欢迎来到精算价值的世界！

你好！在本章中，我们将学习如何计算预期现值 (Expected Present Value, EPV)——也就是所谓的“平均”成本，以及各类保险与养老金合约的方差 (Variance)（即风险或“离散度”）。

你可以把它看作是概率与金融之间的桥梁。我们知道某人可能会身故或生存（概率），也知道货币具有时间价值（利率）。将两者结合，我们就能精确计算出保险公司今天需要准备多少资金，以支付未来的利益。如果一开始觉得很复杂也别担心，我们会一步一步为你拆解！

1. 核心概念：随机变量

在 CM1 中，我们不仅仅看固定的支付。由于我们无法确定某人何时身故，因此支付的现值是一个随机变量 (Random Variable)。

  • 对于寿险 (Life Assurances)，我们通常称现值随机变量为 \(Z\)。
  • 对于年金 (Life Annuities)，我们通常称现值随机变量为 \(Y\)。

我们的目标是求出其期望值 (Mean)（即期望值 \(E[Z]\) 或 \(E[Y]\)）以及方差 (Variance) (\(Var(Z)\) 或 \(Var(Y)\))。

快速回顾：先修知识

在深入探讨之前，请记住这两个重要工具：

\(v\)：折现因子 (Discount factor)，\(v = (1+i)^{-1}\)。
\(d\)：折现率 (Discount rate)，\(d = i / (1+i) = 1 - v\)。
\(\delta\)：利息力 (Force of interest)，\(\delta = \ln(1+i)\)。

2. 寿险：期望值与方差

寿险会在受保人身故时支付一笔总金额。这可能发生在明年、十年后或五十年后！

期望值（预期现值）

EPV 是（在特定年份身故的概率）乘以（若于该年身故时支付款项的现值）的总和。

常用符号：
- \(A_x\)：终身寿险 (Whole Life Assurance)（于身故年度末支付）。
- \(\bar{A}_x\)：终身寿险（于身故瞬间立即支付）。
- \(A_{x:\bar{n}|}^1\)：定期寿险 (Term Assurance)（仅于 \(n\) 年内身故时支付）。

方差（“二次方规则”）

要计算寿险的方差，我们使用标准公式：\(Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2\)。
那么，我们该如何求出 \(E[Z^2]\) 呢？

精算技巧： 要计算二阶矩 (Second moment, \(E[Z^2]\))，你只需取标准的 EPV 公式，并将利息力加倍（或使用平方后的折现因子 \(v^2\)）。在精算记号中，我们写作 \({}^2A_x\)。

公式：
\(Var(Z) = {}^2A_x - (A_x)^2\)

类比： 想象一场彩票游戏，奖金不变，但你运气的“利率”加倍了。这就是我们计算二阶矩的方法！

重点总结：

对于任何寿险合约，方差永远等于“以两倍利息力计算的 EPV”减去“EPV 的平方”。

3. 年金：期望值与方差

年金是在某人存活期间支付的定期款项（如养老金）。它们与寿险非常不同，因为当受保人身故时，支付就会停止。

期望值 (EPV)

我们使用符号 \(a_x\)（对于期末支付）或 \(\ddot{a}_x\)（对于期初支付）。

黄金关系式：
年金与寿险之间有一个你必须背诵的著名联系：
\(\ddot{a}_x = \frac{1 - A_x}{d}\) (离散情况)
\(\bar{a}_x = \frac{1 - \bar{A}_x}{\delta}\) (连续情况)

年金的方差

直接计算年金的方差很困难。因此，我们利用上述关系。由于年金中唯一“随机”的部分是身故时间（这正是 \(A_x\) 所衡量的），我们可以将寿险的方差转换为年金的方差。

公式：
\(Var(Y) = \frac{1}{d^2} [^2A_x - (A_x)^2]\) (离散)
\(Var(Y) = \frac{1}{\delta^2} [^2\bar{A}_x - (\bar{A}_x)^2]\) (连续)

你知道吗？ 年金的方差其实就是相应寿险的方差除以折现率的平方！这能省去你从头开始进行复杂计算的麻烦。

4. 一步步解决方差问题

如果你被要求找出 \( (x) \) 的终身寿险方差：

第一步： 在给定利率 \(i\) 下计算 EPV。这就是你的 \(A_x\)。
第二步： 观察利息力 \(\delta\)（或折现因子 \(v\)）。将 \(\delta\) 加倍（或将 \(v\) 平方）以找到“新”利率。
第三步： 使用这个新利率再次计算 EPV。这就是你的 \({}^2A_x\)。
第四步： 代入公式：\(Var(Z) = {}^2A_x - (A_x)^2\)。

5. 避免常见错误

1. 忘记将 EPV 平方： 学生经常算成 \({}^2A_x - A_x\)。请记住，公式要求的是一阶矩的平方：\((A_x)^2\)。
2. 使用错误的 "d"： 计算年金方差时，请确保使用的是原始的 \(d\)（基于 \(i\)），而不是“加倍后”的版本。
3. 混淆连续与离散： 务必检查支付是“立即”的 (\(\bar{A}\)) 还是“期末”的 (\(A\))。

6. 快速复习总结表

终身寿险：
期望值：\(A_x\)
方差：\({}^2A_x - (A_x)^2\)

期初付终身年金：
期望值：\(\frac{1 - A_x}{d}\)
方差：\(\frac{1}{d^2} [^2A_x - (A_x)^2]\)

生存保险 (Pure Endowment, \(n\) 年)：
期望值：\(A_{x:\bar{n}|}^{\:\:\:1} = v^n \cdot {}_np_x\)
方差：\(v^{2n} \cdot {}_np_x \cdot (1 - {}_np_x)\)
注：这其实就是二项式方差 \(npq\) 的一个版本，因为这是一种“有/无”的支付！

重点总结：

不要被符号吓倒。这些问题大多只需要你找出两个数值：标准 EPV 和“加倍利息”后的 EPV。一旦有了这两个数，剩下的就只是简单的减法！

继续加油！ 你做得很好。掌握这些公式是解锁 CM1 其余教学大纲的关键。