数学科 M2 (代数与微积分)：向量简介
同学们您好！欢迎来到 M2 其中一个最形象化、最实用课题的学习笔记：向量。就算名称听起来有些陌生也无需担心。向量仅是一种很好的方法来描述一些同时具有“大小”和“方向”的量。试想如何指路：“向北行 500 米”。当中的“500 米”就是大小，“向北”就是方向。这就是一个向量了！
在这个章节，我们将学习如何运用向量的语言，如何将它们加减，以及如何在坐标系统中处理它们。这个课题在物理学、计算机图形学、工程学，甚至是电子游戏设计方面都非常实用！
1. 什么是向量与标量？
在数学与科学中，我们会用两类型的量来描述世界：
标量：就是一个数字
标量是指仅具有大小（简单来说就是“数值”或者“数量”）的量。
例子：
您的身高 (例如：1.7 米)
温度 (例如：25°C)
汽车的速率 (例如：50 km/h)
您拥有的金钱数目 (例如：$100)
这些全部都仅是数字。它们没有方向。
向量：一个数字“加”一个方向
向量是指同时具有大小“以及”方向的量。这就是最主要的区别！
例子：
速度：一辆汽车以 50 km/h 的速率向东行驶。
力：以 20 牛顿的力向下推一个箱。
位移：从您家向北步行 1 公里。
如何书写与绘制向量
绘制向量很简单！我们仅使用箭头来表示。箭头的长度代表它的大小，而箭头指向的方向就是向量的方向。
向量记法：
在课本中，您会看到向量会用粗体字表示，例如 a 或者 v。
当您手写时，则应在字母上面加一个箭头，例如 $$ \tag{latex}\text{\vec{a}} $$ 或者 $$ \tag{latex}\text{\vec{v}} $$。
从 A 点到 B 点的向量，会写作 $$ \tag{latex}\text{\vec{AB}} $$。
大小记法：
向量 a 的大小（或者长度）会写作 $$ \tag{latex}\text{|\textbf{a}|} $$ 或者 $$ \tag{latex}\text{|\vec{a}|} $$。大小永远是一个正数或者零（它是一个标量！）。
特殊类型的向量
零向量：这个向量的大小为零，没有特定方向。它会写作 0 或者 $$ \tag{latex}\text{\vec{0}} $$。您可以将其想象为“不要移动”的指令。
单位向量：这是一个非常重要的概念！单位向量是指任何大小恰好为 1 的向量。单位向量用来描述方向。沿着向量 a 方向的单位向量，通常会写作 $$ \tag{latex}\text{\hat{\textbf{a}}} $$。
重点提示
标量仅是数字（大小）。向量同时具有大小和方向。请记住：速度是向量，但速率是标量！
2. 向量运算：基本法则
就像数字一样，我们也可以对向量进行加、减、乘等运算。尽管有些许不同，但背后的逻辑都很简单！
向量加法
如何将两个向量相加，例如 $$ \tag{latex}\text{\vec{a}} $$ 和 $$ \tag{latex}\text{\vec{b}} $$？我们可以将其想象成“依序遵循两组指示”。
三角形法则（或者“首尾相接法”）：
绘出第一个向量 $$ \tag{latex}\text{\vec{a}} $$。
从 $$ \tag{latex}\text{\vec{a}} $$ 的箭头（终点）开始绘制第二个向量 $$ \tag{latex}\text{\vec{b}} $$。
所得的向量 $$ \tag{latex}\text{\vec{a} + \vec{b}} $$，就是从 $$ \tag{latex}\text{\vec{a}} $$ 的尾端（起点）绘制到 $$ \tag{latex}\text{\vec{b}} $$ 的箭头（终点）的箭头。
比喻：想象您先向东行 3 公里 ($$ \tag{latex}\text{\vec{a}} $$)，然后再向北行 4 公里 ($$ \tag{latex}\text{\vec{b}} $$)。向量 $$ \tag{latex}\text{\vec{a} + \vec{b}} $$ 就代表了从您起点到终点的直线路径。
向量减法
要减去一个向量，我们仅是将其负向量加上去。但什么是负向量呢？
向量 $$ \tag{latex}\text{-\vec{b}} $$ 是一个与 $$ \tag{latex}\text{\vec{b}} $$ 具有相同大小，但方向完全相反的向量。
所以，要计算 $$ \tag{latex}\text{\vec{a} - \vec{b}} $$，我们仅需执行 $$ \tag{latex}\text{\vec{a} + (-\vec{b})} $$。我们只需将 $$ \tag{latex}\text{\vec{b}} $$ 的方向反转，然后使用首尾相接法即可！
标量乘法
这表示将一个向量乘以一个标量（即一个普通数字）。假设我们有一个向量 a 和一个标量 k。
如果 k 是正数，向量 ka 的方向与 a 的方向相同。
如果 k 是负数，向量 ka 的方向与 a 的方向相反。
ka 的大小是 $$ \tag{latex}\text{|k| |\textbf{a}|} $$。我们仅是将原向量的大小乘以标量的绝对值。
例子：向量 2a 的方向与 a 相同，但长度是 a 的两倍。向量 -0.5a 的方向与 a 相反，长度是 a 的一半。
向量运算的性质
好消息是！向量运算也遵循一些大家非常熟悉的规则。对于任何向量 a、b、c 以及标量 λ、μ：
$$ \tag{latex}\text{\textbf{a} + \textbf{b} = \textbf{b} + \textbf{a}} $$ （加法的次序不影响结果）
$$ \tag{latex}\text{(\textbf{a} + \textbf{b}) + \textbf{c} = \textbf{a} + (\textbf{b} + \textbf{c})} $$ （加法的组合方式不影响结果）
$$ \tag{latex}\text{\textbf{a} + \textbf{0} = \textbf{a}} $$ （加上零向量不会改变向量）
$$ \tag{latex}\text{(\lambda + \mu)\textbf{a} = \lambda\textbf{a} + \mu\textbf{a}} $$ （标量的分配律）
$$ \tag{latex}\text{\lambda(\textbf{a} + \textbf{b}) = \lambda\textbf{a} + \lambda\textbf{b}} $$ （向量的分配律）
$$ \tag{latex}\text{\lambda(\mu\textbf{a}) = (\lambda\mu)\textbf{a}} $$ （标量乘法的组合方式不影响结果）
重点提示
向量相加就像依序行走路径般（首尾相接法）。相减仅是加上相反方向的向量。乘以标量会使向量拉长、缩短，并／或反转方向。
3. 坐标系中的向量
绘制向量对于理解概念非常有用，但对于计算而言则不够精确。此时，坐标系统（x-y 平面或 x-y-z 空间）便派上用场。它会使所有事情都变得简单许多！
用坐标表示向量
我们可用向量在 x、y 和 z 轴上的分量来表示任何向量。我们通常会将它写成一个列向量（或称竖向量）。
一个 2D 向量 a 是： $$ \tag{latex}\text{\textbf{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}} $$
一个 3D 向量 b 是： $$ \tag{latex}\text{\textbf{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}} $$
位置向量
位置向量是指从原点 (0, 0) 或 (0, 0, 0) 开始，并终止于特定点 P 的向量。点 P(x, y, z) 的位置向量就是 $$ \tag{latex}\text{\vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}} $$。
两点之间的向量
这是一个很常见的操作！要找出从 A 点开始，终止于 B 点的向量 $$ \tag{latex}\text{\vec{AB}} $$，我们会用到它们的位置向量：
公式： $$ \tag{latex}\text{\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}} $$
简单来说：“终点减起点”
例子：找出从 A(1, 2) 到 B(5, 8) 的向量。
$$ \tag{latex}\text{\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \vec{OB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}} $$
$$ \tag{latex}\text{\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 8-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}} $$
常见错误提示！
请注意！$$ \tag{latex}\text{\vec{AB}} $$ 与 $$ \tag{latex}\text{\vec{BA}} $$ 并不相同。 $$ \tag{latex}\text{\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = - \vec{AB}} $$。它们的长度虽然一样，但方向相反。
坐标形式的运算
这就是最简单的部分了。您仅是将运算独立地应用在每个分量上。
设 $$ \tag{latex}\text{\textbf{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}} $$，$$ \tag{latex}\text{\textbf{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix}} $$，以及 k 是一个标量。
加法： $$ \tag{latex}\text{\textbf{a} + \textbf{b} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}} $$
减法： $$ \tag{latex}\text{\textbf{a} - \textbf{b} = \begin{pmatrix} a_x - b_x \\ a_y - b_y \end{pmatrix}} $$
标量乘法： $$ \tag{latex}\text{k\textbf{a} = \begin{pmatrix} ka_x \\ ka_y \end{pmatrix}} $$
（相同的规则适用于 3D 向量，仅是多了一个 z 分量！）
在坐标中找出大小
这就是勾股定理！
对于 2D 向量 $$ \tag{latex}\text{\textbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} $$，它的大小是：
$$ \tag{latex}\text{|\textbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}} $$对于 3D 向量 $$ \tag{latex}\text{\textbf{b} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}} $$，它的大小是：
$$ \tag{latex}\text{|\textbf{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} $$例子：找出 $$ \tag{latex}\text{\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}} $$ 的大小。
$$ \tag{latex}\text{|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5} $$
您知道吗？
在 2D 空间中，一个向量的分量可以与它的大小和角度建立关系。如果一个向量 $$ \tag{latex}\text{\vec{v}} $$ 的大小是 $$ \tag{latex}\text{|\vec{v}|} $$，而且与正 x 轴形成角度 θ，那么它的分量就是 $$ \tag{latex}\text{x = |\vec{v}|\cos\theta} $$ 和 $$ \tag{latex}\text{y = |\vec{v}|\sin\theta} $$。这与您学过的圆三角学是一样的！
重点提示
使用坐标可以将向量问题转化为简单的算术。请记住关键公式：$$ \tag{latex}\text{\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}} $$ 以及 $$ \tag{latex}\text{|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} $$。
4. 比较向量的关键条件
课程中还有一个您需要知道的重要性质。它关于两个向量组合何时相等。
规则是：如果您有两个向量 a 和 b，而且它们是非零且互不平行的...
...并且您被告知：
$$ \tag{latex}\text{\alpha\textbf{a} + \beta\textbf{b} = \alpha'\textbf{a} + \beta'\textbf{b}} $$...那么它们的系数就必定是相等的：
$$ \tag{latex}\text{\alpha = \alpha' \quad \text{以及} \quad \beta = \beta'} $$为什么这如此重要？将 a 和 b 想象成独立的方向，例如“向东走的步数”和“向北走的步数”。如果两个人从同一个起点出发，仅是向东和向北走，最终到达同一个终点，那么他们向东走的步数和向北走的步数就必定是一样的。您不能将向东走的步数换成向北走的步数，然后还能到达同一个地方！
例子：如果 $$ \tag{latex}\text{(k+1)\textbf{a} + 5\textbf{b} = 4\textbf{a} + (m-2)\textbf{b}} $$，而 a 和 b 互不平行，找出 k 和 m。
透过比较系数：
对于向量 a： $$ \tag{latex}\text{k+1 = 4 \implies k = 3} $$
对于向量 b： $$ \tag{latex}\text{5 = m-2 \implies m = 7} $$
就是这样了！您已经掌握了向量的基础概念。多加练习在坐标形式下运用它们，您就会发现它们是解决许多问题的强大而简单的工具。