Differentiation

掌握微分学（纯数学 2）

欢迎来到纯数学 2 (Pure Mathematics 2) 的微分章节！如果你已经学过 P1 中的微分知识，那么你一定知道，微分的核心就是寻找曲线的变化率，即斜率。
在 P2 中，我们将通过引入 $e^x$、$\ln x$ 以及高级三角函数等令人兴奋的新函数，来大幅升级这些技能。我们还将学习强有力的全新法则——乘积法则、商法则、隐函数求导法则和参数方程求导法则，这些法则让我们几乎可以对任何函数组合进行求导。
熟练掌握这些技巧至关重要，因为它们是后续 Paper 3 微积分学习的基石！

1. P2 基础导数：你的新工具箱

在 P1 中，你主要使用了幂函数求导法则 $(x^n)$。而在 P2 中，你需要熟记以下五个重要的导数公式。它们常与链式法则（Chain Rule）结合考察。

快速复习：核心导数 ($f(x) \rightarrow f'(x)$)

指数函数：
若 $y = e^x$，则 $\frac{dy}{dx} = e^x$。
（类比：$e^x$ 是“微积分之王”——无论如何微分，它都保持不变。它是唯一一个导数仍为自身的函数！）
自然对数函数：
若 $y = \ln x$，则 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$。
正弦函数：
若 $y = \sin x$，则 $\frac{dy}{dx} = \cos x$。
余弦函数：
若 $y = \cos x$，则 $\frac{dy}{dx} = -\sin x$。
（记忆小贴士：任何以“C”开头的三角函数（$\cos x$、$\cot x$、$\csc x$），其导数都带有负号！）
正切函数：
若 $y = \tan x$，则 $\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$。

复合函数法则（复习链式法则）

链式法则 (Chain Rule) 对于微分“函数中的函数”（即复合函数）至关重要。它在 P2 的新函数中经常出现。
若 $y = f(g(x))$，则 $\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \times g'(x)$。

复合函数求导步骤：

对外部函数求导（保持内部函数不变）。
将结果乘以内部函数的导数。

例题： 对 $y = e^{4x^2 - 1}$ 求导。
1. 外部函数是 $e^u$，其导数仍为 $e^{4x^2 - 1}$。
2. 内部函数是 $4x^2 - 1$，其导数为 $8x$。
因此，$\frac{dy}{dx} = 8x \cdot e^{4x^2 - 1}$。

重点总结： 熟练掌握 $e^x$、$\ln x$、$\sin x$、$\cos x$ 和 $\tan x$ 的导数。做题时一定要时刻检查是否需要对复合函数使用链式法则。

2. 乘积法则与商法则

当两个关于 $x$ 的函数相乘或相除时，你不能直接对它们分别求导。必须使用乘积法则或商法则。

2.1. 乘积法则 (Product Rule)

用于对 $y = u \cdot v$ 形式的函数求导，其中 $u$ 和 $v$ 都是 $x$ 的函数。
公式： $\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$（也可以写作 $u v' + v u'$）

操作流程：

定义 $u$ 和 $v$，并求出它们的导数 $\frac{du}{dx}$ 和 $\frac{dv}{dx}$。
代入公式。

例题： 求 $y = x^2 \ln x$ 的 $\frac{dy}{dx}$。
令 $u = x^2$，则 $\frac{du}{dx} = 2x$。
令 $v = \ln x$，则 $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$。
$\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} = x^2 \left( \frac{1}{x} \right) + (\ln x) (2x)$
$\frac{dy}{dx} = x + 2x \ln x$。

2.2. 商法则 (Quotient Rule)

用于对 $y = \frac{u}{v}$ 形式的函数求导，其中 $u$ 和 $v$ 都是 $x$ 的函数。
公式： $\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$（也可以写作 $\frac{v u' - u v'}{v^2}$）

记忆小贴士： 许多同学记作“低乘高导减去高乘低导，除以分母的平方。”（即先对分母/“低”部分求导）。

例题： 求 $y = \frac{2x - 4}{3x + 2}$ 的 $\frac{dy}{dx}$。（教学大纲例题）
令 $u = 2x - 4$，则 $\frac{du}{dx} = 2$。
令 $v = 3x + 2$，则 $\frac{dv}{dx} = 3$。
$\frac{dy}{dx} = \frac{(3x+2)(2) - (2x-4)(3)}{(3x+2)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{6x + 4 - (6x - 12)}{(3x+2)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{16}{(3x+2)^2}$。

常见误区： 在商法则中，顺序很重要！分子部分一定要先写分母 ($v$) 乘以分子的导数 ($u'$)。

重点总结： 乘法用乘积法则 ($u v' + v u'$)，除法用商法则 ($\frac{v u' - u v'}{v^2}$)。

3. 隐函数求导 (Implicit Differentiation)

有时，定义曲线的方程中 $x$ 和 $y$ 混在一起，很难甚至无法变形为 $y = f(x)$ 的形式。这就是隐函数（例如 $x^2 + y^2 = xy + 7$）。
我们使用隐函数求导法，通过对所有项关于 $x$ 求导来得到 $\frac{dy}{dx}$。

对 $y$ 项求导的关键步骤

每当你对包含 $y$ 的项求导时，必须将 $y$ 视为 $x$ 的函数，并使用链式法则。

若 $f(y)$ 是 $y$ 的函数，则 $\frac{d}{dx}[f(y)] = f'(y) \cdot \frac{dy}{dx}$。

对 $y^2$ 求导变成 $2y \cdot \frac{dy}{dx}$。
对 $\sin(y)$ 求导变成 $\cos(y) \cdot \frac{dy}{dx}$。

隐函数求导步骤

例题： 求 $x^2 + y^2 = xy + 7$ 的 $\frac{dy}{dx}$。

逐项对 $x$ 求导：
$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(7)$
（注意：对 $xy$ 项使用乘积法则，其中 $u=x, v=y$）
应用求导法则及对 $y$ 的链式法则：
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \left[ x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot 1 \right] + 0$
将所有包含 $\frac{dy}{dx}$ 的项移到等式一边：
$2y \frac{dy}{dx} - x \frac{dy}{dx} = y - 2x$
提取公因式 $\frac{dy}{dx}$ 并求解：
$\frac{dy}{dx} (2y - x) = y - 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x}$

重点总结： 隐函数求导实质上就是作用在 $y$ 上的链式法则。每当你对 $y$ 项求导，千万别忘了乘以 $\frac{dy}{dx}$。

4. 参数方程求导 (Parametric Differentiation)

在 P2 中，曲线有时会用第三个变量（通常为 $t$，称为参数）来定义。我们不再有 $y = f(x)$，而是 $x$ 和 $y$ 都分别由 $t$ 定义（例如 $x = 2t^3, y = 3t^2$）。
为了求 $\frac{dy}{dx}$，我们使用链式法则的变体：

参数方程求导公式

公式： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$

参数方程求导步骤

例题： 曲线由 $x = t - e^{2t}$ 和 $y = t + e^{2t}$ 定义。求 $\frac{dy}{dx}$。（教学大纲例题）

求 $\frac{dx}{dt}$：
$\frac{dx}{dt} = 1 - 2e^{2t}$ （记得对 $e^{2t}$ 使用链式法则）
求 $\frac{dy}{dt}$：
$\frac{dy}{dt} = 1 + 2e^{2t}$
应用公式：
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1 + 2e^{2t}}{1 - 2e^{2t}}$

你知道吗？ 参数方程非常适合描述运动，其中 $t$ 代表时间，能给出物体在任一时刻的精确位置 $(x, y)$。

重点总结： 分别对 $x$ 和 $y$ 关于参数 ($t$) 求导，然后用 $\frac{dy}{dt}$ 除以 $\frac{dx}{dt}$。

5. 微分的应用

5.1. 切线与法线

核心应用与 P1 保持一致，但现在你需要将其应用于复杂的 P2 函数（包括隐函数和参数形式）。

在某一点 $(x_0, y_0)$ 处切线的斜率为 $m_T = \frac{dy}{dx}$ 在该点的值。
法线（垂直于切线）的斜率为 $m_N = -\frac{1}{m_T}$。
使用直线方程 $y - y_0 = m(x - x_0)$ 求出直线方程。

5.2. 相关变化率 (Connected Rates of Change)

此应用联系了随时间变化的不同变量（例如，如果球的半径以特定速率增加，那么体积增加的速度是多少）。

我们利用链式法则来关联变化率：

若 $A$ 依赖于 $B$，而 $B$ 依赖于时间 $t$，则 $A$ 关于 $t$ 的变化率为：
$$\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dB} \times \frac{dB}{dt}$$

例题： 圆形油污的半径 $r$ 以 $0.5 \text{ m/s}$ 的速率增加 ($\frac{dr}{dt} = 0.5$)。求当 $r=10 \text{ m}$ 时，面积 $A$ 的增加速率 ($\frac{dA}{dt}$)。

确定关系： $A = \pi r^2$。
求关联导数： $\frac{dA}{dr} = 2\pi r$。
使用链式法则： $\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}$。
代入计算： $\frac{dA}{dt} = (2\pi r) \times (0.5)$。
当 $r=10$ 时：$\frac{dA}{dt} = (2\pi \cdot 10) \times 0.5 = 10\pi \text{ m}^2/\text{s}$。

重点总结： 相关变化率问题总是依赖于通过两个已知速率和一个由公式计算出的导数（如面积或体积公式）来关联三个变量。

快速复习：P2 微分关键技巧

新导数： $e^x$、$\ln x$、$\sin x$、$\cos x$、$\tan x$。
乘积法则 (UV)： $u v' + v u'$。
商法则 (U/V)： $\frac{v u' - u v'}{v^2}$。
隐函数： 对 $y$ 项求导后，记得乘以 $\frac{dy}{dx}$。
参数方程： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$。

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