欢迎来到多人寿险的世界！

在你的 CM1 学习之旅中，目前接触的大多是关于单一个人（「单人寿险」，single life）的模型。但在现实世界中，许多保险产品涉及夫妇、商业伙伴或家庭。本章将介绍多人寿险模型，重点探讨当涉及两个生命时，我们该如何计算保费及精算现值。

如果刚开始觉得有点吃力，请别担心！如果你已经理解了单人寿险函数，其实你已经掌握了核心要素，我们现在只是要学习如何将它们组合起来。这就像从「独奏」转变为「二重奏」——音乐虽然变得更丰富了，但基本的音符是一样的。


1. 两种基本状态：联生（Joint Life）与最后生存者（Last Survivor）

处理两个生命，假设为 (x) 和 (y) 时，我们通常关注两种情境：当第一个人去世时，或是当最后一个人去世时。

联生状态 \( (xy) \)

联生状态（Joint Life status）仅在两者皆存活时存在。只要其中一人（首位）去世，该状态即「失效」或结束。

类比：想象一场网球双打比赛。只要其中一位球员离开球场，「团队」状态就结束了。

  • 符号：简单记作 \( xy \)。
  • 生存概率：若状态要存活 \( t \) 年，\( x \) 和 \( y \) 必须同时存活。假设两者独立：\( {}_tp_{xy} = {}_tp_x \times {}_tp_y \)。

最后生存者状态 \( (\overline{xy}) \)

最后生存者状态（Last Survivor status）只要有至少其中一人存活，该状态就持续存在。只有在第二个人（最后一人）去世时，该状态才会「失效」。

类比：想象一张「买一送一」优惠券，只要你的袋子里还剩下至少一件商品，优惠券就仍然有效。

  • 符号：我们在年龄上方加上一条横线来表示：\( \overline{xy} \)。
  • 生存概率：这是指 \( x \) 存活，或 \( y \) 存活，或两者皆存活的概率。计算上，使用 \( 1 - (\text{两者皆死亡的概率}) \) 会更简单。
  • 公式： \( {}_tp_{\overline{xy}} = {}_tp_x + {}_tp_y - {}_tp_{xy} \)。

快速回顾：
联生 \( (xy) \) = 结束于第一人死亡。
最后生存者 \( (\overline{xy}) \) = 结束于第二人死亡。


2. 两人的寿险保单函数

与单人寿险一样，我们也可以根据这些状态来设计给付保险金的契约。

联生寿险 \( A_{xy} \)

此保单在第一人死亡的年度末（若是 \( \bar{A}_{xy} \) 则为立即）支付 1 单位的保险金。谁先去世并不重要，只要有人先离世，钱就会支付。

最后生存者寿险 \( A_{\overline{xy}} \)

此保单在第二人死亡的年度末支付 1 单位的保险金。这常见于用于遗产税规划的「终身寿险」保单。

核心关系公式

有一个你必须背诵的重要恒等式，它连接了单人、联生与最后生存者：

\( A_x + A_y = A_{xy} + A_{\overline{xy}} \)

为什么？你可以这样想：如果你拥有两份保单——一份在第一人死亡时给付，另一份在第二人死亡时给付——你总共保证会有两笔给付，分别对应 \( x \) 的死亡和 \( y \) 的死亡。

重点提示：如果你知道其中三个数值，就一定能算出第四个！


3. 两人的年金函数

年金的逻辑与寿险相同，我们只需决定付款何时停止。

联生年金 \( a_{xy} \)

只要两者皆存活，付款就会持续。一旦其中一人去世，付款即停止。

最后生存者年金 \( a_{\overline{xy}} \)

只要至少一人存活，付款就会持续。这是夫妻之间最常见的退休金类型；如果其中一人去世，幸存者将继续领取收入。

公式：
就像寿险一样，我们有一个漂亮的关系式：
\( a_{\overline{xy}} = a_x + a_y - a_{xy} \)

逐步计算技巧：
1. 计算单人年金 \( a_x \) 和 \( a_y \)。
2. 计算联生年金 \( a_{xy} \)。
3. 使用上述公式求出最后生存者年金。


4. 条件式寿险（Contingent Assurances）

有时，保险金仅在特定人士先去世时才支付。我们在必须先去世的那个人年龄上方标上一个小的「1」来代表。

  • \( A_{xy}^1 \)：在 \( x \) 死亡时支付保险金，前提是 \( x \) 比 \( y \) 先去世。
  • \( A_{xy}^2 \)：在 \( x \) 死亡时支付保险金，前提是 \( x \) 在 \( y \) 之后去世。

你知道吗？
如果你将 \( A_{xy}^1 \) 和 \( A_{yx}^1 \) 相加，你会得到 \( A_{xy} \)。这是因为第一个去世的人必然是 \( x \) 或 \( y \) 其中之一！

常见错误：不要将 \( A_{xy}^2 \) 与 \( A_{\overline{xy}} \) 搞混。\( A_{\overline{xy}} \) 在第二人死亡时支付（无论是谁）。\( A_{xy}^2 \) 则是在 \( x \) 死亡时支付，但前提是 \( x \) 是后离世的那一个。


5. 延后给付年金（Reversionary Annuities）

延后给付年金（Reversionary annuity）是一种特殊的「等待型」年金，通常记为 \( a_{x|y} \)。这意味着年金会支付给 \( y \)，但仅在 \( x \) 去世之后才开始。

类比：想象一场接力赛。\( y \) 正在等待 \( x \) 「交棒」（去世），之后 \( y \) 才能开始跑步（领取年金）。如果 \( y \) 比 \( x \) 先去世，年金就永远不会开始！

简单逻辑：
对 \( y \) 在 \( x \) 死后领取的延后年金现值，等于 \( y \) 全期年金的现值，减去他们同时存活期间的价值。
\( a_{x|y} = a_y - a_{xy} \)


6. 在独立假设下的评估

为了在考试中解决这些问题，我们通常假设两个生命是独立的，这会让数学运算简单得多。

独立性的关键规则：
  1. 生存概率： \( {}_tp_{xy} = {}_tp_x \times {}_tp_y \)。
  2. 死亡力（Force of Mortality）：联生状态的死亡力是个别死亡力的总和： \( \mu_{xy}(t) = \mu_x(t) + \mu_y(t) \)。
  3. 预期现值 (EPV)：如果两人的死亡力皆为常数（假设为 \( \mu_x \) 和 \( \mu_y \)）且利率为 \( \delta \)，则：
    \( \bar{a}_{xy} = \frac{1}{\mu_x + \mu_y + \delta} \)

记忆小撇步：对于联生状态，状态结束的「风险」较高，因为有两个人都有可能导致状态结束。这就是为什么我们将死亡力相加的原因！


7. 总结与快速回顾

必须背诵的关键公式：

  • 最后生存者年金： \( a_{\overline{xy}} = a_x + a_y - a_{xy} \)
  • 延后给付年金： \( a_{x|y} = a_y - a_{xy} \)
  • 概率（联生）： \( {}_tp_{xy} = {}_tp_x \times {}_tp_y \)
  • 概率（最后生存者）： \( {}_tp_{\overline{xy}} = {}_tp_x + {}_tp_y - ({}_tp_x \times {}_tp_y) \)

最后鼓励：多人寿险函数的核心在于理解为了让保险金支付，谁必须保持存活。如果卡住了，试着画出时间轴——标出 \( x \) 何时死亡、\( y \) 何时死亡，并标示出发生给付的区间。你一定做得到的！