Integration

Pure Mathematics 2 (9709) 学习笔记：第 2.5 章 积分 (Integration)

你好，未来的数学家！

欢迎来到 Paper 2 的积分章节！如果说微分像驾驶汽车向前行，那么积分就像倒车——你需要从结果（斜率函数）反推回原本的函数。

在 Pure 1 中，你已经掌握了基本功。而在 Pure 2，我们会将规则扩展至更复杂的函数，特别是涉及指数函数、对数及新的三角函数形式。此外，我们还会学习一个关键的数值方法——梯形法则 (Trapezium Rule)，用于估算面积。

别担心，如果起初觉得有点棘手是很正常的！ 我们将会一步步拆解重要的规则与方法，重点专注于 Paper 2 考试大纲要求的内容。

1. 作为微分逆运算的积分 (P2 扩展内容)

积分的核心原则不变：它是微分的逆过程。P2 的关键差异在于将此原则应用于内部为线性函数的函数，具体形式为 \((ax + b)\)。

核心概念：“除以 a”规则

当你微分像 \(f(ax+b)\) 这样的函数时，你需要乘以括号内的导数 (\(a\))。因此，当你积分 \(f'(ax+b)\) 时，必须除以 \(a\)。

常见错误警示： 对于不定积分，永远记得加上积分常数 \(+ C\)。如果漏掉它，你会被扣分的！

P2 扩展积分规则 (当 \(n \neq -1\))

以下是 Paper 2 必备的扩展规则：

1. 幂函数规则扩展：（用于多项式项）
\(\int (ax + b)^n dx = \frac{1}{a} \cdot \frac{(ax + b)^{n+1}}{n+1} + C\)

2. 指数函数：
\(\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C\)
例子： \(\int 4e^{3x-1} dx = 4 \cdot \frac{1}{3} e^{3x-1} + C = \frac{4}{3} e^{3x-1} + C\)

3. 倒数函数（导出 \(\ln\)）：
微分 \(\ln|x|\) 得到 \(\frac{1}{x}\)，因此倒数函数的积分结果为 \(\ln|x|\)。
\(\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C\)
（记得加上模数符号 \(| \dots |\)，因为对数只能对正数进行运算！）
例子： \(\int \frac{5}{2x-7} dx = 5 \cdot \frac{1}{2} \ln|2x-7| + C = \frac{5}{2} \ln|2x-7| + C\)

4. 三角函数：
回顾：微分 \(\sin\) 得到 \(\cos\)；微分 \(\cos\) 得到 \(-\sin\)。
\(\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C\)
\(\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C\)
\(\int \sec^2(ax+b) dx = \frac{1}{a} \tan(ax+b) + C\)

第 1 部分重点总结：

P2 积分的核心在于逆转线性函数的链式法则。请先进行正常的积分，然后务必除以内部函数中 \(x\) 的系数。

2. 使用三角恒等式进行积分

有时候函数不能直接积分，但如果先重写它，问题就迎刃而解。在 Pure 2 中，使用倍角公式处理正弦和余弦平方项（如 \(\sin^2 x\)）是必备技能。

为什么需要恒等式？

你知道如何积分 \(\cos x\) 或 \(\cos(2x)\)，但对于 \(\int \cos^2 x dx\) 或 \(\int \sin^2 x dx\) 并没有直接的公式。我们需要将这些平方项转换为我们可以积分的形式。

P2 积分必备恒等式

你必须熟练使用倍角公式的重排形式：

1. 对于 \(\cos^2 \theta\)： 使用 \(\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1\)。
重排后： \(\mathbf{\cos^2 \theta = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\theta)}\)

2. 对于 \(\sin^2 \theta\)： 使用 \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta\)。
重排后： \(\mathbf{\sin^2 \theta = \frac{1}{2}(1 - \cos 2\theta)}\)

分步例子

例子：计算 \(\int \sin^2(2x) dx\)。

步骤 1：识别角。 这里的角度是 \(2x\)。倍角公式使用的是 \(2\theta\)。若 \(\theta = 2x\)，则 \(2\theta = 4x\)。
步骤 2：应用恒等式。
\(\sin^2(2x) = \frac{1}{2}(1 - \cos (2 \cdot 2x)) = \frac{1}{2}(1 - \cos 4x)\)
步骤 3：对转换后的函数进行积分。
\(\int \frac{1}{2}(1 - \cos 4x) dx = \frac{1}{2} \int 1 dx - \frac{1}{2} \int \cos 4x dx\)
\(= \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \sin 4x \right) + C\)
\(= \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \sin 4x + C\)

第 2 部分重点总结：

如果在积分式中看到 \(\sin^2(\dots)\) 或 \(\cos^2(\dots)\)，请立即联想到相应的倍角公式，在积分前先改写表达式。

3. 梯形法则 (数值积分)

定积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 表示曲线 \(y = f(x)\) 在 \(x=a\) 和 \(x=b\) 之间的准确面积。当面积过于复杂而无法求出精确解，或只给出了数据点时，我们使用数值方法来估算面积。

什么是梯形法则？

梯形法则不是使用矩形（如同黎曼和），而是通过将区域划分为垂直条状（梯形）来近似面积。你使用的条数越多，估算值就越准确。

梯形法则公式

使用 \(n\) 个条状（意即有 \(n+1\) 个纵坐标或 \(y\) 值）来估算 \(\int_a^b f(x) dx\)：
1. 计算条宽：\(h = \frac{b - a}{n}\)
2. 套用公式：
\(A \approx \frac{h}{2} [(y_0 + y_n) + 2(y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1})]\)

记忆辅助： 公式意思为：\(\frac{h}{2}\) 乘以 [ (首个 \(y\) + 最后一个 \(y\)) + 2(所有其他 \(y\) 之和) ]

分步计算

1. 计算 h： 根据区间 \([a, b]\) 和条数 \(n\) 确定条宽。
2. 建立表格： 列出 \(x\) 值（从 \(a=x_0\) 开始，到 \(b=x_n\) 结束）并计算对应的 \(y\) 值 (\(y = f(x)\))。
3. 代入公式： 仔细分辨“端点”(\(y_0, y_n\)) 和“中间点”(\(y_1, y_2, \dots\))。
4. 计算： 进行运算并根据要求保留有效位数（通常为 3 位有效数字）。

确定过高估计 (Over-estimate) 或过低估计 (Under-estimate)

考试大纲要求你通过绘制草图来判断梯形法则的估算结果是否大于（过高估计）或小于（过低估计）真实值。这取决于曲线的凹凸性 (Concavity)。

梯形的一条线段连接曲线上的两点。

过高估计： 如果曲线是向上凹的 (concave up)（像一个笑脸，从切线向上弯曲），梯形的直线位于曲线的上方。
（记法：该形状可以承载水。）

过低估计： 如果曲线是向下凹的 (concave down)（像一个苦脸，从切线向下弯曲），梯形的直线位于曲线的下方。
（记法：该形状会倾倒水。）

第 3 部分重点总结：

梯形法则是估算面积的快捷方法。精确度取决于条数 \(n\)。你需要能够正确运用公式，并能通过凹凸性与简单的草图解释误差的性质（过高或过低估计）。