Coordinate geometry

🧠 纯数学 1 (9709) 学习笔记：坐标几何 (1.3)

嘿，未来的数学家！欢迎来到坐标几何的世界。这一章非常重要，因为它将你已掌握的代数知识与可以直观呈现的图形和图表直接联系了起来。

你可以把这一章看作是学习“读懂数学地图”的规则。掌握了这些规则，你就能计算距离、找到中点，并精确描述直线或曲线（如圆）在空间中的位置。学好这一章，将为后续的微分（Differentiation）和积分（Integration）等课题打下坚实的基础！

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第一部分：直线的基础

坐标几何的基础在于计算两点 A \((x_1, y_1)\) 和 B \((x_2, y_2)\) 之间的三个基本属性。

1.1 点与线段的关键公式

A. 距离 (Length)

这可以告诉你两点之间有多远。我们使用勾股定理 (Pythagoras theorem) 来计算。

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

类比：如果你向东走 3 个单位（x 的变化量），再向北走 4 个单位（y 的变化量），那么直线距离（斜边）就是 5 个单位。

B. 中点 (Midpoint)

中点就是两点位置的平均值。

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

C. 斜率 (Gradient), \(m\)

斜率衡量的是直线的陡峭程度。它是垂直变化量（上升量）与水平变化量（跨度）的比值。

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

重点提示： 如果 \(m\) 为正，直线向上倾斜（从左到右）。如果 \(m\) 为负，直线向下倾斜。

1.2 直线方程的形式

你需要熟练掌握直线方程的三种不同形式：

1. 斜截式 (Gradient-Intercept Form): \(y = mx + c\)

• \(m\) 是斜率。
• \(c\) 是y轴截距（直线与 y 轴的交点）。
• 最适合用于绘制草图或快速识别斜率和截距。

2. 点斜式 (Point-Gradient Form): \(y - y_1 = m(x - x_1)\)

• 如果你已知斜率 \(m\) 以及直线上的任意一点 \((x_1, y_1)\)，这是求直线方程最高效的形式。

3. 一般式 (General Form): \(ax + by + c = 0\)

• \(a, b,\) 和 \(c\) 为整数。
• 最适合用于求解联立方程组（寻找交点）。

1.3 平行线与垂直线

斜率 \(m\) 是理解直线几何关系的关键。

A. 平行线

两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等。

$$m_1 = m_2$$

B. 垂直线

若两条直线垂直（相交成 90° 角），则它们斜率的乘积为 \(-1\)。

$$m_1 \times m_2 = -1 \quad \text{或} \quad m_2 = -\frac{1}{m_1}$$

记忆小贴士： 要找到垂直斜率，必须“翻转并变号”（取倒数并改变符号）。
例子：如果 \(m_1 = \frac{2}{3}\)，那么 \(m_2 = -\frac{3}{2}\)。

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第二部分：直线与曲线的联动

在处理直线与曲线（尤其是二次曲线或其他直线）的相关问题时，通常需要求它们的交点，或确定它们相交的条件。

2.1 求交点

两条图形的交点即为它们方程联立求解后的解。

步骤分解：

1. 将两个方程联立（通常是将线性方程 \(y = mx + c\) 代入二次方程）。
2. 将所得方程整理为标准的二次方程形式：\(Ax^2 + Bx + C = 0\)。
3. 求解二次方程的 \(x\) 值（通过因式分解、求根公式或配方法）。
4. 将求得的 \(x\) 值代回线性方程，求出对应的 \(y\) 值。

你知道吗？ 解出来的 \((x, y)\) 就是同时满足两个方程的唯一坐标点。

2.2 使用判别式判定交点

对于二次方程 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)，判别式 (Discriminant) \(\Delta\) 可以告诉你根的情况（即图形相交的次数）。

$$\Delta = B^2 - 4AC$$

• 若 \(\Delta > 0\)：有两个不同的实根。直线与曲线相交于两个不同的点。
• 若 \(\Delta = 0\)：有一个重实根。直线是曲线的切线（直线与曲线仅有一个交点）。
• 若 \(\Delta < 0\)：无实根。直线与曲线完全不相交。

此方法常用于确定未知常数（如 \(k\)）的取值范围，例如让直线 \(y = x + k\) 刚好与某条二次曲线相切。

🚫 常见错误预警

求解交点时，务必先将线性方程代入曲线方程，整理成 \(Ax^2 + Bx + C = 0\) 的形式之后再使用判别式。千万不要直接使用原始曲线方程的系数！

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第三部分：圆的探索

圆由固定的圆心和固定的半径定义。你需要熟练使用圆的两种方程形式，并运用关键的几何性质。

3.1 圆的标准方程

如果一个圆的圆心为 \((a, b)\)，半径为 \(r\)，其方程为：

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

例子：圆心为 \((3, -2)\) 且半径为 5 的圆，其方程为 \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\)。

3.2 求圆心和半径（配方法）

有时圆的方程会以展开形式给出：\(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\)。要找到圆心和半径，必须使用配方法 (Completing the Square)。

步骤分解：

1. 将 \(x\) 项和 \(y\) 项分别分组：
   \((x^2 + 2gx) + (y^2 + 2fy) + c = 0\)
2. 对 \(x\) 项和 \(y\) 项分别进行配方：
   \((x + g)^2 - g^2 + (y + f)^2 - f^2 + c = 0\)
3. 整理为标准形式 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)：
   $$(x + g)^2 + (y + f)^2 = g^2 + f^2 - c$$

根据最终的标准形式，你可以直接识别出：

• 圆心： \((-g, -f)\)
• 半径： \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}\)

如果刚开始觉得有点复杂也不要担心。多练习对一般方程进行配方，很快你就能熟能生巧了！

3.3 圆与直线的几何性质

在处理切线、交点或弦的问题时，要依靠以下基本的几何事实：

• 切线与半径垂直： 圆的切线总是与切点处的半径垂直。（这里要用到 \(m_1 m_2 = -1\) 的法则！）
• 半圆内的角： 直径所对的圆周角永远是直角 (\(90^\circ\))。
• 弦的垂直平分线： 圆的任意弦的垂直平分线一定通过圆的圆心。

应用示例： 如果题目要求点 P 处的切线方程，你需要先求出半径的斜率（圆心到 P 点）。然后，切线的斜率就是半径斜率的负倒数。