欢迎来到多重减损模型 (Multiple Decrement Models)！
在你的精算学习旅程中，你可能已经花了很多时间研究那些只有单一事件可能发生的模型：死亡。虽然“单一减损”(Single Decrement) 模型很有用，但现实世界却复杂得多！举个例子，在养老金基金中，成员可能会因为退休、身故，或仅仅是辞职跳槽而离开。这些都是该基金中不同的“退出”(exit) 方式。
本章的重点在于追踪这些不同的离开方式，更重要的是，评估现金流的价值，而这些现金流取决于某人采取了哪种“退出”方式。如果这看起来比你之前见过的生命表复杂，别担心——我们会一步步为你拆解！
1. 什么是多重减损模型？
多重减损模型 (Multiple Decrement Model) 描述的是一种情况：个人处于一个“活跃”(active) 状态，并可能基于多种不同原因（减损）离开该状态。一旦他们离开，就不会再回来（这是多重减损模型与多状态模型之间的主要区别）。
“漏水的桶子”类比：
想象一个装满水的桶子。这个桶子底部有三个不同的洞。一个洞代表“死亡”，另一个代表“退休”，第三个则代表“辞职”。水（代表人群）可以从这些洞中的任何一个漏出。要了解还剩下多少水，你需要知道每一个洞的流速以及它们如何共同作用。
需要记住的关键术语：
- 减损 (Decrement)： 一种具体的退出原因（例如：死亡、残疾、退出）。
- 相依概率 (Dependent Probability) \( q_x^{(j)} \)： 一位 \( x \) 岁的人在考虑所有其他原因的情况下，在一年内特别因原因 \( j \) 而离开该群体的概率。
- 总退出概率 (Total Probability of Exit) \( q_x^{\tau} \)： 一位 \( x \) 岁的人在一年内因任何原因离开该群体的概率。这仅仅是所有个别相依概率的总和：\( q_x^{\tau} = \sum q_x^{(j)} \)。
快速复习： 在多重减损表 (MDT) 中，我们使用 \( l_x^{\tau} \) 来代表 \( x \) 岁时的活跃人数。因原因 \( j \) 而离开的人数记为 \( d_x^{(j)} \)。
2. 减损强度 (Forces of Decrement)
就像我们有死亡强度 \( \mu_x \) 一样，我们也有针对每个原因的减损强度 (Force of decrement)。我们将 \( x \) 岁时原因 \( j \) 的减损强度记为 \( \mu_x^{(j)} \)。
总减损强度 (Total force of decrement)，\( \mu_x^{\tau} \)，是每个个别原因强度的总和：
\( \mu_x^{\tau} = \mu_x^{(1)} + \mu_x^{(2)} + ... + \mu_x^{(m)} \)
生存概率 (Survival Probability)：
一个人保持活跃状态 \( t \) 年的概率为：
\( _{t}p_x^{\tau} = \exp( -\int_{0}^{t} \mu_{x+s}^{\tau} ds ) \)
等等！一个原因会影响另一个吗？
在这些模型中，我们假设各种强度是同时发生作用的。如果某人死亡了，他们就无法再退休。这就是为什么我们称这些概率为“相依”——退休的可能性取决于该个人是否在死亡等其他风险中幸存下来！
3. 相依与独立费率 (Dependent vs. Independent Rates)
这往往是学生觉得比较棘手的地方，但这里有一个简单的思考方式。
相依费率 (Dependent Rates)（现实世界）
如前所述，这些是我们在此所有退出原因同时运作的群体中所观察到的概率。符号：\( q_x^{(j)} \)。
独立费率 (Independent Rates)（“假设”世界）
这些也被称为相关单一减损费率 (Associated Single Decrement Rates)。我们想象一个只有一个退出原因存在的世界。例如，“如果假设这个人绝对不会死亡或退休，那么他们辞职的概率是多少？”符号：\( q_x^{'(j)} \)。
要避免的常见错误：
绝对不要单纯将独立费率 \( q_x^{'(j)} \) 相加来得到总数。你只能将相依费率 \( q_x^{(j)} \) 相加来获得总退出概率。
记忆小撇步：
将相依费率视为“竞争”。所有的退出原因都在竞赛，看谁先“抓住”这个人。
4. 费率之间的转换（假设条件）
要在独立费率 \( q_x^{'(j)} \) 与相依费率 \( q_x^{(j)} \) 之间进行转换，我们通常需要对年度内减损如何发生作出假设。
假设 1：多重减损表中的减损均匀分布 (UDD in the MDT)
如果我们假设每个减损 \( d_x^{(j)} \) 在多重减损表中均匀地分布在全年，我们使用以下近似公式：
\( q_x^{(j)} \approx q_x^{'(j)} [1 - \frac{1}{2} \sum_{k \neq j} q_x^{'(k)}] \)
注意：当你拥有独立费率并想求出相依费率时，会使用此公式。
假设 2：恒定减损强度
如果我们假设每个减损的强度在该岁数的一年内保持不变，则关系为：
\( q_x^{(j)} = \frac{\mu^{(j)}}{\mu^{\tau}} \cdot q_x^{\tau} \)
其中 \( \mu^{(j)} / \mu^{\tau} = \ln(1 - q_x^{'(j)}) / \ln(1 - q_x^{\tau}) \)。
关键要点： 相依费率 \( q_x^{(j)} \) 总是小于独立费率 \( q_x^{'(j)} \)。为什么？因为在相依的世界中，一些原本会因为原因 \( j \) 而离开的人，先被其他原因“抢走”了！
5. 预测与评估预期现金流
现在进入最重要的部分：计算福利的价值。在 CM1 中，你经常会被要求找出在特定退出条件下所支付福利的预期现值 (Expected Present Value, EPV)。
EPV 的通用配方：
1. 识别概率： 此人在 \( t \) 时刻仍然“活跃”，然后恰好在该时刻因原因 \( j \) 而离开的概率是多少？\( _{t}p_x^{\tau} \cdot \mu_{x+t}^{(j)} \)
2. 识别现金流： 支付的金额是多少？ \( B_{t} \)
3. 识别折现因子： 将金额折算回今日价值。 \( v^t \)
4. 积分（或加总）： 在可能的时间范围内将它们全部加总。
因减损 \( j \) 而立即支付 1 单位的福利公式：
\( \bar{A}_x^{(j)} = \int_{0}^{\infty} v^t \cdot _{t}p_x^{\tau} \cdot \mu_{x+t}^{(j)} dt \)
现实世界示例：
雇主规定，如果员工在职期间死亡，则支付 50,000 美元的总付额，但如果员工辞职则不支付任何费用。为了评估这一点，精算师只关心死亡强度 \( \mu^{(death)} \)，但必须使用总生存概率 \( _{t}p_x^{\tau} \)，因为如果员工辞职了，“在职死亡”福利就不再可能发生了！
6. 一步步解决评估问题
如果你遇到计算题，请遵循以下步骤：
步骤 1： 识别所有可能的减损（例如：死亡、退出）。
步骤 2： 计算总强度或总生存概率。你需要知道此人仍然“处于随时可能经历感兴趣的特定减损”状态的概率。
步骤 3： 为特定福利设定 EPV 方程。仅包含触发付款原因的“强度”或“费率”。
步骤 4： 如果福利是“生存福利”（例如 65 岁开始领取的养老金），你只需要总生存概率 \( _{t}p_x^{\tau} \)，看看他们是否在没有发生任何减损的情况下活到了 65 岁。
你知道吗？
养老金精算师花费大量时间在这些计算上。他们必须假设有多少人会留任到退休年龄，以确保公司已经储存了足够的钱来支付他们的养老金！
总结与关键要点
- 多重减损： 当离开状态的方式不止一种时使用（例如：死亡 vs. 退休）。
- 强度： 减损强度是可以相加的：\( \mu_x^{\tau} = \sum \mu_x^{(j)} \)。
- 相依性： 因某个原因而离开的概率取决于其他原因，因为它们在竞争“移除”处于该状态的生命。
- EPV： 在评估原因 \( j \) 的福利时，务必将总生存概率 \( _{t}p_x^{\tau} \) 与原因 \( j \) 的特定费率/强度结合使用。
- 准确性： 在开始计算之前，请务必确认题目给出的是独立还是相依费率！
如果符号起初看起来像是一堆乱码，别担心。专注于逻辑：生存到 \( t \) 时刻的概率（使用桶子里所有的洞）乘以在 \( t \) 时刻的退出率（仅使用触发付款的特定那个洞）。你一定做得到的！