简介
欢迎来到数系 (Number Systems) 的世界！你可能觉得自己对数字已经了如指掌——毕竟你从小就开始接触它们。但在计算机科学中，我们对数字的看法有点不同。电脑“看”数字 10 的方式与我们并不一样；它们看到的是一连串的电信号。在本章中，我们将探索不同的“数字集合”以及各种“进位制”（例如二进制和十六进制），正是这些让电脑能够呈现从简单文字信息到高清视频的一切内容。如果起初觉得涉及很多数学，不用担心——我们会一步步为你拆解！
1. 不同的数字集合
在 AQA 课程大纲中，你需要知道一个数字属于哪个“俱乐部”。数学家根据数字的属性将其分组为不同的集合 (sets)。你可以把它们想象成俄罗斯套娃，一个集合往往包含在另一个集合之中。
自然数 (Natural Numbers) \((\mathbb{N})\)
这些是“计数数字”。如果你可以用手指数字出来的对象，它们就是自然数。
例子：0, 1, 2, 3, 100...
注意：在 AQA 计算机科学中，我们将零 (0) 包含在自然数集合中。
记忆小撇步：N 代表 Natural（自然），就像你在自然界 (Nature) 中会找到的东西（你可以有 1 棵树或 2 只鸟）。
整数 (Integer Numbers) \((\mathbb{Z})\)
整数是没有小数部分的数字。这个集合包含了所有的自然数，但同时也加入了负数。
例子：-3, -2, -1, 0, 1, 2...
记忆小撇步：想象一个温度计。温度可以是 5 度或 -5 度，但它们始终是完整的数字。
有理数 (Rational Numbers) \((\mathbb{Q})\)
有理数是指可以写成分数（比率）的数值。如果你能将它写成 \( \frac{a}{b} \)，它就是有理数。
例子：\( \frac{1}{4} \), \( 0.5 \)（即 \( \frac{1}{2} \)），甚至是 \( 7 \)（可以写成 \( \frac{7}{1} \)）。
快速复习：每个整数也都是有理数，因为你只需要把它放在 1 的上面即可！
无理数 (Irrational Numbers)
这些是“狂野”的数字。它们无法写成简单的分数。当写成小数时，它们会无限延伸且没有重复的规律。 例子：\( \sqrt{2} \), \( \pi \) (圆周率)。
实数 (Real Numbers) \((\mathbb{R})\)
这是“主集合”。它包含了上述所有数字：自然数、整数、有理数和无理数。基本上，任何代表“现实世界”数量的数值都是实数。
序数 (Ordinal Numbers)
这些数字不是关于“有多少”，而是关于“在哪个位置”。我们用它们来描述清单中项目的顺序。
例子：第 1、第 2、第 3...
类比：在一场比赛中，参赛者的总数是自然数（例如：10 名选手），但胜出者是处于第 1 名（这就是序数）。
快速复习箱：
- 自然数 \(\mathbb{N}\)：计数 (0, 1, 2...)
- 整数 \(\mathbb{Z}\)：完整数字（包括负数）
- 有理数 \(\mathbb{Q}\)：分数
- 实数 \(\mathbb{R}\)：连续刻度上的任何测量值
- 序数：位置（第 1, 第 2...）
重点总结：电脑针对不同的任务使用不同的集合。我们使用自然数来计算项目，并使用实数进行精确的测量。
2. 计数与测量
听起来很简单，但在考试中这是一个关键区别：
1. 计数 (Counting) 使用自然数。这些是离散 (discrete) 数据——你不可能房间里有 2.5 个人。
2. 测量 (Measurement) 使用实数。这些是连续 (continuous) 数据——你的身高可以是 175.5 厘米，如果你的尺够精准，甚至可以是 175.523 厘米！
你知道吗？电脑处理实数时会遇到困难，因为它们可能有无限的小数位。电脑必须对它们进行“四舍五入”，这有时会在复杂的计算中导致微小的误差！
3. 进位制 (Number Bases)
进位制 (Base) 只是计数系统中可用的数字数量。人类喜欢 10 进制，但电脑更喜欢 2 进制。
十进制 (Decimal, Base 10)
这就是你每天使用的系统。它使用 10 个数字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。一旦达到 9，你就会向下一位“进一”。
二进制 (Binary, Base 2)
电脑的母语。它只使用 2 个数字：0 和 1。每个“位元”(bit) 代表一个开关是关闭 (OFF) 还是开启 (ON)。
十六进制 (Hexadecimal, Base 16)
这使用 16 个符号。由于 9 之后没有数字了，我们就使用字母！ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)。
为什么要使用十六进制？
它对人类来说比长串的二进制更容易阅读。例如，电脑中的“白色”在二进制中是 11111111 11111111 11111111，但在十六进制中只是 FFFFFF。它充当了二进制的速记法 (shorthand)。
重点总结：二进制是给电脑看的，十进制是给人类看的，而十六进制是帮助人类理解电脑数据的速记法。
4. 进位制转换
你在考试中一定会遇到进位制转换的要求。这是最简单的处理方法。
二进制转十进制
1. 画一个表，填入 2 的幂次方（从右边开始）。
2. 将你的二进制数字放入表中。
3. 将“1”对应位置的数值加起来。
例子：将 1011 转换为十进制
(8) | (4) | (2) | (1)
1 | 0 | 1 | 1
\( 8 + 0 + 2 + 1 = 11 \)
十进制转二进制
1. 不断减去能够放入该数字中的最大 2 的幂次方。
例子：将 13 转换为二进制
- 16 放得进去吗？不行 (0)
- 8 放得进去吗？可以。 \( 13 - 8 = 5 \)。(写下 1)
- 4 放得进去吗？可以。 \( 5 - 4 = 1 \)。(写下 1)
- 2 放得进去吗？不行。(写下 0)
- 1 放得进去吗？可以。 \( 1 - 1 = 0 \)。(写下 1)
结果：1101
二进制转十六进制
这是学生最爱的方法，因为它非常快！
1. 将你的二进制数字分成每 4 位一组（从右边开始）。
2. 将每一组 4 位元转换为相应的十六进制数值。
例子：将 10101111 转换为十六进制
- 第 1 组：1010（即 10，也就是 A）
- 第 2 组：1111（即 15，也就是 F）
结果：AF
常见错误：转换为十六进制时，别忘了 10 是 A，而不是“10”！如果你写成“10F”而不是“AF”，电脑会以为你写了一个完全不同的数字。
重点总结：进行二进制转换时一定要用表格！这能防止简单的加法错误，并让你的计算过程井井有条，方便考官阅卷。
快速复习：本章总结
- 数字集合： \(\mathbb{N}\) (自然数), \(\mathbb{Z}\) (整数), \(\mathbb{Q}\) (有理数), \(\mathbb{R}\) (实数)。
- 序数： 告诉你在此清单中的位置。
- 计数： 使用自然数。 测量： 使用实数。
- 进位制： 二进制 (2), 十进制 (10), 十六进制 (16)。
- 十六进制速记： 一个十六进制数字正好代表四个二进制位元（即一个 nibble）。