三角函数（纯数学 3：9709）学习笔记

欢迎来到纯数学 3（Pure Mathematics 3）的三角函数章节！如果你觉得 P1 的三角函数内容还算直观，那么准备好扩展你的工具箱吧。P3 的三角函数在基础恒等式之上，引入了更强大的新函数和公式，特别是“R-公式”（R-formula），它是组合波形的关键。掌握这一章是 Paper 3 取得高分的关键！

1. 倒数函数：正割、余割和余切

在 P3 中，我们引入了三个新的三角函数。它们仅仅是大家熟悉的三角函数的倒数。

1.1 定义与关系
  • 正割 (\(\sec \theta\))：余弦的倒数。
    $$ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} $$
  • 余割 (\(\csc \theta\) 或 \(\mathrm{cosec} \theta\))：正弦的倒数。
    $$ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} $$
  • 余切 (\(\cot \theta\))：正切的倒数。
    $$ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} $$

记忆小贴士： 注意一个避免混淆的规律：以“C”开头的函数，其倒数对应以“S”开头的函数，反之亦然（余割 Cosecant 对应正弦 Sine；正割 Secant 对应余弦 Cosine）。

1.2 函数图像、定义域与值域

由于这些函数涉及除以 \(\sin \theta\) 或 \(\cos \theta\)，它们的图像会在原函数为零的地方出现垂直渐近线。

  • \(\mathbf{y = \sec \theta}\)： 渐近线出现在 \(\cos \theta = 0\) 时（例如 \(\pm 90^\circ\)，\(\pm 270^\circ\)）。值域：\(\sec \theta \leq -1\) 或 \(\sec \theta \geq 1\)。
  • \(\mathbf{y = \csc \theta}\)： 渐近线出现在 \(\sin \theta = 0\) 时（例如 \(0^\circ\)，\(\pm 180^\circ\)，\(\pm 360^\circ\)）。值域：\(\csc \theta \leq -1\) 或 \(\csc \theta \geq 1\)。
  • \(\mathbf{y = \cot \theta}\)： 渐近线出现在 \(\sin \theta = 0\) 时。周期为 \(\pi\)（或 \(180^\circ\)）。值域：全体实数。

核心要点： 先画出对应的基础函数（\(\sin \theta\) 或 \(\cos \theta\)）的草图，是确定渐近线位置和倒数函数图像形状的最佳方法。

2. 高级勾股恒等式

我们在基础恒等式 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 的基础上进一步推导。

2.1 推导新恒等式

1. 同时除以 \(\cos^2 \theta\)：

$$ \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} $$

这得到了第一个 P3 恒等式：

$$ \mathbf{\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta} $$

2. 同时除以 \(\sin^2 \theta\)：

$$ \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta} $$

这得到了第二个 P3 恒等式：

$$ \mathbf{1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta} $$

2.2 恒等式在简化与证明中的应用

这些恒等式对于简化复杂表达式和求解涉及倒数函数的方程至关重要。如果化简看起来很困难，请尝试将所有项转化为 \(\sin \theta\) 和 \(\cos \theta\)。

例子： 要解方程 \(\sec^2 \theta = 3 \tan \theta - 1\)，你必须先用 \((1 + \tan^2 \theta)\) 替换 \(\sec^2 \theta\)，从而建立一个关于 \(\tan \theta\) 的可解一元二次方程。

快速回顾：P3 恒等式集合
  • \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) (P1)
  • \(\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta\) (P3)
  • \(\cot^2 \theta + 1 = \csc^2 \theta\) (P3)

核心要点： 解方程时，通常的目标是让所有项涉及相同的角和相同类型的函数（例如，全部化为 \(\sin \theta\) 或全部化为 \(\tan 2\theta\)）。

3. 加法与倍角公式

这些公式让你能够展开并组合涉及角度和与倍数的三角表达式。

3.1 加法公式 (\(A \pm B\))

这些公式在公式手册（MF19）中均有列出，但熟练掌握它们会大大节省时间。

  • 正弦： $$ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $$ （符号保持一致。）
  • 余弦： $$ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $$ （符号反转！）
  • 正切： $$ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $$ （分子符号一致；分母符号反转。）

你知道吗？ 你可以用这些公式求出非 30°、45° 或 60° 角的精确值，比如 \(\cos 15^\circ\)。因为 \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\)，你可以精确计算 \(\cos(45^\circ - 30^\circ)\) 的值！

3.2 倍角公式 (\(2A\))

这些公式可以通过令 \(A = B\) 直接由加法公式推导出来。

  • 正弦： $$ \mathbf{\sin 2A = 2 \sin A \cos A} $$
  • 正切： $$ \mathbf{\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}} $$
  • 余弦（三选一）： \(\cos 2A\) 有三种形式，你必须知道如何有效选择（尤其是在积分题目中）。
    1. $$ \mathbf{\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A} $$
    2. $$ \mathbf{\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1} $$ （如果只想要余弦项时使用）
    3. $$ \mathbf{\cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A} $$ （如果只想要正弦项时使用）

重要用法提示： 倍角公式不仅仅是为了翻倍，更是为了转换角度。如果你看到 \(\sin 6x\)，你可以把它写成 \(2 \sin 3x \cos 3x\)。如果你看到 \(\cos^2 5x\)，你可以利用倍角公式将其变形为 \(\frac{1}{2}(1 + \cos 10x)\)。这种升降角技巧在解方程时往往必不可少。

核心要点： 加法和倍角公式是证明和统一表达式（使其仅含单一类型的角）的重要利器。

4. 和差化一形式（R-公式）

和差化一形式，通常被称为 R-公式，用于将同时包含正弦和余弦项的表达式（如 \(a \sin \theta + b \cos \theta\)）转换成单一的三角波形，例如 \(R \sin(\theta \pm \alpha)\) 或 \(R \cos(\theta \pm \alpha)\)。

类比： 想象一下将两个不同的声波合并成一个清晰、响亮的波。R-公式就是为了求出合成波的振幅 (\(R\)) 和相位偏移 (\(\alpha\))。

4.1 目标与形式

你需要能够将 \(a \sin \theta + b \cos \theta\) 转化为以下四种形式之一：

  1. $$ R \sin(\theta + \alpha) $$
  2. $$ R \sin(\theta - \alpha) $$
  3. $$ R \cos(\theta + \alpha) $$
  4. $$ R \cos(\theta - \alpha) $$

其中 \(R > 0\) 且 \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)（或 \(0 < \alpha < \pi/2\) 弧度）。

4.2 逐步计算法（以 \(R \sin(\theta + \alpha)\) 为例）

我们以表达式 \(3 \sin \theta + 4 \cos \theta\) 为例，目标是将其写成 \(R \sin(\theta + \alpha)\)。

第一步：利用加法公式展开目标形式。

$$ R \sin(\theta + \alpha) = R (\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha) $$

$$ 3 \sin \theta + 4 \cos \theta = (R \cos \alpha) \sin \theta + (R \sin \alpha) \cos \theta $$

第二步：比较 \(\sin \theta\) 和 \(\cos \theta\) 的系数。

比较 \(\sin \theta\) 的系数： $$ 3 = R \cos \alpha \quad \text{ (等式 1)} $$ 比较 \(\cos \theta\) 的系数： $$ 4 = R \sin \alpha \quad \text{ (等式 2)} $$

第三步：计算 R（振幅）。

将两式平方后相加：

$$ 3^2 + 4^2 = (R \cos \alpha)^2 + (R \sin \alpha)^2 $$

$$ 9 + 16 = R^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) $$

因为 \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\)：

$$ 25 = R^2 \quad \implies \mathbf{R=5} $$

第四步：计算 \(\alpha\)（相位偏移）。

用等式 2 除以等式 1：

$$ \frac{R \sin \alpha}{R \cos \alpha} = \frac{4}{3} $$

$$ \tan \alpha = \frac{4}{3} $$

使用计算器（确保模式正确，角度或弧度符合题目要求）：

$$ \mathbf{\alpha \approx 53.13^\circ} $$

第五步：写出最终表达式。

$$ \mathbf{3 \sin \theta + 4 \cos \theta = 5 \sin(\theta + 53.1^\circ)} \text{ (保留 3 位有效数字)} $$

4.3 R-公式的应用

1. 最大值与最小值：

因为 \(-1 \leq \sin(\theta + \alpha) \leq 1\)，所以表达式 \(R \sin(\theta + \alpha)\) 有：

  • 最大值：R（当 \(\sin(\theta + \alpha) = 1\) 时取得）
  • 最小值：-R（当 \(\sin(\theta + \alpha) = -1\) 时取得）

2. 求解方程：

R-公式可以将像 \(3 \sin \theta + 4 \cos \theta = 2\) 这样棘手的方程转化为基础三角方程：

$$ 5 \sin(\theta + 53.13^\circ) = 2 $$

$$ \sin(\theta + 53.13^\circ) = 0.4 $$

接下来求解复合角 \((\theta + \alpha)\)，再减去 \(\alpha\) 即可得到 \(\theta\)。（记得同步调整 \(\theta\) 的范围至 \((\theta + \alpha)\) 的范围！）

常见错误避坑： 当使用展开法比较系数时，\(\alpha\) 始终为锐角（$0^\circ < \alpha < 90^\circ$）。不要尝试用 CAST 图去寻找 \(\alpha\) 的其他可能值。\(a\) 和 \(b\) 的正负号已经自然地决定了最终波形的象限偏移。

R-公式核心要点： R 总是通过勾股定理计算：$R = \sqrt{a^2 + b^2}$。$\alpha$ 通过 $\tan \alpha = \left|\frac{b}{a}\right|$（或 $\left|\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right|$）计算，且始终保持 $\alpha$ 为锐角。

5. 求解高级三角方程

这里是将所有工具融会贯通的地方。你必须非常明确题目要求的区间以及所求的函数。

5.1 标准求解步骤

1. 统一表达式： 使用恒等式（第 2、3 节）进行转换，使得方程仅包含：

  • 一种三角函数（例如，全为 \(\tan x\)），或者
  • 一种角（例如，全为 \(\theta\) 或全为 \(2\theta\)），或者
  • 和差化一形式 (\(R\sin(\theta + \alpha)\))。

2. 调整范围： 如果你求解的是修改后的角（如 \(2\theta\)，或 \(\theta + 30^\circ\)），请务必同步调整题目给出的定义域（区间）。

例子： 若 \(0^\circ \leq \theta \leq 360^\circ\)，则 \(0^\circ \leq 2\theta \leq 720^\circ\)。

3. 寻找主值（PV）： 使用反函数（如 \(\sin^{-1}, \cos^{-1}\)）计算基础角。此阶段忽略符号。

4. 利用 CAST 图找到所有解： 使用 CAST 图（或图像）在调整后的范围内找到所有符合原比值符号的角。

5. 最后一步： 将解代回原变量（\(\theta\)）。

5.2 常见棘手情况

情况 1：使用倍角解方程

如果方程中同时含有 \(\sin 2\theta\) 和 \(\cos \theta\)，你必须转换倍角：

$$ \sin 2\theta - \cos \theta = 0 $$ $$ 2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta = 0 $$ $$ \cos \theta (2 \sin \theta - 1) = 0 $$

这会拆解为两个独立的、更简单的方程：\(\cos \theta = 0\) 和 \(\sin \theta = 1/2\)。

情况 2：涉及倒数函数的方程

如果你遇到类似 \(\tan \theta + \cot \theta = 4\) 的方程：

$$ \tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 4 $$

两边同乘以 \(\tan \theta\)，得到关于 \(\tan \theta\) 的一元二次方程：

$$ \tan^2 \theta - 4 \tan \theta + 1 = 0 $$

随后利用求根公式即可解出 \(\tan \theta\) 的两个值，按标准步骤继续求解即可。

5.3 弧度的重要性

许多 P3 题目会以弧度（Radians）形式给出区间（例如 \(-\pi < x < \pi\) 或 \(0 \leq x \leq 2\pi\)）。

  • 务必确认你的计算器处于 Radian（弧度）模式。
  • 记住关键值：\(\pi \approx 3.142\)，\(2\pi \approx 6.283\)。
  • 如果使用 R-公式，请从一开始就以弧度计算 \(\alpha\)。
同学易错提醒：别漏掉象限！

在使用计算器之前，一定要画出 CAST 图并写出每个相关象限的表达式。例如，如果 \(\sin x = -0.5\)，你知道解必须在 T 和 C 象限。主值（PV）是 \(30^\circ\)，所以解为 $180^\circ + 30^\circ$ 和 $360^\circ - 30^\circ$。系统化地操作才能保证你找到区间内的所有根。

核心要点： P3 中的三角函数问题非常有程序性。识别出所需的恒等式或公式，统一表达式，调整范围，并使用 CAST 方法系统地找出所有解。