纯数学 1 (试卷 1) 学习笔记：函数 (1.2)

欢迎来到函数的世界！这一章至关重要——它是微积分、积分以及更高阶数学的根基。若能在这里打好基础，你之后的 AS/A Level 学习之路将会顺畅得多。让我们开始吧！


1. 函数的定义、定义域 (Domain) 与值域 (Range)

函数只是一个将输入值对应到输出值的规则，但有一个关键条件：对于每一个输入值，都必须且只能有一个对应的输出值。

比喻：将函数 \(f\) 想成一台高科技自动售卖机。如果你按下输入“A”的按钮，你一定会得到输出“B”。如果按“A”有时会掉出“B”，有时又掉出“C”，那它就不算是一个函数了！

必须掌握的术语
  • 函数记法：我们写成 \(y = f(x)\)。例如，\(f(x) = x^2 - 1\) 或 \(f: x \mapsto x^2 - 1\)。
  • 定义域 (Domain)：指函数能够接受的所有可能的输入值（\(x\) 值）集合。
  • 值域 (Range)：指函数根据其定义域所产生的所有实际输出值（\(y\) 值）集合。
如何确定定义域（输入）

一般来说，除非遇到以下两种常见情况，否则定义域通常假定为所有实数 (\(x \in \mathbb{R}\))：

  1. 分母为零：分式的分母绝对不能为零。
    例子：对于 \(f(x) = \frac{1}{x-3}\)，定义域不能包含 \(x=3\)。
  2. 负数开平方根：在 Pure 1 中，负数不能开平方根。
    例子：对于 \(g(x) = \sqrt{x+5}\)，定义域必须满足 \(x \ge -5\)。
如何确定值域（输出）

求值域通常通过绘制图像，或使用代数技巧（如配方法，特别是对于二次函数）来得出。

例子：给定 \(f(x) = x^2 + 4\)，定义域为 \(x \in \mathbb{R}\)。

  • 由于 \(x^2 \ge 0\)，\(x^2 + 4\) 的最小值为 \(0 + 4 = 4\)。
  • 因此，值域为 \(f(x) \ge 4\)。
重点总结（定义域与值域）
务必先定义定义域。值域是由该特定定义域所产生的输出值集合。

2. 一对一函数与多对一函数

函数的类型决定了我们能否求出反函数。我们主要关注两种类型：

一对一函数 (One-One Function)

如果每个不同的输入值都对应到不同的输出值，该函数就是一对一（或称为单射）的。没有任何两个输入值会对应到同一个输出值。

  • 例子：\(f(x) = 2x + 1\)
  • 检测方法：使用水平线测试 (Horizontal Line Test)。若任何水平线与函数图像的交点多于一个，它就不是一对一函数。
多对一函数 (Many-One Function)

如果有两个或以上的输入值对应到同一个输出值，该函数就是多对一的。

  • 例子：\(f(x) = x^2\)。当 \(x=2\) 和 \(x=-2\) 时，\(f(x)\) 同样都等于 4。
!!! 关键要求 !!!
只有一对一函数才能拥有反函数。如果函数是多对一的（例如 \(y=x^2\)），在求反函数前，你必须限制其定义域，使其变为一对一。

3. 复合函数 (Composite Functions)

当你连续使用两个函数时，就会形成复合函数。这是一个将第一个函数的输出直接作为第二个函数输入的的过程。

记法与顺序
  • 若有函数 \(f\) 和 \(g\)：
  • \(fg(x)\)：这代表先执行 \(g\)，再将结果代入 \(f\)。（由内向外计算：\(f(g(x))\)）。
  • \(gf(x)\)：这代表先执行 \(f\)，再将结果代入 \(g\)。(\(g(f(x))\))。
  • \(f^2(x)\) 或 \(ff(x)\)：这代表将 \(f(x)\) 的结果再代入 \(f\) 一次。
逐步范例

设 \(f(x) = 3x - 1\) 且 \(g(x) = x^2\)。求 \(fg(x)\)。

  1. 从 \(f(g(x))\) 开始。将 \(g(x)\) 替换为定义：\(f(x^2)\)。
  2. 现在，观察函数 \(f\)。\(f\) 的运算规则是将输入值乘以 3，然后减 1。
  3. 因为现在的输入值是 \(x^2\)，我们得到：\(3(x^2) - 1\)。
  4. 结果：\(fg(x) = 3x^2 - 1\)。
相容性限制（课程重点）

为了能成功形成复合函数 \(fg\)，\(g\) 的值域必须包含在 \(f\) 的定义域之中。

你知道吗？如果 \(g\) 的输出值为 10，但 \(f\) 只定义在小于 5 的输入值，那么复合函数 \(fg\) 就无法存在（或者必须限制其定义域）。

重点总结（复合函数）
顺序很重要！\(fg(x)\) 通常不等于 \(gf(x)\)。请务必由内向外计算。

4. 反函数 (\(f^{-1}\))

反函数会逆转 \(f(x)\) 的过程。如果 \(f\) 将 2 对应到 5，那么 \(f^{-1}\) 就会将 5 对应回 2。

定义域与值域互换的重要性
  • \(f^{-1}\) 的定义域即为 \(f\) 的值域。
  • \(f^{-1}\) 的值域即为 \(f\) 的定义域。

这对于正确定义反函数至关重要，特别是在处理有限制定义域的情况时。

逐步教学：如何通过代数求反函数

求 \(h(x) = (2x + 3)^2 - 4\) 在定义域 \(x < -1.5\) 下的反函数。

  1. 令 \(y = h(x)\)：\(y = (2x + 3)^2 - 4\)。
  2. 互换 \(x\) 和 \(y\)：\(x = (2y + 3)^2 - 4\)。
  3. 分离 \(y\)（移项）：
    • \(x + 4 = (2y + 3)^2\)
    • \(\pm \sqrt{x+4} = 2y + 3\)
  4. 确定正负号与最终值域：
    • 原定义域为 \(x < -1.5\)。这意味着 \(2x + 3 < 0\)。
    • 由于 \(2y+3\) 必须为负（因为 \(y\) 是反函数的输出/值域，必须对应原函数的定义域），我们选择负平方根。
    • \(- \sqrt{x+4} = 2y + 3\)
    • \(2y = -3 - \sqrt{x+4}\)
    • \(y = \frac{-3 - \sqrt{x+4}}{2}\)
  5. 写出反函数：\(h^{-1}(x) = \frac{-3 - \sqrt{x+4}}{2}\)。
小贴士：限制条件检查
在步骤 3 开平方根时，务必检查原始定义域。该限制条件决定了反函数必须选择哪一个符号（\(+\) 或 \(-\)）！
图像关系

\(y = f^{-1}(x)\) 的图像与 \(y = f(x)\) 的图像关于直线 \(y = x\) 对称（镜像）。

视觉化：沿着直线 \(y=x\) 将纸折叠起来。两个图像应该会完美重合！


5. 函数的变换 (Transformations)

变换描述了如何通过平移或拉伸基本图形 \(y = f(x)\) 来产生新的图形。

如果一开始觉得困难别担心——只要记住，在括号内部发生的变换通常是反直觉的（和你预期的相反）！

记忆口诀：内部 vs. 外部
  • 括号/函数外部 (\(f(x) + a\))：影响 \(y\) 值。属于垂直变换，且运作方式直觉（加代表向上，减代表向下）。
  • 括号/函数内部 (\(f(x + a\)))：影响 \(x\) 值。属于水平变换，且运作方式非直觉（加代表向左，减代表向右）。
变换 图形影响 动作类型 术语
\(y = f(x) + a\) 垂直平移，向量为 \(\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}\) 平移 若 \(a>0\) 向上移，\(a<0\) 向下移。
\(y = f(x + a)\) 水平平移，向量为 \(\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}\) 平移 若 \(a>0\) 向左移，\(a<0\) 向右移。
\(y = af(x)\) 所有 \(y\) 坐标乘以 \(a\) 拉伸（垂直） 平行于 \(y\) 轴拉伸，比例因子为 \(a\)。若 \(a=-1\)，则为关于 x 轴的反射。
\(y = f(ax)\) 所有 \(x\) 坐标除以 \(a\) 拉伸（水平） 平行于 \(x\) 轴拉伸，比例因子为 \(1/a\)。若 \(a=-1\)，则为关于 y 轴的反射。
简单的组合变换

当同时出现多种变换时，顺序非常重要，特别是当水平和垂直的拉伸/平移同时发生时。对于简单组合，请遵循此顺序：先拉伸/反射，后平移。

例子：将 \(y = f(x)\) 变换为 \(y = 2f(x) - 3\)。

  1. 垂直拉伸，比例因子为 2（来自 \(2f(x)\)）。
  2. 垂直平移，向量为 \(\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix}\)（来自 \(-3\))。
重点总结（变换）
外部 = 垂直（直觉）。内部 = 水平（反直觉：比例为 \(1/a\)）。请在平移前完成拉伸/反射。