Integration

Pure Mathematics 1 (Paper 1) 学习笔记：第 1.8 章 积分 (Integration)

欢迎来到积分的世界！如果说微分（Differentiation）是用来求变化率（例如速度或斜率），那么积分（Integration）就是一个逆运算的过程，用来求总积累量（例如距离或面积）。你可以把它想象成数学里的“倒带键”！

本章是数学的基石。掌握积分后，你将能计算复杂曲线下的面积，并求出奇特形体的体积。如果刚开始觉得有点困难也别担心，反向思考需要多加练习才能熟练。

1. 不定积分：逆运算过程

1.1 反微分的概念

积分在正式学术上称为反微分（Anti-differentiation）。如果我们对函数 \(y = F(x)\) 进行微分得到 \(f(x)\)，那么对 \(f(x)\) 进行积分就会让我们回到 \(F(x)\)。

如果 \( \frac{dy}{dx} = f(x) \)，那么 \( \int f(x) dx = y = F(x) \)。

符号 \( \int \) 是积分符号，而 \( dx \) 告诉我们是对 x 进行积分。

1.2 积分幂次法则（核心公式）

这是处理简单多项式 \(x^n\) 的核心法则：

如果 \( n \) 为任何有理数（-1 除外）：

\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)

幂次法则步骤：

1. 将幂次加 1（从 \(n\) 变为 \(n+1\)）。

2. 将整个项除以新的幂次（\(n+1\)）。

3. 最后一定要记得加上积分常数 \(C\)。

例子： 求 \( \int x^3 dx \)：
新的幂次为 \( 3 + 1 = 4 \)。除以 4。
\( \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C \)

注意：特殊情况 n = -1
请记住，在 P1 课程中，当 \(n = -1\) 时（即积分 \( \frac{1}{x} \)），不能使用幂次法则。这个特例会在 Paper 2/3 中涵盖。对于 P1，课程大纲明确指出此法则适用于所有 -1 除外的有理数 \(n\)。

1.3 积分常数 C

对任何常数进行微分，结果均为零。因此，当我们进行积分时，会失去关于原始常数的信息。为了处理这个未知数，我们必须始终加上 C。

类比： 想象你在追踪一个移动物体。微分给你速度，积分给你位置。如果你知道速度，你就能知道位置是如何变化的，但你不知道物体的“初始位置”。这个未知的起始点就是 \(C\)。

求出 C（解题技巧）

要找到 \(C\) 的具体值，你需要一个初始条件——即原始曲线经过的一个点 \((x, y)\)。这在解决这类问题时非常重要：

“已知 \( \frac{dy}{dx} = 2x - 3 \) 且曲线通过点 \((1, -2)\)，求该曲线的方程。”

解题步骤：

1. 对 \( \frac{dy}{dx} \) 积分，得到包含 \(x\) 和 \(C\) 的 \(y\) 方程。
\( y = \int (2x - 3) dx = x^2 - 3x + C \)

2. 将已知点 \((1, -2)\) 代入方程。
\( -2 = (1)^2 - 3(1) + C \)
\( -2 = 1 - 3 + C \implies -2 = -2 + C \)

3. 解出 \(C\)。在此例中，\(C = 0\)。

4. 写出特定解（曲线方程）。
\( y = x^2 - 3x \)

1.4 复合函数的积分：反链式法则 (Reverse Chain Rule)

P1 课程要求你能够积分形式为 \((ax+b)^n\) 的线性复合函数。

\( \int (ax + b)^n dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)} + C \)

这基本上就是标准的幂次法则，但你还必须除以 a（括号内表达式的导数）。

例子： 求 \( \int (2x + 3)^4 dx \)：
此处 \(n=4\) 且 \(a=2\)。
\( \int (2x + 3)^4 dx = \frac{(2x + 3)^5}{2(5)} + C = \frac{1}{10}(2x + 3)^5 + C \)

2. 定积分：求净变化量

2.1 什么是定积分？

定积分是有特定上限和下限（或称积分限）\(a\) 和 \(b\) 的积分。它会产生一个数值，通常代表 \(x=a\) 到 \(x=b\) 之间的面积或净变化量。

\( \int_a^b f(x) dx \)

2.2 微积分基本定理

此定理告诉我们如何计算定积分：

\( \int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \)

其中 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的原函数。

计算步骤：

1. 找到不定积分 \(F(x)\)。（此处不需要加上 \(+C\)，因为在计算 \(F(b) - F(a)\) 时常数会抵消）。

2. 将上限 (\(b\)) 代入 \(F(x)\) 得到 \(F(b)\)。

3. 将下限 (\(a\)) 代入 \(F(x)\) 得到 \(F(a)\)。

4. 计算差值：\(F(b) - F(a)\)。

例子： 计算 \( \int_1^2 (3x^2 - 4) dx \)

1. 积分： \( F(x) = x^3 - 4x \)

2. 代入上下限：
\( [x^3 - 4x]_1^2 = [(2)^3 - 4(2)] - [(1)^3 - 4(1)] \)
\( = [8 - 8] - [1 - 4] \)
\( = 0 - (-3) = 3 \)

定积分的结果为 3。

3. 积分的应用：面积

在 P1 中，定积分最主要的几何应用是求由曲线与直线所围成的区域面积。

3.1 曲线与 x 轴围成的面积

由曲线 \(y = f(x)\)、x 轴以及直线 \(x=a\) 和 \(x=b\) 所围成的面积 \(A\) 为：

\( A = \int_a^b f(x) dx \)

重要注意事项：轴下方的面积

• 如果 \(f(x) \ge 0\) 在区间 \([a, b]\) 内，积分结果就是正的面积。

• 如果 \(f(x) < 0\)（曲线在 x 轴下方），积分结果会是负数。由于面积必须为正，你必须取积分结果的绝对值。

常见错误提醒！
如果曲线在 \(a\) 和 \(b\) 之间穿过 x 轴，你必须将积分拆分成多个区段，并在求和前分别计算轴下方区域的绝对值。

如果 \(f(x)\) 在 \(c\) 点穿过 x 轴（\(a < c < b\)）：
\( A = \left| \int_a^c f(x) dx \right| + \int_c^b f(x) dx \)

3.2 曲线与直线之间的面积

如果区域是由曲线 \(y_C\) 和直线 \(y_L\) 围成，两者之间的面积可以通过积分上方函数与下方函数的差来求得。

\( A = \int_a^b (y_{\text{top}} - y_{\text{bottom}}) dx \)

步骤：

1. 通过联立 \(y_C = y_L\) 找到交点（\(a\) 和 \(b\)），这些就是你的积分限。

2. 判断在区间 \([a, b]\) 内哪个函数在上方（\(y_{\text{top}}\)）。画个草图非常有帮助！

3. 列出并计算定积分。

3.3 两条曲线之间的面积

原则与 3.2 相同。如果 \(y_1\) 是上方曲线而 \(y_2\) 是下方曲线，积分限为 \(a\) 和 \(b\)：

\( A = \int_a^b (y_1 - y_2) dx \)

4. 积分的应用：旋转体体积

积分可以用来计算二维区域绕着某一轴（通常是 x 轴或 y 轴）旋转 360° 所形成的立体体积。

你知道吗？ 这个方法是通过将旋转轴上无数个极薄的圆盘（像极小的硬币）的体积累加起来实现的。

4.1 绕 x 轴旋转

当由 \(y = f(x)\)、x 轴以及 \(x=a\) 和 \(x=b\) 所围成的面积绕 x 轴旋转 360° 时，体积 \(V\) 为：

\( V = \int_a^b \pi y^2 dx \)

注意：积分前必须将 \(y^2\) 完全表示为 \(x\) 的函数。

4.2 绕 y 轴旋转

当由曲线、y 轴以及 \(y=c\) 和 \(y=d\) 所围成的面积绕 y 轴旋转 360° 时，体积 \(V\) 为：

\( V = \int_c^d \pi x^2 dy \)

注意：必须将 \(x^2\) 完全表示为 \(y\) 的函数。如果你从 \(y = f(x)\) 开始，你需要重新整理方程以求得 \(x^2\) 的 \(y\) 表达式。

例子： 如果 \(y = x^2\)，则 \(x^2 = y\)。若绕 y 轴旋转，则积分公式为 \( V = \int_c^d \pi (y) dy \)。

4.3 两条曲线之间的体积（垫圈法 Washer Method）

如果旋转区域位于两条曲线 \(y_{\text{outer}}\)（外曲线）和 \(y_{\text{inner}}\)（内曲线）之间，则产生的体积为外曲线产生的体积减去内曲线产生的体积。

当绕 x 轴旋转，且积分限为 \(x=a\) 到 \(x=b\) 时：

\( V = \pi \int_a^b (y_{\text{outer}}^2 - y_{\text{inner}}^2) dx \)

当旋转区域的边界不是旋转轴本身时，就会用到这个技巧（例如：将曲线与直线 \(y=5\) 之间的区域绕 x 轴旋转）。

你已经掌握了 Pure Mathematics 1 中积分的核心内容！请持续练习代数运算，特别是在体积题目中整理 \(x^2\) 或 \(y^2\) 的方程，并记得在计算面积时时刻检查是否有穿过轴的情况。