Trigonometry

Pure Mathematics 2 (Paper 2) 学习笔记：三角学

你好，未来的数学家！欢迎来到 Paper 2 的三角学章节。如果你已经在 Pure Mathematics 1 (P1) 掌握了 \(\sin\)、\(\cos\) 和 \(\tan\) 的基础知识，那么在 P2，我们将要解锁这些函数的“超能力”！

在本章中，我们会引入三个新的函数以及一系列强大的恒等式，让你能够简化复杂的表达式，并解出更具挑战性的三角方程。如果这里的公式看起来很多，别担心；我们会教你一些记忆技巧，并告诉你何时以及为何要使用它们。

来自 P1 的关键回顾（必备先修知识）

在深入探讨之前，请确保你已熟悉以下内容：
• \(y = \sin x\)、\(y = \cos x\) 和 \(y = \tan x\) 的图像。
• 恒等式 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)。
• 在指定范围内（例如 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\) 或 \(-\pi < x < \pi\)）解简单的三角方程。

1. 三个新的三角函数

在 P2，我们引入三个倒数三角函数 (reciprocal trigonometric functions)。它们其实就是你已经熟悉的那些函数的乘法逆元（即倒数）。

定义与关系

新的函数分别是正割 (Secant) (\(\sec \theta\))、余割 (Cosecant) (\(\csc \theta\) 或有时记作 \(\text{cosec } \theta\)) 和余切 (Cotangent) (\(\cot \theta\))。

• 正割 (Secant)： \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\)
• 余割 (Cosecant)： \(\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
• 余切 (Cotangent)： \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)

记忆小窍门：Co-规则
如果原始函数没有以“co”开头，其倒数函数则有以“co”开头，反之亦然。
• \(\mathbf{S}\)ine (正弦) 对应 \(\mathbf{C}\)osecant (余割)。
• \(\mathbf{C}\)osine (余弦) 对应 \(\mathbf{S}\)ecant (正割)。
• \(\mathbf{T}\)angent (正切) 对应 \(\mathbf{C}\)otangent (余切)。

图像与渐近线

在绘制这些图像时，请记住：只要原始函数的值为零，倒数函数就会无定义，从而产生一条渐近线 (asymptote)。

1. \(y = \sec \theta\) (\(\cos \theta\) 的倒数)

• 渐近线： 出现在 \(\cos \theta = 0\) 的地方，即 \(90^\circ, 270^\circ, 450^\circ, \dots\) 或 \(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots\)。
• 值域 (Range)： 由于 \(-1 \le \cos \theta \le 1\)，倒数函数必然满足 \(y \le -1\) 或 \(y \ge 1\)。图像永远不会存在于 -1 和 1 之间。

2. \(y = \csc \theta\) (\(\sin \theta\) 的倒数)

• 渐近线： 出现在 \(\sin \theta = 0\) 的地方，即 \(0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, \dots\) 或 \(0, \pi, 2\pi, \dots\)。
• 值域： 与 \(\sec \theta\) 类似，值域为 \(y \le -1\) 或 \(y \ge 1\)。

关键点： 倒数函数让我们能处理三角学中的除法问题。它们的图像显示函数跳过了 -1 到 1 之间的区域。

2. 勾股恒等式（新一代）

我们从 P1 的基础恒等式开始：\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)。

通过将此恒等式先除以 \(\cos^2 \theta\)，再除以 \(\sin^2 \theta\)，我们可以生成 P2 及以后学习中不可或缺的两个新恒等式。

恒等式 1：正割与正切的关系

将 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 除以 \(\mathbf{\cos^2 \theta}\)：
\(\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}\)
\(\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta\)

公式 1：\(\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta\)

恒等式 2：余割与余切的关系

将 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 除以 \(\mathbf{\sin^2 \theta}\)：
\(\frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}\)
\(1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\)

公式 2：\(\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta\)

这两个恒等式主要用于简化表达式，或解决同时出现 \(\tan\) 与 \(\sec\)，或者 \(\cot\) 与 \(\csc\) 的方程。

关键点： 倒数恒等式让你能在不同的三角函数间进行转换，这通常能将复杂的表达式变得易于处理。它们是大多数 P2 三角证明和简化题目的关键。

3. 和角（加法）公式

如果你需要求两个角之和的正弦值，比如 \(\sin(A+B)\)，该怎么办？它绝对不是 \(\sin A + \sin B\)！我们需要用到和角公式。

公式（一定要记住！）

正弦和差：

\(\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\)

余弦和差：

\(\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\)

正切和差：

\(\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}\)

记忆小窍门：正弦很随和；余弦很傲娇

• 正弦公式 (\(\sin(A \pm B)\))： 正弦很“随和”——它与和角保留同样的符号 (\(\pm\))，且它会将函数混合在一起 (\(\sin\) 和 \(\cos\) 一起)。
• 余弦公式 (\(\cos(A \pm B)\))： 余弦很“傲娇”——它会改变符号 (\(\mp\))，且它会将函数分组起来 (全部 \(\cos\) 在一起，全部 \(\sin\) 在一起)。

和角公式的应用

主要用途包括：

1. 精确值计算： 求出非 30、45 或 60 度的角度的精确值（例如 \(\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ)\)）。
2. 简化： 改写如 \(\cos(x - 30^\circ)\) 的表达式，使其更容易进行求导或积分（或者单纯为了符合题目要求的证明形式）。

你知道吗？和角公式是几乎所有高等三角学的基础。倍角公式和辅助角公式其实都只是它们的特例！

关键点： 和角公式让你将和角函数分解为单一角度函数的混合体。在使用余弦公式时，请务必极度小心符号的变化！

4. 倍角公式

这些公式是通过在和角公式中令 \(A = B\) 推导出来的。它们在解方程、简化表达式，特别是积分（在 P3/P2 延伸课程中）方面非常实用。

公式

1. 正弦倍角： (在 \(\sin(A+B)\) 中令 \(A=B\))
\(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\)

2. 余弦倍角： (在 \(\cos(A+B)\) 中令 \(A=B\))
\(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\)

关于 \(\cos 2A\) 的重要笔记： 利用恒等式 \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)，我们可以代入并得到另外两种形式：

• \(\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1\)
• \(\cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A\)

你必须熟悉全部三种形式！涉及 \(2 \cos^2 A - 1\) 和 \(1 - 2 \sin^2 A\) 的形式，在微积分中处理正弦或余弦的幂次时至关重要。

3. 正切倍角： (在 \(\tan(A+B)\) 中令 \(A=B\))
\(\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\)

关键点： 倍角公式将 \(2A\) 的函数与 \(A\) 的函数联系起来。记得 \(\cos 2A\) 的三种形式。

5. 辅助角公式 (R-Formula)

辅助角公式是 P2 三角学中最独特也最重要的技能之一。它让我们能将正弦和余弦的线性组合 (\(a \sin \theta + b \cos \theta\)) 改写成一个单一的合并波函数。

目标： 将 \(a \sin \theta + b \cos \theta\) 表达成 \(R \sin(\theta \pm \alpha)\) 或 \(R \cos(\theta \pm \alpha)\) 的形式。

比喻： 想象两道波浪撞击一面墙。辅助角公式能帮你计算最终合成的那个波（它的波峰高度 \(R\)，以及相移 \(\alpha\)）。

求 R 和 \(\alpha\) 的步骤

我们以目标形式 \(R \sin(\theta + \alpha)\) 为例，其中 \(R > 0\) 且 \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)（或 \(0 < \alpha < \pi/2\)）。

步骤 1：展开目标形式。

使用和角公式：

\(R \sin(\theta + \alpha) = R(\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha)\)
\(R \sin(\theta + \alpha) = (R \cos \alpha) \sin \theta + (R \sin \alpha) \cos \theta\)

步骤 2：比较系数。

将展开后的式子与原始表达式 \(a \sin \theta + b \cos \theta\) 对比：

• \(\sin \theta\) 的系数：\(R \cos \alpha = a\) (方程 I)
• \(\cos \theta\) 的系数：\(R \sin \alpha = b\) (方程 II)

步骤 3：计算 R (振幅)。

将方程 I 和 II 平方后相加，并利用 \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\)：

\((R \cos \alpha)^2 + (R \sin \alpha)^2 = a^2 + b^2\)
\(R^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = a^2 + b^2\)
\(R^2 (1) = a^2 + b^2\)

结果：\(R = \sqrt{a^2 + b^2}\)

步骤 4：计算 \(\alpha\) (相移)。

将方程 II 除以方程 I：

\(\frac{R \sin \alpha}{R \cos \alpha} = \frac{b}{a}\)

结果：\(\tan \alpha = \frac{b}{a}\)

关键点： 计算 \(\alpha\) 时，必须使用原始表达式 \(a \sin \theta + b \cos \theta\) 中的 \(a\) 和 \(b\) 来确定 \(R \sin \alpha\) 和 \(R \cos \alpha\) 的正负号。由于 \(R\) 永远为正，\(a\) 和 \(b\) 的正负决定了 \(\alpha\) 所在的象限。

例子：将 \(4 \cos \theta - 3 \sin \theta\) 写成 \(R \cos(\theta + \alpha)\) 的形式。

1. 展开 \(R \cos(\theta + \alpha) = R(\cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha)\)
2. 与 \(4 \cos \theta - 3 \sin \theta\) 对比：
• \(R \cos \alpha = 4\) (正)
• \(R \sin \alpha = 3\) (正——忽略原本表达式中的负号，因为它已被展开式的符号变更所吸收)。
3. \(R = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5\)
4. \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\)。（因为 \(R \sin \alpha\) 和 \(R \cos \alpha\) 均为正，\(\alpha\) 在第一象限。）
\(\alpha = \tan^{-1}(3/4) \approx 36.9^\circ\)
答案：\(5 \cos(\theta + 36.9^\circ)\)

为什么使用辅助角公式？

我们用它来解复杂的三角方程或求最大/最小值。

• 若 \(f(\theta) = R \sin(\theta + \alpha)\)，则最大值为 \(R\)，最小值为 \(-R\)。
• 方程 \(a \sin \theta + b \cos \theta = k\) 会变为 \(R \sin(\theta \pm \alpha) = k\)，这变成了一个简单的 P1 风格方程。

关键点： 辅助角公式将正弦和余弦的和转化为单一的、易处理的波。\(R\) 用勾股定理求，\(\alpha\) 用正切求，并务必确认 \(\alpha\) 的象限。