M2 章節：極限 – 您的全方位溫習秘笈
各位同學大家好！歡迎來到微積分的基礎課題：極限。毋須擔心這個詞聽起來有些抽象。這份筆記的目標就是要讓極限這個概念變得超級清晰且易懂。極限就如同微積分所有其他內容的第一塊、也是最重要的基石，包括微分和積分。那麼就事不宜遲，讓我們一起打好基礎吧！
1. 極限究竟是什麼？(直觀概念)
想像您正向一堵牆走去。您每步都只走剩餘距離的一半。您走了一半... 然後剩餘路程的一半... 再是那剩餘路程的一半... 如此類推。您變得超級、超級地接近那堵牆，但實際上永遠都不會觸摸到它。
在數學中，極限就是一個函數的值，當輸入（通常是 \(x\)）越來越接近某個數值時，「趨近」的那個數值。
關鍵概念就是，我們不關心函數在那個數值確切地是什麼。我們只關心它趨向的數值。
符號表示
我們會這樣寫一個函數的極限：
\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)
讓我們拆解一下：
• lim 是「limit」（極限）的縮寫。
• \(x \to a\) 的意思是「當 \(x\) 趨近 \(a\) 值」。
• \(f(x)\) 是我們的函數。
• \(L\) 是函數趨近的值。
所以，整個表達式讀作：「當 \(x\) 趨近 \(a\) 時，函數 \(f(x)\) 的極限是 \(L\)。」
單側極限與極限的存在性
極限可以從兩個方向趨近：
• 左極限：\(\lim_{x \to a^-} f(x)\) 是當 \(x\) 從嚴格小於 \(a\) 的數值（左方）趨近 \(a\) 時，\(f(x)\) 所趨近的值。
• 右極限：\(\lim_{x \to a^+} f(x)\) 是當 \(x\) 從嚴格大於 \(a\) 的數值（右方）趨近 \(a\) 時，\(f(x)\) 所趨近的值。
極限存在的條件：整體雙側極限 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) 存在，當且僅當兩個單側極限均存在且相等：
\(\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L\)
一個關鍵點：極限與實際值
有時，函數在某點 \(a\) 的極限會與 \(f(a)\) 一樣。但並非每次都如此！這是一個超重要的概念。
例子：考慮函數 \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
當 \(x = 2\) 時會如何？如果您代入進去，您會得到 \(\frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0}\)，這是未定義的！在 \(x = 2\) 的圖形上有一個「洞」。
但是當 \(x\) 變得非常接近 \(2\) 時，函數會趨近哪個值呢？
讓我們試試接近 \(2\) 的值：
\(f(1.9) = 3.9\)
\(f(1.99) = 3.99\)
\(f(2.01) = 4.01\)
\(f(2.1) = 4.1\)
看到了嗎？\(x\) 越接近 \(2\)，\(f(x)\) 就越接近 \(4\)。所以，我們會說：
\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4\)
即使 \(f(2)\) 是未定義的，但當 \(x\) 趨近 \(2\) 時的極限是存在且等於 \(4\)。
重點總結：第一部分
極限就是當函數的輸入值趨近某個特定數字時，函數所趨向的目標值。函數實際上會不會達到那個值並不重要。
2. 如何求極限：您的工具箱
我們不能每次都只是代入接近的數字。以下是您在 HKDSE M2 中將會用到的代數技巧。
方法 1：直接代入法 (最簡單的方法)
對於多項式以及在 \(x = a\) 有定義且表現良好的函數，您應該首先嘗試直接代入 \(x = a\)。
例子 1：求 \(\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)\)
\(2(3)^2 - 5(3) + 1 = 2(9) - 15 + 1 = 18 - 15 + 1 = 4\)
所以，\(\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1) = 4\)。
方法 2：當直接代入法失效時 (不定形 \(\frac{0}{0}\))
如果直接代入法給您一個不定形，例如 \(\frac{0}{0}\)，它不代表極限不存在！它只代表您需要用代數方法簡化表達式。
技巧 A：因式分解及約簡法
例子：求 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)
1. 嘗試直接代入：我們會得到 \(\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}\)。
2. 因式分解：\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)。
3. 重寫及約簡：
\(\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\)
因為 \(x \to 2\)，\(x \neq 2\)，所以 \(x - 2 \neq 0\)，即是我們可以約簡因式 \((x-2)\)：
\(\lim_{x \to 2} (x+2)\)
4. 代入：\(2 + 2 = 4\)。極限是 \(4\)。
技巧 B：有理化（乘以共軛式）
當您見到平方根並且得到 \(\frac{0}{0}\) 時，就用這個技巧。
例子：求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}\)
1. 嘗試直接代入：\(\frac{\sqrt{0+1} - 1}{0} = \frac{0}{0}\)。
2. 將分子和分母乘以共軛式 \(\sqrt{x+1} + 1\)：
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \times \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1}\)
3. 簡化：利用 \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)：
\(\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1})^2 - 1^2}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)}\)
4. 約簡 \(x\)：
\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1}\)
5. 直接代入：\(\frac{1}{\sqrt{0+1} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\)。
3. 極限定理
極限定理讓我們可以將複雜的表達式分解。HKDSE 課程大綱要求您在不需證明的情況下運用這些規則。
假設 \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) 及 \(\lim_{x \to a} g(x) = M\)。
• 和／差法則：\(\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M\)
• 純量乘法法則：\(\lim_{x \to a} [k \cdot f(x)] = k \cdot L\)（其中 \(k\) 為常數）
• 積法則：\(\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M\)
• 商法則：\(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}\)（條件是 \(M \neq 0\)）
• 冪次法則：\(\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n\)（適用於正整數 \(n\)，以及在有定義時的根式）
4. 無窮遠處的極限
當 \(x\) 無限增大（\(x \to \infty\) 或 \(x \to -\infty\)）時，函數會變成怎樣？我們會求無窮遠處的極限。
基本定理為：
\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0\) 及 \(\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = 0\)（對任何有理數 \(n > 0\)）。
求有理函數在無窮遠處的極限
標準方法：將分子和分母中的每一項，都除以分母中出現的 \(x\) 之最高次冪。
例子：求 \(\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 3x + 5}{2x^2 + 7x - 1}\)
1. 分母中 \(x\) 的最高次冪是 \(x^2\)。
2. 將每一項都除以 \(x^2\)：
\(\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} + \frac{5}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{7x}{x^2} - \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}{2 + \frac{7}{x} - \frac{1}{x^2}}\)
3. 應用規則 \(\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0\)：
\(\frac{4 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{4}{2} = 2\)
5. 特殊極限與常數 \(e\)
HKDSE 考試提示：這些特殊極限並未在 HKDSE M2 公式表中提供。您必須把它們記熟，並懂得如何靈活運用。
1. 常數 \(e\) 的極限定義
數學常數 \(e \approx 2.71828\) 定義為：
\(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\)
同樣地，設 \(x = \frac{1}{n}\)，當 \(n \to \infty\) 時，\(x \to 0\)：
\(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e\)
2. 特殊三角函數極限
\(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1\)（其中 \(\theta\) 的單位為弧度）
例子：求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(5x)}{5x} \cdot \frac{5}{2}\right) = 1 \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\)
3. 特殊指數函數極限
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)
例子：求 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{e^{3x} - 1}{3x} \cdot 3\right) = 1 \cdot 3 = 3\)
章節總結：終極求極限策略
1. 當 \(x \to a\) 時的極限：
• 先嘗試直接代入法。
• 如果得到 \(\frac{0}{0}\)，就進行因式分解並約簡、利用共軛式進行有理化，或重組表達式以應用 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) 或 \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1\)。
2. 當 \(x \to \pm\infty\) 時的極限：將分子和分母除以分母中 \(x\) 的最高次冪，並應用 \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0\)。
3. 常數 \(e\)：記住 \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\) 及 \(\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e\)。
