掌握微分法（纯数 Pure Mathematics 2）

欢迎来到纯数 P2 的微分章节！如果你已经掌握了 P1 的微分基础，那你应该知道微分的核心在于求取曲线的变化率（rate of change），也就是斜率。
在 P2 中，我们将会进一步提升这些技巧，引入如 \(e^x\)、\(\ln x\) 以及高级三角函数等新颖且有趣的函数。同时，我们也会学习强大的新法则——乘积法则（Product Rule）、商法则（Quotient Rule）、隐函数求导法则（Implicit Differentiation）以及参数方程求导法则（Parametric Differentiation），这些法则让我们几乎能对任何函数组合进行求导。
熟练这些技巧至关重要，因为它们是后续 Paper 3 微积分内容的基石！

1. P2 微分基础：你的新工具箱

在 P1 中，你主要使用的是幂函数求导法则（power rule）来处理 \(x^n\)。在 P2，你需要将以下五个基本导数公式熟记于心。它们通常会与链式法则（chain rule）结合在一起考查。

重点复习：核心导数公式 (\(f(x) \rightarrow f'(x)\))

• 指数函数：
若 \(y = e^x\)，则 \(\frac{dy}{dx} = e^x\)。
（类比：\(e^x\) 是“微积分之王”——求导后它依然保持不变。这是唯一一个求导后仍等于自身的函数！）

• 自然对数函数：
若 \(y = \ln x\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\)。

• 正弦函数：
若 \(y = \sin x\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \cos x\)。

• 余弦函数：
若 \(y = \cos x\)，则 \(\frac{dy}{dx} = -\sin x\)。
（记忆小贴士：任何以“C”开头的三角函数（\(\cos x\)、\(\cot x\)、\(\csc x\)），其导数必定带有负号！）

• 正切函数：
若 \(y = \tan x\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \sec^2 x\)。

复合函数法则（链式法则复习）

链式法则（Chain Rule）对于处理函数中的函数（复合函数）至关重要，在 P2 的新函数中频繁出现。
若 \(y = f(g(x))\)，则 \(\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \times g'(x)\)。

处理复合函数的步骤：
1. 对外层函数进行求导（同时保持内部函数不变）。
2. 将结果乘以内层函数的导数。

例题： 对 \(y = e^{4x^2 - 1}\) 求导。
1. 外层函数是 \(e^u\)，其导数为 \(e^{4x^2 - 1}\)。
2. 内层函数是 \(4x^2 - 1\)，其导数为 \(8x\)。
因此，\(\frac{dy}{dx} = 8x \cdot e^{4x^2 - 1}\)。

关键要点： 务必熟练掌握 \(e^x\)、\(\ln x\)、\(\sin x\)、\(\cos x\) 和 \(\tan x\) 的导数。随时检查是否需要对复合函数应用链式法则。

2. 乘法与除法求导法则

当两个关于 \(x\) 的函数相乘或相除时，不能简单地分别求导。你必须使用乘积法则或商法则。

2.1. 乘积法则（The Product Rule）

用于对形式为 \(y = u \cdot v\) 的函数求导，其中 \(u\) 和 \(v\) 均为 \(x\) 的函数。
公式： \(\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\)（也可以写作 \(u v' + v u'\)）

步骤：
1. 定义 \(u\) 和 \(v\)，并求出它们的导数 \(\frac{du}{dx}\) 和 \(\frac{dv}{dx}\)。
2. 代入公式计算。

例题： 求 \(y = x^2 \ln x\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。
设 \(u = x^2\)，则 \(\frac{du}{dx} = 2x\)。
设 \(v = \ln x\)，则 \(\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}\)。
\(\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} = x^2 \left( \frac{1}{x} \right) + (\ln x) (2x)\)
\(\frac{dy}{dx} = x + 2x \ln x\)。

2.2. 商法则（The Quotient Rule）

用于对形式为 \(y = \frac{u}{v}\) 的函数求导，其中 \(u\) 和 \(v\) 均为 \(x\) 的函数。
公式： \(\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)（也可以写作 \(\frac{v u' - u v'}{v^2}\)）

记忆小贴士： 许多同学记为“低乘上导减去上乘低导，再除以低平方”（即先对分母（low）进行处理）。

例题： 求 \(y = \frac{2x - 4}{3x + 2}\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。（教学大纲例题）
设 \(u = 2x - 4\)，则 \(\frac{du}{dx} = 2\)。
设 \(v = 3x + 2\)，则 \(\frac{dv}{dx} = 3\)。
\(\frac{dy}{dx} = \frac{(3x+2)(2) - (2x-4)(3)}{(3x+2)^2}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{6x + 4 - (6x - 12)}{(3x+2)^2}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{16}{(3x+2)^2}\)。

应避免的常见错误： 在应用商法则时，顺序非常重要！分子部分一定要先写分母（\(v\)）乘以分子的导数（\(u'\)）。

关键要点： 乘法用乘积法则（\(u v' + v u'\)），除法用商法则（\(\frac{v u' - u v'}{v^2}\)）。

3. 隐函数求导法（Implicit Differentiation）

有时，定义曲线的方程中 \(x\) 和 \(y\) 混在一起，要将其整理为 \(y = f(x)\) 的形式非常困难甚至不可能。这就是隐函数（implicit function）（例如 \(x^2 + y^2 = xy + 7\)）。
我们使用隐函数求导法，通过对所有项进行关于 \(x\) 的求导来求出 \(\frac{dy}{dx}\)。

对 \(y\) 项进行求导的关键步骤

每当你对包含 \(y\) 的项进行求导时，必须将 \(y\) 视为 \(x\) 的函数，并应用链式法则。

若 \(f(y)\) 是 \(y\) 的函数，则 \(\frac{d}{dx}[f(y)] = f'(y) \cdot \frac{dy}{dx}\)。

• 对 \(y^2\) 求导变成 \(2y \cdot \frac{dy}{dx}\)。
• 对 \(\sin(y)\) 求导变成 \(\cos(y) \cdot \frac{dy}{dx}\)。

隐函数求导法逐步指南

例题： 求 \(x^2 + y^2 = xy + 7\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。
1. 逐项对 \(x\) 求导：
\(\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(7)\)
（注意：对于 \(xy\) 项，我们使用乘积法则，设 \(u=x, v=y\)）
2. 套用法则及 \(y\) 的链式法则：
\(2x + 2y \frac{dy}{dx} = \left[ x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot 1 \right] + 0\)
3. 将所有 \(\frac{dy}{dx}\) 项移至同一侧：
\(2y \frac{dy}{dx} - x \frac{dy}{dx} = y - 2x\)
4. 提取 \(\frac{dy}{dx}\) 公因式并解出：
\(\frac{dy}{dx} (2y - x) = y - 2x\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x}\)

关键要点： 隐函数求导法本质上就是将链式法则应用于 \(y\)。每当对一个包含 \(y\) 的项求导，记得乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。

4. 参数方程求导法（Parametric Differentiation）

在 P2 中，曲线可能会由第三个变量（通常是 \(t\)，称为参数）来定义。我们不再是 \(y = f(x)\)，而是分别有 \(x\) 由 \(t\) 定义及 \(y\) 由 \(t\) 定义（例如 \(x = 2t^3, y = 3t^2\)）。
要找出 \(\frac{dy}{dx}\)，我们使用链式法则的变形公式：

参数方程求导公式

公式： \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)

参数方程求导逐步指南

例题： 曲线定义为 \(x = t - e^{2t}\) 及 \(y = t + e^{2t}\)。求 \(\frac{dy}{dx}\)。（教学大纲例题）
1. 求 \(\frac{dx}{dt}\)：
\(\frac{dx}{dt} = 1 - 2e^{2t}\) （记得对 \(e^{2t}\) 使用链式法则）
2. 求 \(\frac{dy}{dt}\)：
\(\frac{dy}{dt} = 1 + 2e^{2t}\)
3. 代入公式：
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1 + 2e^{2t}}{1 - 2e^{2t}}\)

你知道吗？ 参数方程非常适合描述物体运动，其中 \(t\) 代表时间，让我们能得出物体在任何时刻的确切位置 \((x, y)\)。

关键要点： 分别对参数（\(t\)）对 \(x\) 和 \(y\) 求导，然后用 \(\frac{dy}{dt}\) 除以 \(\frac{dx}{dt}\)。

5. 微分法的应用

5.1. 切线与法线（Tangents and Normals）

核心应用与 P1 相同，但现在你需要将其应用于复杂的 P2 函数（包括隐函数和参数形式）。

• 在点 \((x_0, y_0)\) 处，切线（Tangent）的斜率为 \(m_T = \frac{dy}{dx}\) 在该点的值。
• 法线（Normal，与切线垂直）的斜率为 \(m_N = -\frac{1}{m_T}\)。
• 使用直线方程 \(y - y_0 = m(x - x_0)\) 求出直线方程。

5.2. 相关变化率（Connected Rates of Change）

此应用联系了随时间变化的不同变量（例如：若球体半径以特定速率增加，球体体积增加的速率为何）。

我们使用链式法则结构来联系变化率：

若 \(A\) 依赖于 \(B\)，而 \(B\) 又依赖于时间 \(t\)，则 \(A\) 对 \(t\) 的变化率为：
\(\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dB} \times \frac{dB}{dt}\)

例题： 圆形油污的半径 \(r\) 正以 \(0.5 \text{ m/s}\) 的速率增加（\(\frac{dr}{dt} = 0.5\)）。求当 \(r=10 \text{ m}\) 时，面积 \(A\) 增加的速率（\(\frac{dA}{dt}\)）。
1. 确定关系式： \(A = \pi r^2\)。
2. 找出关联导数： \(\frac{dA}{dr} = 2\pi r\)。
3. 应用链式法则： \(\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}\)。
4. 代入计算： \(\frac{dA}{dt} = (2\pi r) \times (0.5)\)。
当 \(r=10\) 时：\(\frac{dA}{dt} = (2\pi \cdot 10) \times 0.5 = 10\pi \text{ m}^2/\text{s}\)。

关键要点： 相关变化率问题总是依赖于三个变量的联系，其中包含两个已知的速率以及一个通过公式（如面积或体积）计算出的导数。

快速复习：P2 微分关键技巧

• 新导数： \(e^x\)、\(\ln x\)、\(\sin x\)、\(\cos x\)、\(\tan x\)。
• 乘积法则 (UV)： \(u v' + v u'\)。
• 商法则 (U/V)： \(\frac{v u' - u v'}{v^2}\)。
• 隐函数： 对 \(y\) 项求导，然后乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。
• 参数方程： \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)。