欢迎来到基础三角学！
欢迎来到 A Level 数学中最实用的章节之一！三角学主要研究三角形边与角之间的关系。虽然初看之下似乎公式繁多，但这些其实只是帮助你处理几何图形的工具。无论你未来想成为建筑师、机师还是游戏开发人员，三角学都将是你最好的伙伴。
如果你对 GCSE 的基础知识感到生疏，别担心，我们会在进入精彩的 A Level 内容前先快速复习一下！
1. 直角三角形：基石
在开始任何运算前，我们必须能够根据特定的角（通常称为 \(\theta\)）正确标示直角三角形的边。
斜边 (Hypotenuse)：最长的一边，位于直角的对面。
对边 (Opposite)：位于角 \(\theta\) 对面的边。
邻边 (Adjacent)：位于角 \(\theta\) 旁边的边（斜边除外）。
SOH CAH TOA 助记法
这是记忆三个主要三角比的经典方法：
SOH：\(\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\)
CAH：\(\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}\)
TOA：\(\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}\)
角的量度：角度制与弧度制
在 A Level 数学中，角度可以用角度 (degrees)（\(^\circ\)）或弧度 (radians)（\(\text{rad}\)）来量度，其中 \(\pi\text{ rad} = 180^\circ\)。在计算前务必检查你的计算器模式：确保根据题目要求设定为 'D'/'DEG'（角度制）或 'R'/'RAD'（弧度制）。
重点提示： 如果你有一个直角三角形并已知两个信息（例如一条边和一个角），你就可以利用 SOH CAH TOA 求出所有其他数值。
2. 正弦定理与余弦定理
如果三角形没有直角怎么办？不用慌！我们有两条强大的法则来处理「非直角」三角形。
正弦定理 (Sine Rule)
当你拥有「成对关系」（即一个角及其对边）时使用：
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)
注意：如果你要计算角度，也可以将这些分式上下颠倒：\(\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\)。
正弦定理的多义情况 (The Ambiguous Case)
当已知两边和其中一边的对角（SSA 情况）时，可能会出现两个可能的三角形（一个未知角为锐角，另一个为钝角：\(180^\circ - \theta\) 或 \(\pi - \theta\)）。务必检查钝角解在几何上是否可行（即内角和是否仍小于 \(180^\circ\)）。
余弦定理 (Cosine Rule)
你可以把它看作是毕氏定理更成熟、更进阶的版本。当你有两条边及其夹角（「SAS」情况），或已知全部三条边时使用。
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)
若要计算角度，请重排公式为：
\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)
三角形面积
你不再需要垂直高度了！如果你知道两条边（\(a\) 和 \(b\)）及其夹角（\(C\)）：
\(\text{面积} = \frac{1}{2}ab \sin C\)
你知道吗？
正弦定理广泛应用于方位角 (Bearings) 和导航中。如果一艘船以 \(045^\circ\) 的方位角航行了 10 公里，你就可以利用这些法则精确计算出它向北和向东移动了多少距离。
重点提示： 用正弦定理处理成对关系，用余弦定理处理「边-角-边」或「边-边-边」的情况。
3. 三角函数的准确值
在 OCR A Level 数学 B (MEI) 中，所有试卷均可使用计算器，但你必须认识并使用三角函数的准确值，以给出精确的解析解并展示完整步骤，而不是单纯依赖小数近似值。
\(0^\circ\) (\(0\) rad)： \(\sin(0) = 0\), \(\cos(0) = 1\), \(\tan(0) = 0\)
\(30^\circ\) (\(\frac{\pi}{6}\) rad)： \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(45^\circ\) (\(\frac{\pi}{4}\) rad)： \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan(45^\circ) = 1\)
\(60^\circ\) (\(\frac{\pi}{3}\) rad)： \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\)
\(90^\circ\) (\(\frac{\pi}{2}\) rad)： \(\sin(90^\circ) = 1\), \(\cos(90^\circ) = 0\), \(\tan(90^\circ)\) 未有定义
记忆法：平方根技巧
要记住 \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\)（或 \(0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\)）的 \(\sin \theta\) 值，请写下：
\(\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\)
这简化后正是 \(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\)！
重点提示： 练习写出包含角度与弧度的准确值表格，直到你能在 30 秒内默写出来。
4. 单位圆与任意角
到目前为止，角度通常在 \(0^\circ\) 到 \(90^\circ\) 之间。但在 A Level 中，我们会探讨如 \(150^\circ\)（\(\frac{5\pi}{6}\)）甚至负角以及大于 \(360^\circ\) 的角度。我们利用单位圆（以原点为中心、半径为 1 的圆）来定义这些角度。
圆上的 x 坐标 为 \(\cos \theta\)。
圆上的 y 坐标 为 \(\sin \theta\)。
半径线段的斜率 为 \(\tan \theta\)。
CAST 图表
由于圆形具有周期重复性，不同的角度可以拥有相同的三角函数值。CAST 图表能告诉你三角比在哪个象限为正：
第一象限 (\(0\) 至 \(90^\circ\) / \(0\) 至 \(\frac{\pi}{2}\)): All（全部）皆为正。
第二象限 (\(90^\circ\) 至 \(180^\circ\) / \(\frac{\pi}{2}\) 至 \(\pi\)): 只有 Sin 为正。
第三象限 (\(180^\circ\) 至 \(270^\circ\) / \(\pi\) 至 \(\frac{3\pi}{2}\)): 只有 Tan 为正。
第四象限 (\(270^\circ\) 至 \(360^\circ\) / \(\frac{3\pi}{2}\) 至 \(2\pi\)): 只有 Cos 为正。
重点提示： 利用单位圆的对称性或 CAST 图表来找出三角方程的「次要」解。
5. 三角函数图形
可视化函数有助于你理解它们的变化规律。
\(\sin \theta\)：由 \((0,0)\) 开始，在 \(1\) 与 \(-1\) 之间波动。周期为 \(360^\circ\)（或 \(2\pi\) 弧度）。
\(\cos \theta\)：由 \((0,1)\) 开始，在 \(1\) 与 \(-1\) 之间波动。它实际上只是正弦图形向左平移了 \(90^\circ\)（\(\frac{\pi}{2}\)）。周期为 \(360^\circ\)（\(2\pi\)）。
\(\tan \theta\)：周期为 \(180^\circ\)（\(\pi\)），并在 \(90^\circ, 270^\circ\)（\(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\)）等位置有垂直渐近线 (asymptotes)。
类比：摩天轮
将 \(\sin \theta\) 图形想像成摩天轮。当轮子转动（角 \(\theta\)）时，你离地面的高度会以平滑、循环的波浪状上下起伏。这正是正弦波所代表的意义！
重点提示： 熟悉图形的「形状」有助于发现错误。例如，如果你算出 \(\sin \theta = 2\)，你就知道这是不可能的，因为图形永远不会超过 1！
6. 三角恒等式
恒等式是对所有有效角度都永远成立的方程式，常用于简化复杂的算式或解方程。
1. 正切恒等式： \(\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
2. 毕氏恒等式： \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1\)
常见错误警示！
留意符号表示法：\(\sin^2 \theta\) 代表 \((\sin \theta)^2\)，这并非等于 \(\sin(\theta^2)\)。务必小心那个小「2」的位置！
重点提示： 如果方程式同时包含 \(\sin \theta\) 和 \(\cos \theta\)，试着使用恒等式将所有项转换为同一种三角函数。
7. 解三角方程
这是所有概念的结合点。你经常会被要求在 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\)（或 \(0 \le \theta \le 2\pi\)）的范围内求解，例如 \(\sin(2\theta) = 0.5\)。
逐步指引：
1. 分离： 将三角函数单独留在一边（例如 \(\sin(2\theta) = 0.5\)）。
2. 寻找调整后范围： 如果角为 \(2\theta\) 且 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\)，请调整你的运算区间：\(0^\circ \le 2\theta \le 720^\circ\)。
3. 主值 (Principal Value)： 在计算器上使用反三角函数（例如 \(2\theta = \sin^{-1}(0.5) = 30^\circ\)）。
4. 次要值与周期解： 使用 CAST 图表或图形对称性（对于正弦：\(180^\circ - \text{PV}\)；对于余弦：\(360^\circ - \text{PV}\)；对于正切：\(\text{PV} + 180^\circ\)），并加上或减去周期（\(360^\circ\) / \(2\pi\)），以找出调整后范围内 \(2\theta\) 的所有值。
5. 最终调整： 将每个角度除以 2 即可求得 \(\theta\)。
如果觉得棘手，不必担心……
解包含 \(2\theta\) 或 \(3\theta\) 的方程式是学生最容易失分的地方之一。只需记住：先找出调整后区间内的所有角度，最后才除以系数。
重点提示： 大多数三角方程都有不止一个答案。务必检查你的范围，并利用图形或 CAST 图表找出所有解！