剑桥国际 AS & A Level 数学 9709：纯数学 2 (Paper 2)
第 2.1 章：代数学习笔记
你好！欢迎来到纯数学 2 的代数章节。本节内容旨在深化你对两个核心概念的理解：模函数（即绝对值）和多项式。
如果这些主题在之前让你感到抽象，不用担心。我们会将它们拆解为实际的步骤。掌握这些代数知识至关重要——它为你后续学习微积分和三角函数等主题提供了必不可少的数学基础！
1. 理解模函数（绝对值）
什么是模？
一个数的模，记作 \(|x|\)，表示它在数轴上到原点的距离。
因为距离永远不可能为负，所以模函数的结果始终为正（或为零）。
类比：距离计算器
想象一下你的 GPS 计算距离。无论你是向东行驶 5 km (+5) 还是向西行驶 5 km (-5)，计算出的距离总是 5 km。模函数在数学上就等同于这个距离计算器。
从数学定义上来说：
- 若 \(x \ge 0\)，则 \(|x| = x\)
- 若 \(x < 0\)，则 \(|x| = -x\)
绘制 \(y = |ax + b|\) 的函数图像
模函数的图像因其独特的“V”型而极具辨识度，这是因为原始直线中位于下方的部分被向上翻折了。
要绘制 \(y = |ax + b|\)（例如 \(y = |2x - 4|\)）的图像：
- 画出原始线性函数： 先将 \(y = ax + b\) 当作普通的直线来画（例如 \(y = 2x - 4\)）。
- 找到零点： 确定直线与 x 轴的交点（即 \(ax + b = 0\) 时）。这是 V 型图像的顶点（尖角点）。（在我们的例子中，\(2x - 4 = 0\)，所以 \(x = 2\)）。
- 翻折负值部分： 将直线位于 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折。x 轴上方的正值部分保持不变。
你知道吗？ \(y = |ax + b|\) 的顶点始终是点 \((-\frac{b}{a}, 0)\)。这一点至关重要，因为它是斜率发生突然变化的地方。
求解模方程
在求解涉及模的方程时，我们依赖于一个核心恒等式：
核心恒等式： \(\mathbf{|a| = |b| \Leftrightarrow a^2 = b^2}\)
这个恒等式提供了求解模方程最简便、最稳妥的方法。
步骤示例： 求解 \(|3x - 2| = |2x + 7|\)
- 两边平方： \((3x - 2)^2 = (2x + 7)^2\)
- 展开： \(9x^2 - 12x + 4 = 4x^2 + 28x + 49\)
- 整理成一元二次方程： \(5x^2 - 40x - 45 = 0\)
- 简化并因式分解（或使用求根公式）： \(x^2 - 8x - 9 = 0 \Rightarrow (x - 9)(x + 1) = 0\)
- 解： \(x = 9\) 或 \(x = -1\)
替代方法（分类讨论）： 你也可以对原方程进行两种情况的讨论：
- 情况 1：\(3x - 2 = 2x + 7\)（两边符号相同或等价）
- 情况 2：\(3x - 2 = -(2x + 7)\)（两边符号相反）
求解模不等式
在求解模不等式时，结构是关键。你必须利用模函数与中心点距离相关的特性。
类型 1：小于 (\(
如果 \(|x - a| < b\)，这意味着 \(x\) 到 \(a\) 的距离必须小于 \(b\)。
这可以转化为一个复合不等式：
规则： \(\mathbf{|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b}\)
示例：求解 \(|x - 5| < 3\)。
这里，\(a=5\)，\(b=3\)。解为 \(5 - 3 < x < 5 + 3\)，所以 \(\mathbf{2 < x < 8}\)。
类型 2：大于 (\(>b\))
如果 \(|x - a| > b\)，这意味着 \(x\) 到 \(a\) 的距离必须大于 \(b\)。
这可以转化为两个独立的不等式（通常称为“或”关系）：
规则： \(\mathbf{|x - a| > b \Leftrightarrow x - a > b}\) 或 \(\mathbf{x - a < -b}\)
示例：求解 \(|2x + 1| \ge 5\)。
情况 1：\(2x + 1 \ge 5 \Rightarrow 2x \ge 4 \Rightarrow \mathbf{x \ge 2}\)
情况 2：\(2x + 1 \le -5 \Rightarrow 2x \le -6 \Rightarrow \mathbf{x \le -3}\)
快速复习：模运算重点
1. 模方程通常最好通过两边平方来求解。
2. “小于”关系的不等式会导致一个单一的复合范围。
3. “大于”关系的不等式会导致两个独立的范围（“或”关系）。
2. 多项式：除法、因式与余数
多项式是许多数学函数的基石。在 PM2 中，你需要熟练掌握最高至 4 次多项式的运算。
多项式除法
除法对于寻找因式和根至关重要。你需要能够将多项式 \(P(x)\) 除以一个线性因式（如 \(x-a\)）或一个二次因式（如 \(x^2 + 2x + 1\)）。
除法表达式
当你将多项式 \(P(x)\) 除以除式 \(D(x)\) 时，你会得到一个商式 \(Q(x)\) 和一个余数 \(R\)。
公式： \(P(x) = D(x) \times Q(x) + R(x)\)
步骤演示：长除法
示例：将 \(P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3\) 除以 \(D(x) = x - 1\)。
- 关注最高次项： \(x^3\) 除以 \(x\)（除式中的首项）得到 \(x^2\)。将 \(x^2\) 写在商的位置。
- 相乘： 用除式乘以商的这一项：\(x^2(x - 1) = x^3 - x^2\)。
- 相减： 从原多项式中减去这个乘积。\((x^3 - 5x^2) - (x^3 - x^2) = -4x^2\)。
- 落下下一项： 将 \(+7x\) 落下，现在得到 \(-4x^2 + 7x\)。
- 重复： \(-4x^2\) 除以 \(x\) 得到 \(-4x\)。
- 以此类推，直到余数的次数小于除式的次数。
常见错误： 在进行多项式相减时要格外小心符号！这里很容易出现小失误，导致整个计算结果出错。
余数定理
余数定理是一个绝妙的捷径！它让你无需进行长除法就能直接求出多项式除法的余数。
定理 1（线性除式）： 当多项式 \(P(x)\) 除以线性因式 \((x - a)\) 时，余数就是 \(P(a)\)。
示例：求 \(P(x) = x^3 + x - 1\) 除以 \((x - 2)\) 的余数。
代入 \(x = 2\)：\(P(2) = (2)^3 + 2 - 1 = 8 + 2 - 1 = 9\)。余数为 9。
定理 2（通用线性除式）： 当 \(P(x)\) 除以线性除式 \((ax + b)\) 时，余数是 \(P(-\frac{b}{a})\)。
这第二个定理对 Paper 2 至关重要，因为题目经常涉及 \(x\) 的系数不为 1 的除式。
示例：求 \(P(x) = 2x^2 + 3x + 1\) 除以 \((2x - 1)\) 的余数。
令除式为零：\(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/2\)。
余数为 \(P(1/2) = 2(1/2)^2 + 3(1/2) + 1 = 2(1/4) + 3/2 + 1 = 1/2 + 3/2 + 1 = 2 + 1 = \mathbf{3}\)。
因式定理
因式定理其实只是余数定理的一个特殊情况。
定理： 当且仅当 \(P(a) = 0\) 时，\((x - a)\) 是 \(P(x)\) 的因式。
换句话说，如果代入 \(a\) 后多项式的值为零，那么 \(a\) 就是一个根，且 \((x - a)\) 是一个因式。
我们使用因式定理来：
- 求解多项式中的未知系数（例如，已知 \((x-3)\) 是因式，求 \(k\) 的值）。
- 解多项式方程（例如，通过观察法找到第一个因式，然后利用除法求出剩余的二次因式）。
寻找第一个因式的技巧：
如果多项式 \(P(x)\) 的系数都是整数，那么其整数根通常是常数项的因数。
若 \(P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6\)，尝试代入 \(x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\)。
\(P(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0\)。因为 \(P(2) = 0\)，所以 \((x - 2)\) 是一个因式！
找到一个线性因式后，使用多项式除法将多项式降次为一个简单的二次表达式，然后使用标准方法（因式分解或求根公式）即可轻松求解。
关键总结：多项式
余数定理和因式定理是必备工具。使用因式定理来识别根（即 \(R=0\) 时），并使用多项式除法来求出商式并完成因式分解。当除式为 \((ax+b)\) 时，一定要记住使用 \(P(-\frac{b}{a})\) 这个形式。
如果 \(|x - a| < b\)，这意味着 \(x\) 到 \(a\) 的距离必须小于 \(b\)。
这可以转化为一个复合不等式：
规则： \(\mathbf{|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b}\)
示例：求解 \(|x - 5| < 3\)。
这里，\(a=5\)，\(b=3\)。解为 \(5 - 3 < x < 5 + 3\)，所以 \(\mathbf{2 < x < 8}\)。
类型 2：大于 (\(>b\))
如果 \(|x - a| > b\)，这意味着 \(x\) 到 \(a\) 的距离必须大于 \(b\)。
这可以转化为两个独立的不等式（通常称为“或”关系）：
规则： \(\mathbf{|x - a| > b \Leftrightarrow x - a > b}\) 或 \(\mathbf{x - a < -b}\)
示例：求解 \(|2x + 1| \ge 5\)。
情况 1：\(2x + 1 \ge 5 \Rightarrow 2x \ge 4 \Rightarrow \mathbf{x \ge 2}\)
情况 2：\(2x + 1 \le -5 \Rightarrow 2x \le -6 \Rightarrow \mathbf{x \le -3}\)
快速复习：模运算重点
1. 模方程通常最好通过两边平方来求解。
2. “小于”关系的不等式会导致一个单一的复合范围。
3. “大于”关系的不等式会导致两个独立的范围（“或”关系）。
2. 多项式：除法、因式与余数
多项式是许多数学函数的基石。在 PM2 中，你需要熟练掌握最高至 4 次多项式的运算。
多项式除法
除法对于寻找因式和根至关重要。你需要能够将多项式 \(P(x)\) 除以一个线性因式（如 \(x-a\)）或一个二次因式（如 \(x^2 + 2x + 1\)）。
除法表达式
当你将多项式 \(P(x)\) 除以除式 \(D(x)\) 时，你会得到一个商式 \(Q(x)\) 和一个余数 \(R\)。
公式： \(P(x) = D(x) \times Q(x) + R(x)\)
步骤演示：长除法
示例：将 \(P(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3\) 除以 \(D(x) = x - 1\)。
- 关注最高次项： \(x^3\) 除以 \(x\)（除式中的首项）得到 \(x^2\)。将 \(x^2\) 写在商的位置。
- 相乘： 用除式乘以商的这一项：\(x^2(x - 1) = x^3 - x^2\)。
- 相减： 从原多项式中减去这个乘积。\((x^3 - 5x^2) - (x^3 - x^2) = -4x^2\)。
- 落下下一项： 将 \(+7x\) 落下，现在得到 \(-4x^2 + 7x\)。
- 重复： \(-4x^2\) 除以 \(x\) 得到 \(-4x\)。
- 以此类推，直到余数的次数小于除式的次数。
常见错误： 在进行多项式相减时要格外小心符号！这里很容易出现小失误，导致整个计算结果出错。
余数定理
余数定理是一个绝妙的捷径！它让你无需进行长除法就能直接求出多项式除法的余数。
定理 1（线性除式）： 当多项式 \(P(x)\) 除以线性因式 \((x - a)\) 时，余数就是 \(P(a)\)。
示例：求 \(P(x) = x^3 + x - 1\) 除以 \((x - 2)\) 的余数。
代入 \(x = 2\)：\(P(2) = (2)^3 + 2 - 1 = 8 + 2 - 1 = 9\)。余数为 9。
定理 2（通用线性除式）： 当 \(P(x)\) 除以线性除式 \((ax + b)\) 时，余数是 \(P(-\frac{b}{a})\)。
这第二个定理对 Paper 2 至关重要，因为题目经常涉及 \(x\) 的系数不为 1 的除式。
示例：求 \(P(x) = 2x^2 + 3x + 1\) 除以 \((2x - 1)\) 的余数。
令除式为零：\(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/2\)。
余数为 \(P(1/2) = 2(1/2)^2 + 3(1/2) + 1 = 2(1/4) + 3/2 + 1 = 1/2 + 3/2 + 1 = 2 + 1 = \mathbf{3}\)。
因式定理
因式定理其实只是余数定理的一个特殊情况。
定理： 当且仅当 \(P(a) = 0\) 时，\((x - a)\) 是 \(P(x)\) 的因式。
换句话说，如果代入 \(a\) 后多项式的值为零，那么 \(a\) 就是一个根，且 \((x - a)\) 是一个因式。
我们使用因式定理来：
- 求解多项式中的未知系数（例如，已知 \((x-3)\) 是因式，求 \(k\) 的值）。
- 解多项式方程（例如，通过观察法找到第一个因式，然后利用除法求出剩余的二次因式）。
寻找第一个因式的技巧：
如果多项式 \(P(x)\) 的系数都是整数，那么其整数根通常是常数项的因数。
若 \(P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6\)，尝试代入 \(x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\)。
\(P(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0\)。因为 \(P(2) = 0\)，所以 \((x - 2)\) 是一个因式！
找到一个线性因式后，使用多项式除法将多项式降次为一个简单的二次表达式，然后使用标准方法（因式分解或求根公式）即可轻松求解。
关键总结：多项式
余数定理和因式定理是必备工具。使用因式定理来识别根（即 \(R=0\) 时），并使用多项式除法来求出商式并完成因式分解。当除式为 \((ax+b)\) 时，一定要记住使用 \(P(-\frac{b}{a})\) 这个形式。