Coordinate geometry

🧠 纯数 1 (9709) 学习笔记：坐标几何 (1.3)

你好，未来的数学家！欢迎来到坐标几何的世界。这一章非常重要，因为它将你已经熟知的代数知识与你可以具象化的图形和几何直接联系起来。

你可以把这一章想象成学习“如何解读地图”的数学规则。一旦掌握了这些规则，你就能计算距离、找出中点，并精确地描述直线或曲线（如圆）在空间中的位置。打好这一章的基础，对于之后学习“微分”和“积分”至关重要！

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第一节：直线的基础

坐标几何的基石在于计算两点 A \((x_1, y_1)\) 与 B \((x_2, y_2)\) 之间的这三个基本属性。

1.1 点与线段的关键公式

A. 距离 (长度)

这能告诉你两点之间的距离有多远。我们使用勾股定理 (Pythagoras theorem) 来求解。

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

比喻：如果你向东走 3 个单位（x 的变化），再向北走 4 个单位（y 的变化），那么直线距离（斜边）就是 5 个单位。

B. 中点

中点就是两点位置的平均值。

\(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\)

C. 斜率 (Gradient), \(m\)

斜率衡量直线的陡峭程度。它是垂直变化（上升量）与水平变化（平移量）的比值。

\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

重点提示： 如果 \(m\) 为正值，直线向上倾斜（从左到右）；如果 \(m\) 为负值，直线向下倾斜。

1.2 直线方程的形式

你需要熟练使用以下三种不同形式的直线方程：

1. 斜截式 (Gradient-Intercept Form): \(y = mx + c\)

• \(m\) 是斜率。
• \(c\) 是 y 轴截距（直线与 y 轴相交的位置）。
• 最适合绘图或快速辨识斜率与截距。

2. 点斜式 (Point-Gradient Form): \(y - y_1 = m(x - x_1)\)

• 如果你已知斜率 \(m\) 和线上一点 \((x_1, y_1)\)，这是求直线方程最高效的形式。

3. 一般式 (General Form): \(ax + by + c = 0\)

• \(a, b,\) 和 \(c\) 为整数。
• 最适合处理联立方程（用以求交点）。

1.3 平行线与垂直线

斜率 \(m\) 是理解直线几何关系的关键。

A. 平行线

当且仅当两条直线具有相同的斜率时，它们才平行。

\(m_1 = m_2\)

B. 垂直线

如果两条直线的斜率乘积为 \(-1\)，则它们垂直（相交成 90° 角）。

\(m_1 \times m_2 = -1 \quad \text{或} \quad m_2 = -\frac{1}{m_1}\)

记忆小贴士： 要找到垂直线的斜率，必须“倒数再变号”（取其倒数并改变正负号）。
例子：如果 \(m_1 = \frac{2}{3}\)，那么 \(m_2 = -\frac{3}{2}\)。

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第二节：直线与曲线的交互作用

当解决涉及直线和曲线（特别是二次曲线或另一条直线）的问题时，题目通常要求你找出它们的交点，或者确定它们相交的条件。

2.1 求交点

两图形的交点代表它们的方程在联立求解时的解。

解题步骤：

1. 将两个方程相等（通常是将直线方程 \(y = mx + c\) 代入二次方程中）。
2. 将所得方程整理成标准二次方程形式：\(Ax^2 + Bx + C = 0\)。
3. 解二次方程求出 \(x\)（通过因式分解、求根公式或配方法）。
4. 将 \(x\) 的值代回直线方程，求出对应的 \(y\) 值。

你知道吗？ 所求得的 \((x, y)\) 点就是同时满足两个方程的唯一解。

2.2 使用判别式判断交点性质

若你有一个二次方程 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)，判别式 (Discriminant)，\(\Delta\)，能告诉你根的性质（图形相交的次数）。

\(\Delta = B^2 - 4AC\)

• 若 \(\Delta > 0\)：有两个不同的实根。直线与曲线在两个不同点相交。
• 若 \(\Delta = 0\)：有一个重根。直线是曲线的切线（仅在一个点与曲线接触）。
• 若 \(\Delta < 0\)：无实根。直线与曲线完全不相交。

此方法常用于求未知常数（如 \(k\)）的取值范围，例如当直线 \(y = x + k\) 切于某条二次曲线时。

🚫 常见错误警示

求解交点时，请务必先将直线方程代入曲线方程，然后在套用判别式之前，将其简化为 \(Ax^2 + Bx + C = 0\) 的形式。千万不要直接使用原曲线方程的系数！

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第三节：探索圆

圆由其固定的圆心和半径来定义。你需要熟练使用两种圆的方程形式，并应用关键的几何属性。

3.1 圆的标准方程

如果一个圆的圆心为 \((a, b)\)，半径为 \(r\)，其方程为：

\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)

例子：圆心为 \((3, -2)\)，半径为 5 的圆，方程为 \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\)。

3.2 求圆心与半径 (配方法)

有时圆的方程会以展开式给出：\(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\)。要找出圆心和半径，必须使用配方法 (Completing the Square)。

解题步骤：

1. 将 \(x\) 项和 \(y\) 项分组：
\((x^2 + 2gx) + (y^2 + 2fy) + c = 0\)
2. 分别对 \(x\) 项和 \(y\) 项配方：
\((x + g)^2 - g^2 + (y + f)^2 - f^2 + c = 0\)
3. 整理成标准形式 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)：
\((x + g)^2 + (y + f)^2 = g^2 + f^2 - c\)

从最终的标准形式中，你可以立刻辨识出：

• 圆心： \((-g, -f)\)
• 半径： \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}\)

如果刚开始觉得这很复杂也不用担心。多练习一般方程的配方，这很快就会变成你的直觉！

3.3 圆与直线的几何属性

在解决涉及切线、交点或弦的问题时，请依赖这些基础几何事实：

• 切线与半径垂直： 圆的切线永远与切点处的半径垂直。（这里要用到 \(m_1 m_2 = -1\) 的规则！）
• 半圆内的角： 直径所对的圆周角永远是直角 (\(90^\circ\))。
• 弦的垂直平分线： 圆中任何一条弦的垂直平分线，必通过圆心。

应用范例： 如果题目要求你在 P 点的切线方程，你需要先求出半径的斜率（从圆心到 P 点）。接着，切线的斜率就是半径斜率的负倒数。