色的位（bits）数。如果使用 1 bit，就只能有 2 种颜色（黑和白）。如果使用 8 bits，则可以有 \( 2^8 = 256 \) 种颜色。
计算存储需求：
要找出位图文件的大小（不计算元数据 Metadata），请使用以下公式：
\( \text{Storage Requirement} = \text{Width in pixels} \times \text{Height in pixels} \times \text{Colour Depth} \)
例子：一张 100x100 像素、色深为 8 bits 的图像。
\( 100 \times 100 \times 8 = 80,000 \text{ bits} \)。要换算成字节（bytes），请除以 8：\( 10,000 \text{ bytes} \)。
矢量图（Vector Graphics）
与其存储每个像素，矢量图存储的是一系列对象列表（list of objects）。每个对象（例如圆形、直线或矩形）都有各自的属性（properties），如位置、线条粗细和颜色。
类比：位图就像一张蛋糕的照片；而矢量图则是烘焙该蛋糕的食谱。
位图 vs 矢量图：
• 位图最适合照片，因为照片中的每个像素颜色可能都不同。当你放大时，它们会出现“锯齿”（模糊）。
• 矢量图最适合标志（logos）、字体和图标。它们可以无限放大到摩天大楼般大小也不会失真，而且文件大小通常小得多！
你知道吗？ 位图文件还包含元数据（Metadata）。这是“关于数据的数据”——即额外的信息，如图像宽度、高度、色深以及拍摄日期。
3. 声音表示
要将声波转换为数字，我们会在特定的时间点对其振幅（高度）进行“采样”。
采样原则
• 采样率（Sampling Rate）： 每秒采样的次数，以赫兹（Hz）为单位。
• 采样分辨率（Sample Resolution）： 用来存储每个采样数值的位数。位数越多，记录波形“高度”的准确度就越高。
奈奎斯特定理（Nyquist Theorem）： 为了准确记录声音，采样率必须至少是声音中最高频率的两倍。
\( \text{Sampling Rate} \ge 2 \times \text{Highest Frequency} \)
计算音频文件大小：
\( \text{Size in bits} = \text{Sampling Rate} \times \text{Sample Resolution} \times \text{Seconds} \)
乐器数字接口（MIDI）
MIDI 并不是声音的录音！它是一组事件消息（event messages）（指令），告诉数字乐器该播放什么。它存储的内容包括“音符开启（Note On）”、“音符关闭（Note Off）”、“音高（Pitch）”和“音量（Volume）”。
MIDI 的优点：
• 文件非常小（适合慢速网络或旧设备）。
• 易于编辑（你可以瞬间将钢琴音色改为吉他音色）。
• 不会录入任何背景杂音。
4. 数据压缩
4K 视频等文件太大，难以传送，因此我们使用压缩（compression）来缩减其体积。
有损（Lossy）与无损（Lossless）压缩
• 有损压缩（Lossy Compression）： 永久删除人类可能察觉不到的数据（例如极高频的声音或细微的色彩变化）。例子：JPEG, MP3。
• 无损压缩（Lossless Compression）： 在不丢失任何数据的情况下缩小文件。当你“解压缩”时，它与原始文件完全相同。例子：PNG, ZIP。
无损压缩技术
1. 游程编码（Run Length Encoding, RLE）： 与其存储“AAAAA”，它会存储“5A”。这对于含有大面积相同颜色的图像非常有效。
2. 字典编码（Dictionary-based methods）： 电脑会建立一个常见模式的“字典”。与其重复存储整个模式，它只需存储该模式在字典中的简短参照编码即可。
常见误区： 学生常以为有损压缩总是“坏的”。实际上，它对于串流视频或音乐非常有用，因为它能将文件缩小到足以通过互联网即时传输！
5. 加密（Encryption）
加密是将数据扰乱的过程，只有持有正确密钥（key）的人才能读取。原始消息称为明文（plaintext），而扰乱后的消息称为密文（ciphertext）。
凯撒密码（Caesar Cipher）
这是一种简单的“位移”密码。例如，位移值为 3 时，'A' 会变成 'D'。
弱点： 使用频率分析（frequency analysis）（统计字母出现的频率）或仅尝试所有 25 种可能的位移（暴力破解）非常容易破解。
维纳姆密码（Vernam Cipher / One-Time Pad）
维纳姆密码是唯一能提供完美安全性（perfect security）的密码，前提是必须遵守以下规则：
• 密钥必须是真正随机的。
• 密钥长度必须至少与明文一样长。
• 密钥只能使用一次（因此称为“一次性密码本”）。
在维纳姆密码中，明文与密钥会使用异或（XOR）逻辑运算进行结合。由于密钥是随机的，产生的密文也完全随机，若没有密钥，根本无法破解。
关键要点：
凯撒密码依赖于算法的隐蔽性（这很容易被猜到），而维纳姆密码则依赖于运算安全性（computational security）和密钥的随机性。