🎓 纯数学 1 (Pure Mathematics 1)：第 1.1 章 二次函数学习笔记 📚
你好！欢迎来到二次函数的世界！这一章是你 AS/A Level 数学之旅的基石。二次函数描述了一种被称为抛物线 (parabola) 的特殊曲线，我们在生活中随处可见——从抛出的球的轨迹到卫星天线的形状，皆是如此。掌握这些技巧不仅能帮你稳拿 Paper 1 的分数，还能为后续的坐标几何 (Coordinate Geometry) 和微分 (Differentiation) 等主题打下坚实基础。
让我们现在就开始，一步步攻克这些强大的方程吧！
1. 理解二次函数及其图像
标准形式 (Standard Form)
二次函数是一个二次多项式，通常写成标准形式：
\[y = ax^2 + bx + c\]
其中 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 是常数，且非常重要的一点是，\(a \neq 0\)。
抛物线（图像的形状）
- 二次函数的图像称为抛物线 (parabola)。
- 它有一个唯一的转折点，称为顶点 (vertex)。
利用 a 来确定开口方向：
- 如果 \(a > 0\)（\(a\) 为正），抛物线开口向上。它呈 U 型，看起来像一张“笑脸”😊。此时顶点是最小值点 (minimum point)。
- 如果 \(a < 0\)（\(a\) 为负），抛物线开口向下。它呈倒 U 型，看起来像一张“哭脸”😞。此时顶点是最大值点 (maximum point)。
核心要点： 标准形式 \(ax^2 + bx + c\) 为你提供了使用公式所需的系数，而 \(a\) 的正负则直接告诉了你图像的开口方向（最小值或最大值）。
2. 配方法 (Completing the Square)
配方法是二次函数中常用的代数技巧，主要有两个目的：
- 轻松确定图像的顶点（转折点）。
- 当因式分解困难或无法分解时，用来求解二次方程。
配方后的形式 (Completed Square Form)
任何二次函数 \(ax^2 + bx + c\) 都可以改写为以下形式：
\[a(x+p)^2 + q\]
抛物线的顶点坐标位于 \((-p, q)\)。
分步讲解：配方法（当 \(a = 1\) 时）
我们以 \(y = x^2 + 6x + 5\) 为例：
- 对 \(b\) 项取半： 取 \(x\) 的系数（\(b\)）并除以 2。（此处 \(6/2 = 3\)）。这就是你的 \(p\)。
- 写出括号项： 从平方项 \((x+3)^2\) 开始写起。
- 减去平方值： \((x+3)^2\) 展开后是 \(x^2 + 6x + 9\)。你需要通过减去刚才引入的多余常数 (\(9\)) 来平衡方程。
- 加上原有的 \(c\) 项： 加上题目中原始的常数 (\(+5\))。
- 化简：
\(y = (x+3)^2 - 9 + 5\)
\(y = (x+3)^2 - 4\)
你知道吗？ 因为 \(p=3\)，\(q=-4\)，所以顶点坐标为 \((-3, -4)\)。
处理 \(a \neq 1\) 的情况
如果 \(a\) 不为 1（例如 \(2x^2 - 8x + 3\)），首先将 \(a\) 从 \(x^2\) 和 \(x\) 项中提取出来：
\(2x^2 - 8x + 3 = 2(x^2 - 4x) + 3\)
现在，对括号内的 \((x^2 - 4x)\) 进行配方：
\(2\left[(x - 2)^2 - 4\right] + 3\)
将 2 重新乘回：
\(2(x - 2)^2 - 8 + 3 = 2(x - 2)^2 - 5\)
顶点坐标为 \((2, -5)\)。
核心要点： 配方法能将二次函数转化为顶点式。记住口诀：中间项取半，平方后减去，以保持表达式平衡！
3. 判别式 (\(b^2 - 4ac\))
判别式 (discriminant)，用希腊字母 delta (\(\Delta\)) 表示，是二次公式中根号下的关键部分。它能在无需解方程的情况下，告诉你根的性质（即图像与 x 轴的交点情况）。
\[\Delta = b^2 - 4ac\]
三种情况：
-
\(\Delta > 0\)（判别式大于 0）：
- 意义：有两个不同的实根。
- 图像：抛物线与 x 轴有两个不同的交点。
-
\(\Delta = 0\)（判别式等于 0）：
- 意义：有一个实根（即重根，或相等实根）。
- 图像：抛物线与 x 轴恰好有一个交点（它与 x 轴相切），且该点即为顶点。
-
\(\Delta < 0\)（判别式小于 0）：
- 意义：无实根（根为复数，但在 P1 阶段我们只需说“无实根”即可）。
- 图像：抛物线完全位于 x 轴上方（若 \(a>0\)）或完全位于 x 轴下方（若 \(a<0\)）。
应用：直线与曲线的关系
这就是判别式发挥威力的地方！如果题目要求你判断直线 \(y = mx + c\) 与二次曲线 \(y = ax^2 + bx + d\) 的交点个数，请将这两个方程联立：
\[ax^2 + bx + d = mx + c\]
将其整理为一个新的二次方程，形式为 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)。然后，对这个新方程使用判别式来确定交点个数。
例子： 求使直线 \(y = x + k\) 与曲线 \(y = x^2 - 3x + 1\) 有交点的 \(k\) 的取值范围：
- 联立方程：\(x^2 - 3x + 1 = x + k\)
- 整理：\(x^2 - 4x + (1 - k) = 0\)
- 若要有交点，需 \(\Delta \geq 0\)。使用 \(A=1\)，\(B=-4\)，\(C=(1-k)\)。
- \(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(1-k) \geq 0\)。
核心要点： 判别式是解决“是否存在”及“相切”问题的利器。记住：正数意味着有两个点，零意味着一个点（重根），负数意味着没有交点。
4. 解二次方程与二次不等式
解方程 (\(ax^2 + bx + c = 0\))
解二次方程有三种方法，你必须熟练掌握每一项：
- 因式分解： 如果可行，这是最快的方法。（例如：\(x^2 - 5x + 6 = 0\) 可得 \((x-2)(x-3) = 0\)）。
- 配方法： 如果题目要求以根式形式给出答案，或需要考察顶点结构，则此法必不可少。
- 二次公式法： 适用于任何二次方程，保底方法。对于难以因式分解的情况非常重要。
二次公式（务必背下来！）
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
别担心如果你忘了——MF19 公式册里有提供！ 但熟记它能节省大量时间。
常见错误： 忘记将整个表达式（包括 \(-b\) 和根号项）都除以 \(2a\)。
解二次不等式
解不等式（涉及 \(\leq, <, >, \geq\)）需要额外一步：画草图！
解 \(x^2 - 5x + 6 > 0\) 的步骤：
- 求根： 先解方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)。我们求出根为 \(x=2\) 和 \(x=3\)。
- 画草图： 因为 \(a=1\)（正数），这是一个开口向上的笑脸抛物线，与 x 轴交于 2 和 3。
- 确定区域： 不等式要求 \(> 0\)，意味着我们想要图像在 x 轴上方的 \(x\) 的取值范围。
- 写出解集： 当 \(x\) 小于 2 或 \(x\) 大于 3 时，图像位于 x 轴上方。
解集：\(x < 2\) 或 \(x > 3\)
如果原不等式是 \(x^2 - 5x + 6 \leq 0\)，你则需要找在 x 轴下方的区域，答案应为 \(2 \leq x \leq 3\)。
核心要点： 始终先求根。对于不等式，一定要画草图。这能有效防止常见的符号错误。
5. 联立方程组
你必须能够求解一个线性方程与一个二次方程组成的联立方程组。
方法：代入法 (Substitution)
核心思路是利用线性方程得出一个变量（例如 \(y\)）的表达式，并将其代入二次方程中。这会将问题简化为求解一个一元二次方程。
例子：
方程 1（线性）：\(x + y = 5\)
方程 2（二次）：\(x^2 + 2y^2 = 17\)
分步程序：
- 从线性方程中隔离一个变量： 由 (1) 可得 \(y = 5 - x\)。
- 代入二次方程： 用 \((5 - x)\) 替换 (2) 中的 \(y\)：
\(x^2 + 2(5 - x)^2 = 17\)
- 展开并化简： 仔细展开 \((5 - x)^2 = 25 - 10x + x^2\)。
\(x^2 + 2(25 - 10x + x^2) = 17\)
\(x^2 + 50 - 20x + 2x^2 = 17\)
\(3x^2 - 20x + 33 = 0\) - 解所得到的二次方程： 解出 \(x\)（通过因式分解或公式法）。假设你找到了两个 \(x\) 的解，例如 \(x_1 = 3\) 和 \(x_2 = 3.66\)。
- 求出对应的另一个变量： 使用最简单的方程（方程 1：\(y = 5 - x\)）来求出每个 \(x\) 值对应的 \(y\) 值。
若 \(x=3\)，则 \(y = 5 - 3 = 2\)。解为 \((3, 2)\)。
若 \(x=3.66\)，则 \(y = 5 - 3.66 = 1.34\)。解为 \((3.66, 1.34)\)。
温馨提示： 永远记住最后一步！联立方程组通常会得到两对解，而不仅仅是一个变量的两个值。请务必清晰地写出坐标对。
核心要点： 联立方程组主要依靠代入法。解出二次方程后，别忘了求出第二个变量！
6. 可化为二次方程的形式
有些方程看起来很可怕，因为它们包含高次幂、分数幂或三角函数，但通过简单的换元法，它们都可以转化为二次方程。这类方程被称为关于某函数的二次方程。
识别模式
寻找这类方程：其中一项的幂次是另一项的两倍，例如大纲中的这些例子：
- \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)（此处 4 是 2 的两倍。）
- \(6x + \sqrt{x} - 1 = 0\)（若令 \(u = \sqrt{x}\)，则 \(u^2 = x\)。）
- \(\tan^2 x = 1 + \tan x\)（此处幂次 2 是 1 的两倍。）
求解可化简方程（分步讲解）
我们解 \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)：
- 确定基本变量： 令 \(u = x^2\)。
- 执行换元： 因为 \(x^4 = (x^2)^2 = u^2\)，原方程变为：
\[u^2 - 5u + 4 = 0\]
- 解关于 \(u\) 的二次方程： 因式分解得 \((u - 4)(u - 1) = 0\)。
\(u\) 的解为：\(u = 4\) 或 \(u = 1\)。
- 反解 \(x\)（最关键的一步！）： 记得初始定义 \(u = x^2\)。我们必须代回原式以求出 \(x\) 的值。
- 若 \(u = 4\)：\(x^2 = 4 \implies x = \pm 2\)
- 若 \(u = 1\)：\(x^2 = 1 \implies x = \pm 1\)
原方程共有四个解：\(x = -2, -1, 1, 2\)。
类比：
把换元看作是穿上一件暂时的外套。你换上 \(u\) 来处理复杂的代数，但在最后必须换回原来的衣服 (\(x\)) 才能回答题目！
重要考量（针对涉及根号或有定义域限制的方程）：
如果你有 \(6x + \sqrt{x} - 1 = 0\)，令 \(u = \sqrt{x}\) 意味着 \(u\) 必须为正 (\(u \geq 0\))。如果你解得的 \(u\) 有负值，你必须在求 \(x\) 之前舍去该根。
核心要点： 使用换元法（例如 \(u = f(x)\)）将复杂问题变为简单二次方程，但始终要检查新变量 \(u\) 是否有定义域限制，且一定要还原替换以求出 \(x\) 的最终答案。