M2 溫習筆記：第七章 - 微分
大家好！歡迎來到微分的溫習筆記。這是微積分中最有力、最引人入勝的課題之一。把它想像成一個特殊的透鏡，能讓你瞬間看清事物是如何變化的。
為甚麼這很重要？微分能幫助我們找出移動物體在特定時刻的速度、找出以最高利潤出售產品的最佳定價，甚至模擬疾病的傳播。它的一切都圍繞著理解「變率」。
如果一開始覺得有點難，別擔心！我們會將所有概念拆解成簡單易懂的步驟。我們開始吧！
1. 核心概念：導數
那麼，甚麼是導數？
想像一下你在駕車。你兩小時旅程的平均速率是總距離除以兩小時。但你的瞬時速率卻是你在任何給定秒數下，從速度計上看到的數值。
導數就像汽車的速度計。它告訴我們函數在特定點的瞬時變率。
從圖像的角度來看，導數給出了曲線在某一點的切線斜率（即當區間縮小至零時，割線斜率的極限）。
從基本原理求導數
這是根據導數定義來求導數的基本方法。雖然這是「長途徑」，但對於理解其背後的原理至關重要。我們找出曲線兩個非常非常接近的點之間的直線斜率。
函數 \(f(x)\) 的導數，記作 \(f'(x)\)，定義為：
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
逐步分析：
・\(h\) 代表 x 值中極微小的變化。
・\(f(x+h) - f(x)\) 代表 y 值中相應的變化。
・整個分數就是連接 \((x, f(x))\) 和 \((x+h, f(x+h))\) 的割線斜率（縱移/橫移）。
・\( \lim_{h \to 0} \) 意思是要讓區間 \(h\) 趨近於零，從而找出瞬時斜率。
逐步例子：從基本原理求 \(f(x) = x^2\) 的導數。
1. 寫下公式：
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
2. 將你的函數代入公式：
由於 \(f(x) = x^2\)，所以 \(f(x+h) = (x+h)^2\)。
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \)
3. 展開並簡化分子：
\( (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h} \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \)
4. 從分子中提取 h 並約簡：
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h} \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) \)
5. 現在，求當 \(h \to 0\) 時的極限：
\( f'(x) = 2x + 0 = 2x \)
在 HKDSE M2 中，你亦可能會被要求從基本原理求像 \(C\)、\(x^n\)、\(\sqrt{x}\)、\(\sin x\)、\(\cos x\) 和 \(e^x\) 等函數的導數。對於三角函數和指數函數，請記住以下標準極限：
\( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \quad \text{及} \quad \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1 \)
導數的各種表示法！
你會看到導數以幾種不同的方式表示。如果 \(y = f(x)\)：
・拉格朗日記法： \(f'(x)\) 或 \(y'\) （讀作「f prime of x」或「y prime」）。
・萊布尼茲記法： \(\frac{dy}{dx}\) （讀作「dee y by dee x」）。運算子 \(\frac{d}{dx}\) 表示「對…關於 x 微分」。
第一部分重點：
導數是函數的瞬時變率，或者說是其切線的斜率。我們可以利用基本原理，從根源（定義）開始求出它。
2. 微分工具箱：基本規則
每次都使用基本原理會非常耗時。幸運的是，我們有一套微分法則可以充當高效的工具。
基本法則
・常數法則：任何常數的導數都是零。
\( \frac{d}{dx}(C) = 0 \)
類比：如果物體靜止不動（位置恆定），那麼它的速度就是 0。
・冪法則：對於任何實數 \(n\)：
\( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)
記憶小貼士：「把指數放下來，然後指數減一。」
例子：\(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^{5-1} = 5x^4\)
例子：\(\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
・常數倍數法則：乘以函數的常數會保留在外。
\( \frac{d}{dx}(c \cdot f(x)) = c \cdot f'(x) \)
例子：\(\frac{d}{dx}(7x^3) = 7 \cdot (3x^2) = 21x^2\)
・和／差法則：逐項對函數進行微分。
\( \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \)
例子：\(\frac{d}{dx}(x^2 + 5x - 3) = 2x + 5 - 0 = 2x+5\)
積法則
當你需要對兩個相乘的函數進行微分時，就使用這個法則（\(u\) 和 \(v\)）：
\( \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \quad \text{或} \quad (uv)' = u'v + uv' \)
記憶小貼士：「第一個乘以第二個的導數，加上第二個乘以第一個的導數。」
常見錯誤：\((uv)' \neq u'v'\)。切勿直接將導數相乘。
例子：求 \(y = x^2 \sin x\) 的導數
設 \(u = x^2\) 和 \(v = \sin x\)。那麼 \(u' = 2x\) 和 \(v' = \cos x\)。
\(\frac{dy}{dx} = (x^2)(\cos x) + (\sin x)(2x) = x^2\cos x + 2x\sin x\)
商法則
當你需要對一個函數除以另一個函數的形式進行微分時，就使用這個法則（\(u/v\)）：
\( \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \quad \text{或} \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
口訣：「分母乘以分子導數，減去分子乘以分母導數，再除以分母的平方。」
常見錯誤：分子中的順序很重要，因為牽涉減法：必須是 \(v u'\) 在前面！
例子：求 \(y = \frac{e^x}{x^3}\) 的導數
\(\frac{dy}{dx} = \frac{(x^3)(e^x) - (e^x)(3x^2)}{(x^3)^2} = \frac{x^2 e^x(x - 3)}{x^6} = \frac{e^x(x - 3)}{x^4}\)
鏈鎖法則
當遇到複合函數（即「函數包住函數」）時，請使用此法則：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
步驟：
1. 辨識外函數和內函數（\(u\)）。
2. 對外函數關於 \(u\) 進行微分。
3. 將結果乘以內函數關於 \(x\) 的導數。
例子 1：求 \(y = (x^2 + 5)^4\) 的導數
\(\frac{dy}{dx} = 4(x^2+5)^3 \cdot \frac{d}{dx}(x^2+5) = 4(x^2+5)^3 \cdot (2x) = 8x(x^2+5)^3\)
例子 2：求 \(y = \cos(3x+1)\) 的導數
\(\frac{dy}{dx} = -\sin(3x+1) \cdot \frac{d}{dx}(3x+1) = -3\sin(3x+1)\)
第二部分重點：
熟練掌握核心法則：用於 \(x^n\) 的冪法則、用於 \(uv\) 的積法則、用於 \(u/v\) 的商法則，以及用於複合函數的鏈鎖法則。
3. 標準函數的導數
以下是 HKDSE M2 所需的標準函數導數完整列表：
三角函數及倒數三角函數
・\( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)
・\( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)
・\( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \)
・\( \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \)
・\( \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \)
・\( \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \)
指數函數和對數函數
・\( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)
・\( \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1) \)
・\( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \quad (x > 0) \)
・\( \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0, a \neq 1, x > 0) \)
快速回顧總結
函數 \(f(x)\) 導數 \(f'(x)\)
--------------------------------------------------
\(C\) (常數) \(0\)
\(x^n\) \(nx^{n-1}\)
\(\sin x\) \(\cos x\)
\(\cos x\) \(-\sin x\)
\(\tan x\) \(\sec^2 x\)
\(\cot x\) \(-\csc^2 x\)
\(\sec x\) \(\sec x \tan x\)
\(\csc x\) \(-\csc x \cot x\)
\(e^x\) \(e^x\)
\(a^x\) \(a^x \ln a\)
\(\ln x\) \(\frac{1}{x}\)
\(\log_a x\) \(\frac{1}{x \ln a}\)
4. 進階技巧
隱函數微分法
當 \(x\) 和 \(y\) 之間的關係以隱函數形式給出時（例如 \(x^2 + y^2 = 25\)），我們對方程兩邊同時關於 \(x\) 進行微分。根據鏈鎖法則，每當對包含 \(y\) 的項進行微分時，都要乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。
逐步例子：求 \(x^2 + y^2 = 25\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。
1. 對兩邊關於 \(x\) 微分：
\( \frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25) \)
2. 應用微分法則：
\( 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \)
3. 解出 \(\frac{dy}{dx}\)：
\( 2y\frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \)
對數微分法
這項技巧非常適合用於處理積、含多個因式的商，或是底數和指數同時含有變數的函數（例如 \(y = x^x\)）。
逐步例子：求 \(y = \frac{(x+1)^3 \sqrt{x}}{(2x-1)^5}\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)
1. 對兩邊取自然對數：
\( \ln y = \ln\left( \frac{(x+1)^3 \sqrt{x}}{(2x-1)^5} \right) \)
2. 利用對數性質展開：
\( \ln y = 3\ln(x+1) + \frac{1}{2}\ln x - 5\ln(2x-1) \)
3. 對兩邊進行隱函數微分：
\( \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+1} + \frac{1}{2x} - \frac{5(2)}{2x-1} = \frac{3}{x+1} + \frac{1}{2x} - \frac{10}{2x-1} \)
4. 兩邊乘以 \(y\) 並將原式代回：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3 \sqrt{x}}{(2x-1)^5} \left( \frac{3}{x+1} + \frac{1}{2x} - \frac{10}{2x-1} \right) \)
5. 二階導數
甚麼是二階導數？
二階導數就是一階導數的導數：
物理意義：若 \(s(t)\) 代表位置，則 \(v(t) = s'(t)\) 代表速度，而 \(a(t) = s''(t)\) 則代表加速度。
記法： \(f''(x)\)、\(y''\) 或 \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)\)。
如何求得二階導數
例子：求 \(f(x) = x^4 - 5x^2 + 8\) 的 \(f''(x)\)
步驟 1：求一階導數： \( f'(x) = 4x^3 - 10x \)
步驟 2：求二階導數： \( f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 10x) = 12x^2 - 10 \)
應用：凹凸性與二階導數判別法
・凹凸性：
・若在某區間上 \(f''(x) > 0\)，則曲線呈上凹（開口向上）。
・若在某區間上 \(f''(x) < 0\)，則曲線呈下凹（開口向下）。
・二階導數判別法：對於駐點 \(f'(c) = 0\)：
・若 \(f''(c) < 0\)，則 \(f(x)\) 在 \(x=c\) 處有局部極大值。
・若 \(f''(c) > 0\)，則 \(f(x)\) 在 \(x=c\) 處有局部極小值。
・若 \(f''(c) = 0\)，則此判別法無效（需使用一階導數判別法）。
第五部分重點：
二階導數 \(f''(x)\) 提供了關於曲線凹凸性的資訊，並有助於判斷駐點屬於局部極大值還是局部極小值。
