求導法的應用

M2 課題：微分法的應用

各位同學好！歡迎來到 M2 微積分中功能最強大的課題之一：微分法的應用。你可能會想：「我們花那麼多時間學習如何求導數，究竟有何用途呢？」答案就在這裡！

你可以把微分想像成獲得了一種超能力：能夠看清任何事物「變率」的能力。在這個課題中，我們將運用這種能力來：

• 找出曲線在任何給定點的切線與法線方程。
• 確定遞增及遞減區間，並找出極大值和極小值來解決最佳化問題。
• 透過分析漸近線、凹凸性及拐點，精通繪畫複雜曲線。
• 解決涉及事物隨時間變化的實際問題。

如果聽起來很多，別擔心。我們會一步一步地拆解。我們開始吧！

1. 找出切線與法線方程

從你以往的學習中記得，導數 \(\frac{dy}{dx}\) 或 \(f'(x)\) 提供了曲線 \(y = f(x)\) 在任何一點 \(x\) 的切線梯度（斜率）。

切線

切線是一條在點 \((x_1, y_1)\) 與曲線相切的直線，其梯度為 \(m_{\text{tangent}} = f'(x_1)\)。其點斜式方程為：

\(y - y_1 = m_{\text{tangent}}(x - x_1)\)

法線

在給定點的法線是一條在該點垂直於切線的直線。由於兩條直線垂直，它們的梯度積為 \(-1\)：

\(m_{\text{normal}} \times m_{\text{tangent}} = -1 \implies m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m_{\text{tangent}}}\)（假設 \(m_{\text{tangent}} \neq 0\)）

因此，法線的方程為：

\(y - y_1 = -\frac{1}{f'(x_1)}(x - x_1)\)

例題演練

找出曲線 \(y = x^3 - 2x + 5\) 在 \(x = 2\) 處的切線及法線方程。

步驟 1：找出該點。
當 \(x = 2\) 時，\(y = (2)^3 - 2(2) + 5 = 8 - 4 + 5 = 9\)。
所以，切點是 \((x_1, y_1) = (2, 9)\)。

步驟 2：找出導數。
\(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2\)

步驟 3：找出梯度。
在 \(x = 2\) 處，\(m_{\text{tangent}} = 3(2)^2 - 2 = 10\)。
因此，\(m_{\text{normal}} = -\frac{1}{10}\)。

步驟 4：找出方程。
切線：
\(y - 9 = 10(x - 2) \implies y = 10x - 11\)
法線：
\(y - 9 = -\frac{1}{10}(x - 2) \implies x + 10y - 92 = 0\)

要點回顧

使用 \(f'(a)\) 找出切線斜率 \(m_{\text{tangent}}\)，並取負倒數 \(-\frac{1}{m_{\text{tangent}}}\) 作為法線斜率 \(m_{\text{normal}}\)。

2. 遞增／遞減函數與極值

遞增及遞減區間

• 若在某區間內所有 \(x\) 均有 \(f'(x) > 0\)，則 \(f(x)\) 在該區間上嚴格遞增。
• 若在某區間內所有 \(x\) 均有 \(f'(x) < 0\)，則 \(f(x)\) 在該區間上嚴格遞減。

駐點與一階導數判別法

\(f'(x) = 0\) 的點稱為駐點。我們可以利用符號表檢查跨越該點時 \(f'(x)\) 的符號，從而將駐點分類：

• 局部極大值：\(f'(x)\) 由正（\(+\)）變為負（\(-\)）。
• 局部極小值：\(f'(x)\) 由負（\(-\)）變為正（\(+\)）。
• 駐點拐點：\(f'(x) = 0\)，但 \(f'(x)\) 沒有變號（例如 \(+ \to 0 \to +\) 或 \(- \to 0 \to -\)）。

二階導數判別法

若 \(f'(x_0) = 0\)：

• 若 \(f''(x_0) > 0\)，曲線向上凹（☺），因此 \(x_0\) 為局部極小值。
• 若 \(f''(x_0) < 0\)，曲線向下凹（☹），因此 \(x_0\) 為局部極大值。
• 若 \(f''(x_0) = 0\)，判別法失效；須改用一階導數判別法。

例題演練

找出並分類 \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1\) 的駐點。

步驟 1：\(f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2\) 或 \(x = -1\)。

步驟 2：\(f''(x) = 12x - 6\)。

步驟 3：
在 \(x = 2\) 處：\(f''(2) = 18 > 0 \implies\) 在 \((2, -19)\) 有局部極小值。
在 \(x = -1\) 處：\(f''(-1) = -18 < 0 \implies\) 在 \((-1, 8)\) 有局部極大值。

閉區間 \([a, b]\) 上的整體（絕對）極值

1. 找出 \((a, b)\) 內所有的駐點，並計算各點的 \(f(x)\) 值。
2. 計算端點值 \(f(a)\) 及 \(f(b)\)。
3. 最大值為整體極大值；最小值為整體極小值。

3. 曲線描繪

完整繪圖清單

對於函數 \(y = f(x)\)：

1. 定義域：注意使分母為零的受限制數值。
2. 截距：當 \(x = 0\) 時的 \(y\) 軸截距；當 \(f(x) = 0\) 時的 \(x\) 軸截距。
3. 對稱性：若 \(f(-x) = f(x)\)，則為偶函數（關於 \(y\) 軸軸對稱）。若 \(f(-x) = -f(x)\)，則為奇函數（關於原點旋轉對稱）。
4. 漸近線：
• 垂直漸近線 (VA)：直線 \(x = c\)，其中 \(\lim_{x \to c^\pm} f(x) = \pm\infty\)。
• 水平漸近線 (HA)：直線 \(y = L\)，其中 \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L\)。（注意：曲線可在有限的 \(x\) 值處穿過水平或斜漸近線）。
• 斜漸近線 (OA)：直線 \(y = mx + c\)，其中 \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx + c)] = 0\)。對於滿足 \(\deg(P) = \deg(Q) + 1\) 的有理函數 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)，可透過多項式長除法求得。
5. 一階導數與單調性：利用 \(f'(x)\) 找出駐點以及曲線遞增或遞減的區間。
6. 凹凸性與拐點：
• \(f''(x) > 0\)：向上凹。
• \(f''(x) < 0\)：向下凹。
• 拐點：曲線上凹凸性改變符號的點（即 \(f''(x) = 0\) 或 \(f''(x)\) 未定義，且 \(f''(x)\) 出現變號的點）。
7. 繪圖：綜合漸近線、截距、極值和凹凸性，繪出一條清晰的曲線。

快速範例：描繪 \(y = \frac{x^2}{x-2}\)

1. 定義域：\(x \neq 2\)。
2. 截距：\((0, 0)\)。
3. 漸近線：VA 為 \(x = 2\)。長除法得出 \(\frac{x^2}{x-2} = x + 2 + \frac{4}{x-2}\)，故 OA 為 \(y = x + 2\)。
4. 極值：\(f'(x) = \frac{x(x-4)}{(x-2)^2} = 0 \implies x = 0, x = 4\)。在 \((0, 0)\) 有局部極大值；在 \((4, 8)\) 有局部極小值。
5. 凹凸性：\(f''(x) = \frac{8}{(x-2)^3}\)。當 \(x < 2\) 時向下凹，當 \(x > 2\) 時向上凹。由於 \(x = 2\) 不在定義域內，因此沒有拐點。

4. 實際應用

最佳化問題

1. 定義變數，適當時繪畫圖表，並寫出目標函數。
2. 利用約束方程將目標函數以單一變數表示。
3. 將一階導數設為零以求取駐點。
4. 利用二階導數判別法（或一階導數判別法）證明其為最大值或最小值。
5. 寫出答案並附上適當單位。

範例：最大化花園面積

你有 \(40\text{ m}\) 的圍欄來圍起一個矩形花園。求其最大可能面積。

1. 設長度為 \(L\)，闊度為 \(W\)。周界：\(2L + 2W = 40 \implies L = 20 - W\)。
2. 面積：\(A(W) = W(20 - W) = 20W - W^2\)。
3. 微分：\(\frac{dA}{dW} = 20 - 2W = 0 \implies W = 10\text{ m}\)。
4. 二階導數：\(\frac{d^2A}{dW^2} = -2 < 0\)，證實為最大值。
5. 最大面積為 \(A = 10(20 - 10) = 100\text{ m}^2\)。

變率與鏈式法則

對於隨時間 \(t\) 變化的相關變率，使用鏈式法則：

\(\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}\)

要點回顧

建立單一變數函數進行最佳化，利用導數驗證其性質，並使用鏈式法則聯繫隨時間變化的變率。