纯数学 1 (试卷 1) 学习笔记：函数 (1.2)

欢迎来到函数的世界！这一章至关重要——它是微积分、以及更高级数学课程的基石。扎实掌握本章内容，会让你的 AS/A Level 学习之旅顺畅得多。让我们开始吧！


1. 函数、定义域和值域的定义

函数 (function) 本质上是一个将输入值关联到输出值的规则，但有一个核心条件：对于每一个输入值，必须且只能有唯一一个对应的输出值。

类比：你可以把函数 \(f\) 想象成一台高科技自动售货机。如果你按下输入按钮“A”，你永远只会得到输出“B”。如果按下“A”有时给你“B”，有时又给你“C”，那它就不能称为函数！

核心术语
  • 函数符号：我们写作 \(y = f(x)\)。例如，\(f(x) = x^2 - 1\) 或 \(f: x \to x^2 - 1\)。
  • 定义域 (Domain)：这是函数可以接受的所有可能的输入值（\(x\) 值）的集合。
  • 值域 (Range)：这是函数利用其定义域中的值所产生的全部实际输出值（\(y\) 值）的集合。
如何确定定义域（输入值）

通常情况下，假设定义域为所有实数 (\(x \in \mathbb{R}\))，除非遇到以下两种常见问题：

  1. 分母为零：分式中的分母不能为零。
    例如：对于 \(f(x) = \frac{1}{x-3}\)，定义域不能包含 \(x=3\)。
  2. 负数的平方根：在纯数学 1 中，不能对负数开平方根。
    例如：对于 \(g(x) = \sqrt{x+5}\)，定义域必须满足 \(x \ge -5\)。
如何确定值域（输出值）

确定值域通常通过画出函数图像，或使用代数技巧（如配方法，特别针对二次函数）来实现。

示例：已知 \(f(x) = x^2 + 4\)，定义域为 \(x \in \mathbb{R}\)。

  • 因为 \(x^2 \ge 0\)，所以 \(x^2 + 4\) 的最小值是 \(0 + 4 = 4\)。
  • 因此，值域为 \(f(x) \ge 4\)。
重点总结（定义域与值域）
务必先确定定义域。值域是基于该特定定义域所生成的输出结果集合。

2. 单射函数与多对一函数

函数的类型决定了我们是否能求出其反函数。我们主要关注以下两种类型：

单射函数 (One-One Function)

如果每一个不同的输入都映射到唯一的不同输出，该函数即为单射函数（或称一对一函数）。没有任何两个输入共享同一个输出值。

  • 示例：\(f(x) = 2x + 1\)
  • 测试方法：使用水平线测试 (Horizontal Line Test)。如果任何一条水平线与图像的交点超过一个，则它不是单射函数。
多对一函数 (Many-One Function)

如果两个或多个输入可以映射到同一个输出，该函数即为多对一函数。

  • 示例：\(f(x) = x^2\)。当 \(x=2\) 和 \(x=-2\) 时，输出均为 \(f(x)=4\)。
!!! 关键要求 !!!
只有单射函数才有反函数。如果一个函数是多对一的（如 \(y=x^2\)），在求反函数前，你必须限制其定义域，使其变成单射函数。

3. 复合函数

复合函数 (composite function) 是通过先后执行两个函数得到的。其过程是将一个函数的输出直接作为另一个函数的输入。

符号与运算顺序
  • 假设有两个函数 \(f\) 和 \(g\)：
  • \(fg(x)\)：表示先执行 \(g\)，再对结果执行 \(f\)。（从内向外计算：\(f(g(x))\)）。
  • \(gf(x)\)：表示先执行 \(f\)，再对结果执行 \(g\)。（\(g(f(x))\)）。
  • \(f^2(x)\) 或 \(ff(x)\)：表示对 \(f(x)\) 的结果再次执行 \(f\)。
分步示例

设 \(f(x) = 3x - 1\) 且 \(g(x) = x^2\)。求 \(fg(x)\)。

  1. 从 \(f(g(x))\) 开始，用 \(g(x)\) 的定义替换：\(f(x^2)\)。
  2. 观察函数 \(f\)，\(f\) 的作用是将输入乘以 3 再减去 1。
  3. 因为现在的输入是 \(x^2\)，所以得到：\(3(x^2) - 1\)。
  4. 结果：\(fg(x) = 3x^2 - 1\)。
相容性约束（考试重点）

为了使复合函数 \(fg\) 能够形成，\(g\) 的值域必须包含在 \(f\) 的定义域内。

你知道吗？如果 \(g\) 的输出包含 10，但 \(f\) 仅定义在小于 5 的输入上，那么复合函数 \(fg\) 就无法定义（或者必须限制其定义域）。

重点总结（复合函数）
顺序很重要！\(fg(x)\) 几乎永远不等于 \(gf(x)\)。请务必从内向外处理。

4. 反函数 (\(f^{-1}\))

反函数的作用是逆转 \(f(x)\) 的过程。如果 \(f\) 把 2 变成 5，那么 \(f^{-1}\) 就把 5 变回 2。

定义域与值域的互换
  • \(f^{-1}\) 的定义域等于 \(f\) 的值域。
  • \(f^{-1}\) 的值域等于 \(f\) 的定义域。

这对正确定义反函数至关重要，特别是在处理有限制定义域的情况时。

分步：代数法求反函数

求 \(h(x) = (2x + 3)^2 - 4\) 在定义域 \(x < -1.5\) 下的反函数。

  1. 令 \(y = h(x)\)：\(y = (2x + 3)^2 - 4\)。
  2. 交换 \(x\) 和 \(y\)：\(x = (2y + 3)^2 - 4\)。
  3. 隔离 \(y\)（变换）：
    • \(x + 4 = (2y + 3)^2\)
    • \(\pm \sqrt{x+4} = 2y + 3\)
  4. 确定符号与最终值域：
    • 原始定义域为 \(x < -1.5\)，这意味着 \(2x + 3 < 0\)。
    • 由于 \(2y+3\) 必须为负（因为 \(y\) 是反函数的输出/值域，必须与原函数的定义域对应），所以我们选择负平方根。
    • \(- \sqrt{x+4} = 2y + 3\)
    • \(2y = -3 - \sqrt{x+4}\)
    • \(y = \frac{-3 - \sqrt{x+4}}{2}\)
  5. 写出反函数：\(h^{-1}(x) = \frac{-3 - \sqrt{x+4}}{2}\)。
小贴士：检查限制条件
在第 3 步开平方根时，一定要检查原始定义域。该限制条件决定了反函数中必须选取哪个符号（\(+\) 或 \(-\)）！
图形关系

\(y = f^{-1}(x)\) 的图像是 \(y = f(x)\) 的图像关于直线 \(y = x\) 的对称图形。

可视化：沿着 \(y=x\) 这条线折叠你的纸，两条图像应该完美重合！


5. 函数变换

变换描述了如何通过平移或拉伸基本函数 \(y = f(x)\) 来创建一个新函数。

如果初学时觉得困惑也不要紧——只要记住，发生在括号内部的变换通常是反直觉的（与你预期的相反）！

记忆窍门：内部 vs. 外部
  • 括号/函数外部 (\(f(x) + a\))：影响 \(y\) 值。这是垂直方向的变换，且符合直觉（加表示向上，减表示向下）。
  • 括号/函数内部 (\(f(x + a\))：影响 \(x\) 值。这是水平方向的变换，且是反直觉的（加表示向左，减表示向右）。
变换 对图像的影响 变换类型 术语
\(y = f(x) + a\) 向量 \(\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}\) 垂直平移 平移 \(a>0\) 向上移，\(a<0\) 向下移。
\(y = f(x + a)\) 向量 \(\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}\) 水平平移 平移 \(a>0\) 向左移，\(a<0\) 向右移。
\(y = af(x)\) 所有 \(y\) 坐标乘 \(a\) 拉伸 (垂直) 平行于 \(y\) 轴拉伸，比例因子为 \(a\)。若 \(a=-1\)，则是关于 x 轴的反射。
\(y = f(ax)\) 所有 \(x\) 坐标除以 \(a\) 拉伸 (水平) 平行于 \(x\) 轴拉伸，比例因子为 \(1/a\)。若 \(a=-1\)，则是关于 y 轴的反射。
简单组合变换

当存在多种变换时，顺序很重要，尤其是当同时涉及水平和垂直的拉伸/平移时。但在处理简单组合时，请遵循以下顺序：先做拉伸/反射，后做平移。

示例：将 \(y = f(x)\) 变换为 \(y = 2f(x) - 3\)。

  1. 垂直拉伸，因子为 2（来源于 \(2f(x)\)）。
  2. 垂直平移，向量 \(\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix}$（来源于 \(-3\)）。
重点总结（变换）
外部 = 垂直（直觉）。内部 = 水平（反直觉：因子为 \(1/a\)）。务必先做拉伸/反射，再做平移。