A Level Pure Mathematics 3 (9709) 学习笔记：向量 (3.7)
欢迎来到向量的世界！这是 Pure Mathematics 3 中最实用且概念逻辑最严密的部分之一。为什么这么说呢？因为向量赋予了我们描述并解决二维和三维空间中位置、运动及力学问题的能力。你可以把它看作是坐标几何技能的“升级版”，让你能够应对现实世界中那些不仅限于平面图形的问题！
如果起初觉得三维空间有些难以理解，不用担心。我们将通过清晰的符号标注和大量的图形化解释，为你逐步拆解每一个概念。
1. 向量基础：定义与表示法
1.1 标量与向量
在数学中，量主要分为两大类：
- 标量 (Scalar Quantity)： 仅有 大小 (magnitude)。
例如：质量 (5 kg)、速率 (60 km/h)、温度 (20°C)。 - 向量 (Vector Quantity)： 既有 大小 (magnitude) 又有 方向 (direction)。
例如：速度 (60 km/h 向北)、力 (10 N 向下)、位移 (5 m 向东)。
类比： 标量告诉你“有多少”，而向量告诉你“有多少以及去哪里”。
1.2 标准表示法
我们使用特殊的记号来区分向量和标量。在印刷体中，向量通常用粗体表示，如 \(\mathbf{a}\)；手写时，则在字母下方加横线，如 \(\underline{a}\)。
在 P3 中，向量通常有两种主要的表示方式：
-
列向量形式 (Column Vector Form / Component Form)： 最适合计算。
二维：\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
三维：\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) -
\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 形式 (单位向量形式)： 同样非常适合计算，特别是在显示方向时。\(\mathbf{i}\)、\(\mathbf{j}\) 和 \(\mathbf{k}\) 分别是沿 \(x\)、\(y\)、\(z\) 轴正方向的单位向量（大小为 1）。
三维：\(\mathbf{a} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}\)
快速回顾： 表示法
向量 \(\mathbf{a}\) 可以写成 \(\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\) 或 \(2\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - \mathbf{k}\)。
2. 位置向量与位移向量
2.1 位置向量
位置向量 (Position Vector)（记作 \(\mathbf{r}\) 或 \(\mathbf{a}\)）用于确定点 \(A\) 相对于原点 \(O\) 的位置。
如果点 \(A\) 的坐标为 \((x, y, z)\)，则其位置向量为 \(\vec{OA} = \mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)。
2.2 位移向量 (两点间的向量)
表示从点 \(A\) 到点 \(B\) 运动过程的向量称为位移向量 (Displacement Vector)，记作 \(\vec{AB}\)。
要计算 \(\vec{AB}\)，只需用终点 (\(B\)) 的位置向量减去起点 (\(A\)) 的位置向量：
公式： \(\vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}\)
记忆小贴士： 位移向量永远是“终点减起点”。
2.3 向量运算与几何
加法与减法： 按分量进行计算。在几何上，这遵循三角形法则（或平行四边形法则）。
如果 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\)，则：
\(\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}\)
几何意义 (平行四边形法则)：
如果 \(OABC\) 是一个平行四边形，则对角线向量 \(\vec{OB}\) 等于相邻两边向量之和：\(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}\)。这是在证明题中必须熟练掌握的关键几何意义！
标量乘法： 将向量 \(\mathbf{a}\) 乘以标量 \(k\)，会改变其大小（长度），但不会改变其方向（如果 \(k > 0\)）。
\(k\mathbf{a} = k \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k a_1 \\ k a_2 \\ k a_3 \end{pmatrix}\)
如果 \(k\) 是负数，向量的方向会反转（指向相反方向）。
2.4 求中点
线段 \(AB\) 中点 \(M\) 的位置向量是 \(A\) 和 \(B\) 位置向量的平均值。
中点公式： \(\vec{OM} = \mathbf{m} = \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})\)
重点摘要： 所有向量算术（加、减、标量乘）都是通过合并各个独立的分量 (\(i, j, k\)) 完成的。位移向量永远是“终点减起点”。
3. 模长与单位向量
3.1 计算模长
向量 \(\mathbf{a}\) 的模长 (Magnitude)（或长度）记作 \(|\mathbf{a}|\)（有时也用 \(\|\mathbf{a}\|\)）。由于各分量构成了一个直角三角形（或三维空间中的长方体），我们使用勾股定理。
如果 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\)，则：
模长公式： \(|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)
示例： 如果 \(\mathbf{a} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 6\mathbf{k}\)，则 \(|\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7\)。
3.2 单位向量
单位向量 (Unit Vector) 是指模长恰好为 1 的向量。它通常仅用于定义方向。
要找到沿 \(\mathbf{a}\) 方向的单位向量，只需将向量 \(\mathbf{a}\) 除以其自身的模长：
单位向量 \(\hat{\mathbf{a}}\) 公式： \(\hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}\)
提示： 将一个向量转化为单位向量的过程称为“归一化”。
易错点： 计算模长时，请记住负数的平方永远是正数。例如：\((-2)^2 = 4\)。
4. 直线方程
在 P3 中，我们不再使用 \(y=mx+c\) 来描述直线，而是使用向量方程。这使得我们能轻松处理三维空间问题。
4.1 直线的向量方程
一条直线由以下两点唯一确定：
- 直线上某固定点的位置向量，\(\mathbf{a}\)。
- 直线延伸的方向向量，\(\mathbf{b}\)。
直线上任意一点 \(r\) 的位置向量可以写成：
向量方程： \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)
这里，\(t\) 是标量参数 (scalar parameter)（可以是任何实数）。通过改变 \(t\) 的值，你就能从点 \(\mathbf{a}\) 出发，沿着方向 \(\mathbf{b}\) 在直线上移动。
示例： 一条经过点 \(A\)（位置向量 \(\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j}\)）且平行于方向向量 \(\mathbf{b} = 3\mathbf{i} - \mathbf{k}\) 的直线方程为：
\(\mathbf{r} = (\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) + t(3\mathbf{i} - \mathbf{k})\)
4.2 分量形式
将分量拆开写往往能简化方程组的求解过程：
如果 \(\mathbf{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)，\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\)，且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\)，则直线方程可拆分为三个独立方程：
分量形式 (参数方程)：
\(x = a_1 + t b_1\)
\(y = a_2 + t b_2\)
\(z = a_3 + t b_3\)
步骤：求两点连线的方程
- 确定两点 \(A\) 和 \(B\) 的位置向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\)。
- 选择其中一个作为固定点。例如，设 \(\mathbf{a} = \vec{OA}\)。
- 通过计算两点间的位移得到方向向量 \(\mathbf{b} = \vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}\)。
- 代入公式 \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)。
重点摘要： 直线的向量方程需要两样东西：一个出发点和一个方向向量。参数 \(t\) 就像是地图的缩放比例。
5. 两直线间的关系
给定两条直线 \(L_1: \mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\) 和 \(L_2: \mathbf{r} = \mathbf{c} + s\mathbf{d}\)，我们需要判断它们是平行、相交还是异面。(注意：两直线必须使用不同的参数 \(t\) 和 \(s\)——这一点至关重要！)
5.1 平行直线
如果两直线的方向向量互为标量倍数，则这两条直线平行。
若 \(\mathbf{b} = k\mathbf{d}\)（\(k\) 为某标量），则 \(L_1\) 平行于 \(L_2\)。
如果它们平行，请进一步检查点 \(\mathbf{c}\) 是否在 \(L_1\) 上（即是否存在 \(t\) 使得 \(\mathbf{c} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)），若存在，则它们是同一条直线。
5.2 相交直线
如果方向向量不平行，直线可能会在某一点相交。
步骤：求交点
- 令两条直线方程相等：\(\mathbf{a} + t\mathbf{b} = \mathbf{c} + s\mathbf{d}\)。
- 将此向量方程拆解为三个分量方程（对应 \(x, y, z\)）。
- 任选两个方程（例如 \(x\) 和 \(y\)）联立解出参数 \(t\) 和 \(s\)。
- 关键验证步骤： 将解得的 \(t\) 和 \(s\) 代入*第三个*方程（例如 \(z\)）。
- 如果第三个方程等式成立（左边=右边），说明直线相交。
- 如果第三个方程等式不成立，说明直线异面 (skew)。
- 如果相交，将求得的 \(t\)（或 \(s\)）代回原直线方程 \(L_1\)（或 \(L_2\)），即可算出交点的坐标。
5.3 异面直线
如果两条直线既不平行也不相交，则称为异面直线。这种情况只可能出现在三维空间中。从特定角度看它们似乎会交叉，但实际上它们永不相遇。
判断方法： 按照相交直线的步骤 (5.2) 操作。如果前两个方程解出的 \(t\) 和 \(s\) 无法通过第三个方程的验证，则这两条直线为异面直线。
冷知识： 想象天空中两架飞行中的飞机。如果它们的航迹既不平行也不相交（即一架在另一架上方很远的地方飞过），它们就构成了异面直线。
6. 标量积 (点积)
标量积（点积）是求两向量夹角及判断垂直性的核心工具。
6.1 定义与计算
两个向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的标量积（或点积）结果是一个 标量（一个数值）。
根据已知信息，有两种计算方式：
-
利用分量计算：
若 \(\mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}\) 且 \(\mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k}\)：
公式 1： \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)
简单来说，就是对应分量相乘后再求和。 -
利用模长和夹角计算：
若 \(\theta\) 是 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 之间的夹角（起点对起点）：
公式 2： \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta\)
6.2 求两向量（或直线）间的夹角
联立上述两个公式即可求出 \(\cos \theta\)：
夹角公式： \(\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\)
步骤：求夹角 \(\theta\)
- 利用公式 1 计算标量积 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\)。
- 计算 \(\mathbf{a}\) 的模长 \(|\mathbf{a}|\)。
- 计算 \(\mathbf{b}\) 的模长 \(|\mathbf{b}|\)。
- 代入夹角公式求解 \(\theta = \arccos(\dots)\)。
注意： 求两条*直线*的夹角时，必须使用直线的方向向量（\(\mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{d}\)）。
6.3 垂直判断 (正交性)
这是标量积最重要的应用。
如果两个向量垂直（夹角为 90°），则 \(\theta = 90^\circ\)。由于 \(\cos(90^\circ) = 0\)，此时标量积必定为 0。
垂直判定条件： \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)
6.4 应用：垂足
P3 中常见的问题是求点 \(P\) 到直线 \(L\) 的垂足 (foot of the perpendicular) \(N\)。
设直线 \(L\) 为 \(\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)。由于 \(N\) 在直线 \(L\) 上，其位置向量 \(\mathbf{n}\) 可表示为 \(\mathbf{n} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\)。
步骤：
- 用参数 \(t\) 表示向量 \(\vec{PN}\)（从 \(P\) 指向直线上一般点 \(N\) 的向量）：
\(\vec{PN} = \mathbf{n} - \mathbf{p} = (\mathbf{a} + t\mathbf{b}) - \mathbf{p}\)。 - 因为 \(\vec{PN}\) 必须垂直于直线 \(L\)，所以 \(\vec{PN}\) 必须垂直于直线的方向向量 \(\mathbf{b}\)。
- 应用垂直条件：\(\vec{PN} \cdot \mathbf{b} = 0\)。
- 解出上述标量方程中的参数 \(t\)。
- 将 \(t\) 代回 \(\mathbf{n}\) 的表达式中，求出垂足 \(N\) 的位置向量。
重点摘要： 标量积是求夹角和垂直关系的利器。记住：如果向量垂直，点积为零。利用点积求垂足或两直线夹角。
排除范围 (9709 P3 向量考纲中无需学习的内容)
为了提高复习效率，请记住以下进阶向量概念不在 9709 Pure Mathematics 3 考纲要求范围内：
- 向量积 (叉积 / Cross Product)： 这种产生垂直于原向量之向量的运算不需要掌握。
- 一般分点公式 (Ratio Theorem)： 虽然中点公式是考点，但点将线段按 \(\lambda:\mu\) 比例分割的一般公式不要求掌握。
- 异面直线间的最短距离： 你只需要*判断*直线是否异面，不需要计算它们之间的最短距离。
- 平面方程 (Equation of a Plane)： 平面几何超出了 P3 向量的考查范围。
集中精力掌握模长、直线方程、判断直线关系以及标量积的应用！
你可以做到的！向量是一种完美的工具，它将代数和几何巧妙地连接在了一起。坚持练习那些步骤吧！