歡迎來到不定積分的世界！
你好！歡迎來到不定積分的精彩世界。如果微分是找出變化的速率（就好比汽車的速度），那麼積分卻是反向操作——從速度推算出走過的總距離。它是微積分中一個基本且應用廣泛的工具，在科學、工程，甚至是經濟學領域都有大量應用。
如果初接觸時覺得有點棘手，別擔心。我們會把所有概念拆解成簡單易懂的步驟。把它想像成學習一套新的解題工具。準備好了嗎？我們現在就開始吧！
1. 什麼是不定積分？微分的逆運算
思考積分最直接的方式，就是把它看作是微分的逆運算。這個過程我們稱為尋找原函數（或反導函數）。
您還記得將 \(x^2\) 微分會得到 \(2x\) 嗎？
\(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\)
那麼，對 \(2x\) 積分，就能讓您回到 \(x^2\)。我們將其表示為：
\(\int 2x \,dx = x^2 + C\)
理解積分符號
積分符號 (\(\int\))：這個長長的「S」形狀代表進行積分運算。
被積函數 (\(2x\))：這就是待積分的函數。
微分項 (\(dx\))：它告訴我們正在對變數 \(x\) 進行積分。
積分常數 (\(+ C\))：一個任意常數，代表任何垂直平移。
為什麼有 "+ C"？積分常數之謎
請思考以下函數：
\(y = x^2\)
\(y = x^2 + 5\)
\(y = x^2 - 100\)
當您對它們全部進行微分時，會發生什麼情況？
\(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\)
\(\frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x\)
\(\frac{d}{dx}(x^2 - 100) = 2x\)
它們都擁有相同的導數！這是因為任何常數的導數都是零。所以，當我們反向操作（積分）時，我們無法得知原來的常數數值為何。它可能是 5，可能是 -100，或任何其他數字。
為了考慮這個未知的常數，我們總是在答案中加上 \(+ C\)。這代表了整個原函數家族。
重要提示
不定積分是微分的逆運算。由於常數的導數為零，我們必須總是在最終結果中包含一個積分常數 \(C\)。
2. 您的積分入門包：基本法則與公式
就像微分一樣，在 HKDSE M2 中也有一些您需要掌握的基本法則和公式。
積分的基本性質
1. 常數倍法則： \(\int k f(x) \,dx = k \int f(x) \,dx\)
例子： \(\int 5 \cos x \,dx = 5 \int \cos x \,dx\)
2. 和／差法則： \(\int (f(x) \pm g(x)) \,dx = \int f(x) \,dx \pm \int g(x) \,dx\)
例子： \(\int (x^2 + e^x) \,dx = \int x^2 \,dx + \int e^x \,dx\)
必學基本積分公式
冪法則： \(\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) （適用於任何 \(n \neq -1\)）
常數法則： \(\int k \,dx = kx + C\)
自然對數法則： \(\int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C\)
指數法則： \(\int e^x \,dx = e^x + C\)，更一般地 \(\int e^{kx} \,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C\)
基本三角函數積分：
\(\int \cos x \,dx = \sin x + C\)
\(\int \sin x \,dx = -\cos x + C\)
\(\int \sec^2 x \,dx = \tan x + C\)
\(\int \csc^2 x \,dx = -\cot x + C\)
\(\int \sec x \tan x \,dx = \sec x + C\)
\(\int \csc x \cot x \,dx = -\csc x + C\)
3. 利用恆等式積分三角函數
在 HKDSE M2 中，三角函數的冪或乘積的積分經常出現。我們在積分前會利用標準三角恆等式來簡化它們。
使用倍角公式
要積分 \(\sin^2 x\) 或 \(\cos^2 x\)，可利用 \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1\) 將其重寫：
\(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \implies \int \sin^2 x \,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\)
\(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \implies \int \cos^2 x \,dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} \,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\)
使用積化和差公式
對於像 \(\sin(mx)\cos(nx)\) 這樣的乘積，可將其轉化為和或差：
例子： 求 \(\int \sin 3x \cos 2x \,dx\)
利用 \(\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]\)：
\(\int \sin 3x \cos 2x \,dx = \frac{1}{2} \int (\sin 5x + \sin x) \,dx = -\frac{\cos 5x}{10} - \frac{\cos x}{2} + C\)
4. 尋找特解（初值問題）
當提供初始條件或邊界條件時，我們便可以確定 \(C\) 的精確值。
問題：曲線的斜率由 \(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x\) 給出。如果該曲線通過 \((2, 1)\)，求其方程。
步驟 1：積分斜率函數。
\(y = \int (3x^2 - 4x) \,dx = x^3 - 2x^2 + C\)
步驟 2：代入 \(x = 2\) 和 \(y = 1\) 以求出 \(C\)。
\(1 = (2)^3 - 2(2)^2 + C \implies 1 = 8 - 8 + C \implies C = 1\)
步驟 3：寫出特解：
最終答案： \(y = x^3 - 2x^2 + 1\)
5. 換元積分法
換元積分法是微分中鏈式法則的逆運算。它通過用單一變量 \(u\) 替換代數子表達式來簡化積分。
問題：求 \(\int 2x\sqrt{x^2+1} \,dx\)
步驟 1：設 \(u = x^2+1\)。
步驟 2：求出 \(du = 2x \,dx\)。
步驟 3：代入積分中：
\(\int \sqrt{u} \,du = \int u^{1/2} \,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C\)
步驟 4：回代 \(u = x^2+1\)：
最終答案： \(\frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} + C\)
6. 三角換元法
三角換元法用於包含二次形式的根式或平方和的表達式。
HKDSE M2 的兩種標準形式：
1. 對於 \(\sqrt{a^2 - x^2}\) 或 \(\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\)：
使用 \(x = a \sin\theta\)，其中 \(dx = a \cos\theta \,d\theta\)。
所用恆等式：\(a^2 - a^2\sin^2\theta = a^2\cos^2\theta\)。
2. 對於 \(x^2 + a^2\) 或 \(\frac{1}{x^2 + a^2}\)：
使用 \(x = a \tan\theta\)，其中 \(dx = a \sec^2\theta \,d\theta\)。
所用恆等式：\(a^2\tan^2\theta + a^2 = a^2\sec^2\theta\)。
標準結果：
\(\int \frac{1}{x^2+a^2} \,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C\)
7. 分部積分法
分部積分法是微分中乘法定律的逆運算。它適用於兩種不同類型函數的乘積。
公式：
\(\int u \,dv = uv - \int v \,du\)
使用 LIATE 法則選擇 \(u\)：
Logarithmic 對數函數（例如：\(\ln x\)）
Inverse trigonometric 反三角函數（例如：\(\tan^{-1} x\)）
Algebraic 代數函數（例如：\(x, x^2\)）
Trigonometric 三角函數（例如：\(\sin x, \cos x\)）
Exponential 指數函數（例如：\(e^x\)）
例子：
問題：求 \(\int x \cos x \,dx\)
設 \(u = x\) 及 \(dv = \cos x \,dx\)。
則 \(du = dx\) 及 \(v = \sin x\)。
應用公式：
\(\int x \cos x \,dx = x \sin x - \int \sin x \,dx = x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C\)
HKDSE 備註：在 M2 課程大綱下，題目在單一問題中最多只會要求應用分部積分法兩次。
