Vectors

A Level Pure Mathematics 3 (9709) 学习笔记：向量 (3.7)

欢迎来到向量的世界！这一章节是 Pure Mathematics 3 中最实用且概念上最令人满足的部分之一。为什么呢？因为向量让我们有能力去描述和解决二维及三维空间中涉及位置、移动和力的问题。你可以将其想象成你坐标几何技能的升级版，让你能够处理现实世界中不仅仅发生在平面图表上的问题！

如果三维空间刚开始让你感到困惑，请不用担心。我们会使用清晰的表示法和大量的直观解释，一步步拆解每一个概念。

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1. 向量基础：定义与表示法

1.1 标量 (Scalar) 与 向量 (Vector)

在数学中，数量主要分为两类：

• 标量： 只有 大小 (magnitude)。
  例子：质量 (5 kg)、速率 (60 km/h)、温度 (20°C)。
• 向量： 同时具有 大小 (magnitude) 和 方向 (direction)。
  例子：速度 (60 km/h 向北)、力 (10 N 向下)、位移 (5 m 向东)。

类比： 标量告诉你“有多少”，而向量则告诉你“有多少以及往哪里去”。

1.2 标准表示法

我们使用特殊的表示法来区分向量与标量。在印刷中，向量通常用粗体 \(\mathbf{a}\) 表示；手写时，则通常在字母下方加下划线 \(\underline{a}\)。

在 P3 中，向量通常以两种主要方式表达：

1. 列向量形式 (Component Form)： 最适合用于计算。

   二维：\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
   三维：\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)

2. \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 形式 (单位向量形式)： 同样非常适合计算，特别是在显示方向时。\(\mathbf{i}\)、\(\mathbf{j}\) 和 \(\mathbf{k}\) 分别是 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 轴方向上的单位向量（大小为 1）。

   三维：\(\mathbf{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\)

2. 位置向量与位移向量

2.1 位置向量 (Position Vectors)

位置向量 (\(\mathbf{r}\) 或 \(\mathbf{a}\)) 指定了点 \(A\) 相对于原点 \(O\) 的位置。

如果点 \(A\) 的坐标为 \((x, y, z)\)，则其位置向量为 \(\vec{OA} = \mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)。

2.2 位移向量 (两点间的向量)

代表从点 \(A\) 到点 \(B\) 的行程的向量称为位移向量，即 \(\vec{AB}\)。

要计算 \(\vec{AB}\)，你需要用终点 (\(B\)) 的位置向量减去起点 (\(A\)) 的位置向量：

公式： \(\vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}\)

记忆小窍门： 位移向量永远是“终点减起点”。

2.3 向量运算与几何

加法与减法： 按分量进行运算。这在几何上遵循三角形法则（或平行四边形法则）。

若 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\)，则：

\(\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}\)

几何解释 (平行四边形法则)：

如果 \(OABC\) 是一个平行四边形，那么对角线向量 \(\vec{OB}\) 就是邻边的总和：\(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}\)。这是你在证明题中必须熟练运用的重要几何解释！

标量乘法： 将向量 \(\mathbf{a}\) 乘以标量 \(k\)，会改变其大小（长度），但不会改变方向（若 \(k > 0\))。

\(k\mathbf{a} = k \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k a_1 \\ k a_2 \\ k a_3 \end{pmatrix}\)

如果 \(k\) 是负数，向量的方向会反转（指向相反方向）。

2.4 求中点

线段 \(AB\) 中点 \(M\) 的位置向量是 \(A\) 和 \(B\) 位置向量的平均值。

中点公式： \(\vec{OM} = \mathbf{m} = \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})\)

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3. 大小与单位向量

3.1 计算大小

向量 \(\mathbf{a}\) 的大小（或模长）表示为 \(|\mathbf{a}|\)（有时也写作 \(\|\mathbf{a}\|\)）。由于这些分量构成了一个直角三角形（在三维中为长方体），我们使用勾股定理。

若 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\)，则：

大小公式： \(|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)

例子： 若 \(\mathbf{a} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 6\mathbf{k}\)，则 \(|\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7\)。

3.2 单位向量

单位向量是大小正好为 1 的向量。它通常纯粹用来定义一个方向。

要找到 \(\mathbf{a}\) 方向上的单位向量，只需将向量 \(\mathbf{a}\) 除以它自身的大小即可：

单位向量 \(\hat{\mathbf{a}}\) 公式： \(\hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}\)

提示： 将一个向量归一化 (Normalising) 的意思就是将其转换为单位向量。

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4. 直线方程

在 P3 中，我们不是用 \(y=mx+c\) 来描述直线，而是使用向量。这使我们能够轻松地在三维空间中进行运算。

4.1 直线的向量方程

一条直线由以下两点唯一确定：

1. 直线上一点的位置向量 \(\mathbf{a}\)。
2. 直线所遵循的方向向量 \(\mathbf{b}\)。

直线上任一点的位置向量 \(\mathbf{r}\) 可以写为：

向量方程： \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)

这里，\(t\) 是一个标量参数（任意实数）。通过改变 \(t\) 的值，你就可以从点 \(\mathbf{a}\) 出发，沿着方向 \(\mathbf{b}\) 在直线上移动。

例子： 一条通过点 \(A\)（位置向量 \(\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j}\)）且平行于方向向量 \(\mathbf{b} = 3\mathbf{i} - \mathbf{k}\) 的直线，其方程为：
\(\mathbf{r} = (\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) + t(3\mathbf{i} - \mathbf{k})\)

4.2 以分量形式书写

如果我们将分量分开书写，通常能让解联立方程组变得更容易：

若 \(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)，\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\)，且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\)，则直线方程可拆分为三个独立的方程：

分量形式 (参数方程)：
\(x = a_1 + t b_1\)
\(y = a_2 + t b_2\)
\(z = a_3 + t b_3\)

步骤：找出通过两点的直线方程

1. 确定两点的位置向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\)（或点 \(A\) 和 \(B\)）。
2. 选择其中一个位置向量作为你的固定点 \(\mathbf{a}\)（例如 \(\mathbf{a} = \vec{OA}\)）。
3. 通过计算两点间的位移来求出方向向量：\(\mathbf{d} = \vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}\)。
4. 将这些代入 \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{d}\)。

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5. 两直线之间的关系

给定两条直线 \(L_1: \mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\) 和 \(L_2: \mathbf{r} = \mathbf{c} + s\mathbf{d}\)，我们必须判断它们是平行、相交还是异面 (skew)。（注意：我们对两条直线使用了不同的参数 \(t\) 和 \(s\)，这至关重要！）

5.1 平行线

如果两条直线的方向向量互为标量倍数，则它们是平行的。

若 \(\mathbf{b} = k\mathbf{d}\)（其中 \(k\) 为某标量），则 \(L_1\) 平行于 \(L_2\)。

如果它们平行，请检查点 \(\mathbf{c}\) 是否位于 \(L_1\) 上，以判断它们是否为同一条直线（即，你能否找到一个 \(t\) 值使得 \(\mathbf{c} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)？）。

5.2 相交线

如果方向向量不平行，直线可能会相交于一点。

步骤：找出交点

1. 将两条直线方程设为相等：\(\mathbf{a} + t\mathbf{b} = \mathbf{c} + s\mathbf{d}\)。
2. 将此向量方程拆解为三个分量方程（分别对应 \(x\)、\(y\) 和 \(z\)）。
3. 使用其中任意两个方程（例如 \(x\) 和 \(y\)）组成联立方程组，并解出参数 \(t\) 和 \(s\)。
4. 关键验证步骤： 将求得的 \(t\) 和 \(s\) 值代入第三个（尚未使用的，例如 \(z\)）方程。
   • 如果第三个方程两边相等 (\(\text{LHS} = \text{RHS}\))，则两线相交。
   • 如果第三个方程两边不等，则两线为异面 (skew)。
5. 如果相交，将 \(t\) (或 \(s\)) 的值代回原直线方程 \(L_1\) (或 \(L_2\))，即可求出交点的位置向量。

5.3 异面直线 (Skew Lines)

如果两条直线不平行且不相交，则它们为异面。这只可能发生在三维空间中。如果你从特定角度看，它们看起来像是在交叉，但实际上它们永不相交。

如何判断是否异面： 按照相交线的步骤 (5.2) 进行。如果从前两个方程求出的参数 \(t\) 和 \(s\) 无法通过第三个方程的验证，则说明直线是异面的。

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6. 标量积 (点积，Dot Product)

标量积是一个基础工具，用于求两向量之间的夹角以及判断是否垂直。

6.1 定义与计算

两个向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的标量积（或点积）结果是一个 标量（一个数字）。

根据给定的信息，有两种计算方式：

1. 使用分量：

   若 \(\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}\) 且 \(\mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}\)：

   公式 1： \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)

   这只是将对应的分量相乘，然后将结果相加。
2. 使用大小与夹角：

   若 \(\theta\) 为 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 之间的夹角（将两者起点对齐时）：

   公式 2： \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta\)

6.2 找出两向量（或直线）之间的夹角

我们结合上述两个公式来求出 \(\cos \theta\)：

夹角公式： \(\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\)

步骤：找出夹角 \(\theta\)

1. 使用公式 1（分量）计算标量积 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\)。
2. 计算 \(\mathbf{a}\) 的大小 \(|\mathbf{a}|\)。
3. 计算 \(\mathbf{b}\) 的大小 \(|\mathbf{b}|\)。
4. 将结果代入夹角公式，并解出 \(\theta = \arccos(\dots)\)。

注意： 当寻找两条直线之间的夹角时，必须使用直线的方向向量 (\(\mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{d}\))。

6.3 垂直性检查 (正交性)

这是标量积最重要的应用。

如果两个向量垂直（成 90° 角），则 \(\theta = 90^\circ\)。由于 \(\cos(90^\circ) = 0\)，因此标量积必须为零。

垂直条件： \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)

6.4 应用：垂足与最短距离

一个常见的 P3 问题是从点 \(P\) 到直线 \(L\) 寻找垂足 \(N\)，以及计算从 \(P\) 到 \(L\) 的最短距离。

设直线 \(L\) 为 \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)。由于 \(N\) 位于 \(L\) 上，其位置向量 \(\mathbf{n}\) 可表示为 \(\mathbf{n} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)。

步骤：

1. 用参数 \(t\) 表示向量 \(\vec{PN}\)（即从 \(P\) 到直线上一般点 \(N\) 的向量）：
   \(\vec{PN} = \mathbf{n} - \mathbf{p} = (\mathbf{a} + t\mathbf{b}) - \mathbf{p}\)。
2. 由于 \(\vec{PN}\) 必须垂直于直线 \(L\)，因此 \(\vec{PN}\) 必须垂直于直线的方向向量 \(\mathbf{b}\)。
3. 应用垂直条件：\(\vec{PN} \cdot \mathbf{b} = 0\)。
4. 解出该标量方程中的参数 \(t\)。
5. 将 \(t\) 的值代回 \(\mathbf{n}\) 的表达式，即可求出 \(N\) 的位置向量。
6. 最短距离：要计算从点 \(P\) 到直线 \(L\) 的最短距离，只需计算位移向量的大小：\(|\vec{PN}|\)。

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排除内容总结 (9709 P3 向量无需研读的部分)

为了保持你的学习重点，请记住以下进阶向量概念不需要在 9709 Pure Mathematics 3 考纲中研读：

• 向量积 (外积，Cross Product)： 这种运算产生一个垂直于原两向量的向量，是不需要的。
• 一般分点定理： 虽然包含中点，但一般点将线段分成 \(\lambda:\mu\) 比例的公式是不需要的知识。
• 异面直线间的最短距离： 你只需要判断两线是否为异面，不需要计算它们之间的最短距离。
• 平面的方程： 平面几何超出 P3 向量的范围。

专注于大小、直线方程、判断相交/异面，以及标量积的应用！

你一定没问题的！向量是一个强大的技能，能将代数与几何美妙地联结起来。继续练习这些步骤吧！