M1 微积分：微分应用复习笔记
同学们好！欢迎来到微积分最重要、最刺激的课题之一。您是否曾想过，商家如何找出最佳定价以实现利润最大化？或者工程师如何设计出用料最少但容积最大的容器？答案就是微分！
在本课题中，我们将看到导数（您已知道它是函数的斜率）远不止一个数字那么简单。它是一个工具，能帮助我们理解事物如何变化、找出最高点和最低点，并解决现实世界的问题。内容听起来或许复杂，但请勿担心，我们将逐步解析。让我们一同深入学习！
第一节：曲线的几何特性 —— 切线
您还记得学习导数的第一件事吗？函数在某一点的导数，就是该点切线的斜率。切线是指一条直线，它在某一点“接触”曲线，而不会穿过曲线（至少在那一点不会）。
如何找出切线的方程
找出切线方程是经典的考试题，只要依循步骤，即可轻易完成！一条直线，我们只需要两个要素：一个点和一个斜率。
让我们找出曲线 $$y = f(x)$$ 在 $$x = a$$ 处的切线方程。
- 找出点 (a, f(a))：如果您只知道 x 值，将它代入原函数 $$f(x)$$ 以获得 y 值。这样您的点就是 $$(a, f(a))$$。
- 找出斜率 (m)：斜率就是导数！首先，找出导函数 $$f'(x)$$。然后，将您的 x 值代入导数中以获得斜率：$$m = f'(a)$$。
- 使用点斜式：现在您有了点 $$(x_1, y_1) = (a, f(a))$$ 和斜率 $$m$$。只需使用经典的直线方程公式：$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$
逐步示例：
找出曲线 $$f(x) = x^3 - 2x + 5$$ 在 $$x = 2$$ 处的切线方程。
步骤 1：找出点。
x 坐标是 $$x=2$$。
y 坐标是 $$f(2) = (2)^3 - 2(2) + 5 = 8 - 4 + 5 = 9$$。
所以，我们的点是 (2, 9)。
步骤 2：找出斜率。
首先，找出导数：$$f'(x) = 3x^2 - 2$$。
现在，代入 $$x=2$$ 以获得斜率：$$m = f'(2) = 3(2)^2 - 2 = 3(4) - 2 = 10$$。
斜率是 10。
步骤 3：使用点斜式。
我们有 (2, 9) 点和斜率 m = 10。
$$ y - 9 = 10(x - 2) $$
$$ y - 9 = 10x - 20 $$
$$ y = 10x - 11 $$
这就是我们的最终答案！您看，这就是一个三步骤的流程。
第一节重点提示：
导数 $$f'(a)$$ 是在 $$x=a$$ 处切线的斜率。要找出切线方程，您需要一个点和这个斜率。
第二节：变化的速度 —— 变化率
导数不仅告诉我们图像的斜率；它还告诉我们瞬时变化率。想象一下：您汽车一次旅程的平均速度是总距离除以总时间。但您里程表上任何时刻显示的数字，就是您的瞬时速度。导数就是任何变量变化的“里程表”！
符号 $$\frac{dy}{dx}$$ 字面意思就是“y 对 x 的变化率”。如果变量是时间 `t`，那么 $$\frac{dy}{dt}$$ 就表示“y 随时间变化的速度”。
现实世界例子：
- 如果 $$s(t)$$ 是物体在时间 $$t$$ 的位移（位置），那么 $$s'(t) = \frac{ds}{dt}$$ 就是它的速度。
- 如果 $$v(t)$$ 是物体在时间 $$t$$ 的速度，那么 $$v'(t) = \frac{dv}{dt}$$ 就是它的加速度。
- 如果 $$V(r)$$ 是半径为 $$r$$ 的球体体积，那么 $$\frac{dV}{dr}$$ 告诉我们体积随半径微小变化而变化的幅度。
逐步示例：
球体的体积由 $$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$ 给出。当半径为 5 厘米时，求体积对半径的变化率。
步骤 1：明确要找出什么。
“体积对半径的变化率”意味着我们需要找出 $$\frac{dV}{dr}$$。
步骤 2：对函数求导。
函数是 $$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$。记住 $$\frac{4}{3}$$ 和 $$\pi$$ 都只是常数。
$$ \frac{dV}{dr} = \frac{4}{3}\pi \cdot (3r^2) $$
$$ \frac{dV}{dr} = 4\pi r^2 $$
您知道吗？球体体积的变化率就是它的表面积！这是否令人惊讶？
步骤 3：代入给定的值。
我们需要找出当半径为 5 厘米时的变化率，所以我们代入 $$r=5$$。
$$ \frac{dV}{dr} |_{r=5} = 4\pi (5)^2 = 4\pi(25) = 100\pi $$
所以，当半径为 5 厘米时，体积以 $$100\pi$$ 立方厘米/厘米 的速率变化。
第二节重点提示：
导数衡量的是瞬时变化率。当您看到“A 对 B 的变化率”时，您应立即想到“找出 $$\frac{dA}{dB}$$”。
第三节：上坡、下坡和平坦点 —— 找出极大值和极小值
这就是微分成为优化超级工具的地方。我们可以用它来找出任何函数的山峰和山谷。
想象您沿着一条曲线从左到右行进：
- 当您向上坡行进时，斜率是正的，所以 $$f'(x) > 0$$。函数在递增。
- 当您向下坡行进时，斜率是负的，所以 $$f'(x) < 0$$。函数在递减。
- 当您到达山顶或谷底时，地面会暂时平坦。斜率为零，所以 $$f'(x) = 0$$。这些重要的点称为驻点。
驻点的类型
驻点（即 $$f'(x) = 0$$ 的点）可以是：
- 局部极大值：“山”的顶部。函数从递增转为递减。
- 局部极小值：“谷”的底部。函数从递减转为递增。
- 驻变曲点：一个平坦点，但它既不是山顶也不是谷底。函数会变平，然后沿着相同的方向继续。
一阶导数判别法
这个判别法帮助我们判断驻点的类型。这就像派遣侦察兵在平坦点前后探测斜率。
操作方法：
1. 找出使 $$f'(x) = 0$$ 的 x 值。这些就是您的驻点。
2. 为 $$f'(x)$$ 制作一个符号表。
3. 在每个区间（驻点之前、之间和之后）测试一个 $$x$$ 值，看看 $$f'(x)$$ 是正数 (+) 还是负数 (-)。
4. 分析每个驻点周围的符号：
- 符号从 + 变为 - ($$\nearrow \searrow$$)：您有一个局部极大值。
- 符号从 - 变为 + ($$\searrow \nearrow$$)：您有一个局部极小值。
- 符号没有改变（+ 变为 + 或 - 变为 -）：您有一个驻变曲点。
逐步示例：
找出并判断函数 $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$$ 的驻点。
步骤 1：找出 $$f'(x)$$ 并将其设为零。
$$f'(x) = 3x^2 - 6x$$
$$3x^2 - 6x = 0$$
$$3x(x - 2) = 0$$
所以，驻点位于 $$x = 0$$ 和 $$x = 2$$。
步骤 2：为 $$f'(x)$$ 制作一个符号表。
我们测试区间 $$x<0$$、$$0
- 测试 $$x = -1$$： $$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9$$ (正数)
- 测试 $$x = 1$$： $$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$$ (负数)
- 测试 $$x = 3$$： $$f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$$ (正数)
符号表：
x x < 0 x = 0 0 < x < 2 x = 2 x > 2
f'(x) 的符号 + 0 - 0 +
形状 $$\nearrow$$ (极大) $$\searrow$$ (极小) $$\nearrow$$
步骤 3：总结并找出坐标。
在 $$x=0$$ 处，符号从 + 变为 -，所以它是局部极大值。该点是 $$(0, f(0)) = (0, 1)$$。
在 $$x=2$$ 处，符号从 - 变为 +，所以它是局部极小值。该点是 $$(2, f(2)) = (2, 8 - 12 + 1) = (2, -3)$$。
快速回顾框
递增函数： $$f'(x) > 0$$ (斜率为正)
递减函数： $$f'(x) < 0$$ (斜率为负)
驻点： $$f'(x) = 0$$ (斜率为零)
第四节：曲线的形状 —— 凹凸性与二阶导数判别法
一阶导数告诉我们函数是上升还是下降。二阶导数，$$f''(x)$$，则告诉我们函数的形状或弯曲度。这称为凹凸性。
- 凹向上：曲线形状像一个“U”（能盛水）。斜率正在增加（例如，从 -2 到 -1 到 0 到 1）。这发生在 $$f''(x) > 0$$ 时。
- 凹向下：曲线形状像一个“n”（会把水倒出来）。斜率正在减少（例如，从 2 到 1 到 0 到 -1）。这发生在 $$f''(x) < 0$$ 时。
二阶导数判别法（一个方便的捷径！）
二阶导数判别法是一种判断驻点类型的更快方法，无需制作符号表。
操作方法：
1. 找出使 $$f'(x) = 0$$ 的 x 值（您的驻点）。
2. 找出二阶导数 $$f''(x)$$。
3. 将每个驻点的 x 值代入 $$f''(x)$$ 中：
- 如果 $$f''(x) > 0$$（正数），曲线凹向上（“U”形），所以您找到的是一个局部极小值。
- 如果 $$f''(x) < 0$$（负数），曲线凹向下（“n”形），所以您找到的是一个局部极大值。
- 如果 $$f''(x) = 0$$，则判别法无法判断。它失效了！您必须回去使用一阶导数判别法。
记忆法：
- $$f''(x)$$ 是正数 --> 想想“加”号 --> 笑脸 :) --> 它是“极小值”。
- $$f''(x)$$ 是负数 --> 想心“减”号 --> 愁眉苦脸 :( --> 它是“极大值”。
逐步示例（使用相同函数）：
使用二阶导数判别法判断函数 $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$$ 的驻点类型。
步骤 1：找出驻点。
我们已经找到了：$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 0$$ 在 $$x = 0$$ 和 $$x = 2$$ 处。
步骤 2：找出二阶导数。
$$f''(x) = 6x - 6$$
步骤 3：将每个点代入 $$f''(x)$$ 中测试。
- 对于 $$x=0$$： $$f''(0) = 6(0) - 6 = -6$$。这是负数，所以 $$x=0$$ 是一个局部极大值。
- 对于 $$x=2$$： $$f''(2) = 6(2) - 6 = 6$$。这是正数，所以 $$x=2$$ 是一个局部极小值。
这与我们使用一阶导数判别法所得的结果相符，但速度快得多！
第四节重点提示：
$$f''(x)$$ 描述凹凸性。二阶导数判别法是判断驻点类型的快捷方法：$$f''(x) > 0 \Rightarrow$$ 极小值，$$f''(x) < 0 \Rightarrow$$ 极大值。
第五节：融会贯通 —— 最值问题
这就是我们的最终目标！我们想找出函数的绝对最大或最小值。这可以是最大利润、最低成本、最大面积等情况。
局部极值与全局极值
- 局部极值（或相对极值）：这些是我们一直在寻找的局部山峰和山谷。如果一个点比紧邻其周围的所有点都高，那么它就是一个局部最大值。
- 全局极值（或绝对极值）：这是整个函数或特定区间内的绝对最高或最低点。
重要提示！在一个闭区间 $$[a, b]$$ 上的全局最大值或最小值可能发生在驻点，也可能发生在端点（$$x=a$$ 或 $$x=b$$）。您总是必须检查端点！
解决最值问题的终极攻略：
1. 理解问题：仔细阅读。确定您想最大化或最小化的量（例如：面积、体积、成本）。
2. 列出方程：写出您优化量的公式（即“目标函数”）。您也可能有一个“限制条件”方程（例如：固定的周长）。使用限制条件将目标函数写成单变量的形式。
3. 求导数：对您的单变量目标函数求导。
4. 找出驻点：将导数设为零并求解。
5. 判别并证明：使用一阶或二阶导数判别法来确认您找到的是最大值还是最小值。
6. 检查端点：如果问题有闭区间（例如：“x 必须在 0 到 10 之间”），您还必须计算函数在端点的值。
7. 找出最终答案：比较驻点和端点的值。最大的就是全局最大值，最小的就是全局最小值。确保您回答了实际的问题！
逐步示例：
您有 40 米长的围栏可用于建造一个长方形花园。花园的最大可能面积是多少？
步骤 1：理解。我们要最大化面积。
步骤 2：方程。设长度为 $$L$$，宽度为 $$W$$。
- 目标函数（面积）：$$A = LW$$。
- 限制条件（周长）：$$2L + 2W = 40$$。
让我们将 $$A$$ 用一个变量表示。从限制条件中，$$2L = 40 - 2W$$，所以 $$L = 20 - W$$。
将此代入面积公式：
$$ A(W) = (20 - W)W = 20W - W^2 $$
步骤 3：导数。
$$ A'(W) = 20 - 2W $$
步骤 4：驻点。
$$ 20 - 2W = 0 $$
$$ 2W = 20 $$
$$ W = 10 $$
步骤 5：判别。我们使用二阶导数判别法。
$$ A''(W) = -2 $$
由于 $$A''(W)$$ 总是 -2（为负数），我们的驻点 $$W=10$$ 必须是一个最大值。验证成功！
步骤 6：端点。宽度 $$W$$ 必须大于 0，并且小于 20（否则 L 将是 0 或负数）。所以区间是 $$(0, 20)$$。由于这是一个开区间，我们没有端点需要检查。我们的驻点是唯一的候选。
步骤 7：最终答案。问题要求的是最大面积，而不仅仅是宽度。
如果 $$W = 10$$，那么 $$L = 20 - 10 = 10$$。
最大面积 $$ = L \times W = 10 \times 10 = 100$$ 平方米。
最大可能面积是 100 平方米（这发生在花园是正方形时！）。
常见错误提醒：
- 忘记检查闭区间的端点。这是非常常见的失分点！
- 求出 `x` 的值后，忘记将其代回以找出实际的最大/最小值。
- 混淆一阶和二阶导数判别法。记住，$$f'(x)=0$$ 找出点，$$f''(x)$$ 判断其类别。
第五节重点提示：
要找出区间上的全局最大/最小值，请找出函数在所有驻点以及端点处的值。最大/最小值就是您的答案。